Производящая функция

последовательности f₀,f₁..., f_n... функция

(в предположении, что этот степенной ряд сходится хотя бы для одного значения t≠ 0). П. ф. называют также генератрисой. Последовательность f₀,f₁..., f_n... может быть как числовая, так и функциональная; в последнем случае П. ф. зависит не только от t, но и от аргументов функций f_n. Например, если f_n=aqⁿ где а и q— постоянные, то П. ф.

если f_n —Фибоначчи числа; f₀ =0, f₁ = 1, f_n+2=f_n+1+f_n, то П. ф.

если f_n =Т_n(х)—Чебышева многочлены: T₀(х)= 1, T_n (х)= cos (n arc cos x), то П. ф.

и т.д. Знание П. ф. последовательности часто облегчает изучение свойств последней. П. ф. применяются в теории вероятностей, в теории функций и в алгебре (в теории инвариантов). Впервые метод П. ф. был применен П. Лапласом для решения некоторых проблем теории вероятностей.

Лит.: Феллер В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, пер. с англ., 2 изд., т. 1—2, М., 1967; Натансон И. П., Конструктивная теория функций, М. — Л., 1949.

course-of-value function

generating function

генератриса, числовой или функциональной последовательности {а _п (х)} - сумма степенного ряда

с положительным радиусом сходимости. Если известна П. ф., то для изучения последовательности { а _п (х)}используются свойства коэффициентов Тейлора аналитич. ций. Для многочленов {Р _п (х)}, ортогональных на интервале ( а, b).с весовой функцией h(х), при нек-рых общих условиях существует П. ф.

Для классических ортогональных многочленов П. ф. представляется в явном виде через весовую функцию h(х).и используется для вычисления значений этих многочленов в отдельных точках, а также для вывода различных тождественных соотношений между этими многочленами и их производными.

В теории вероятностей П. ф. случайной величины x, принимающей целочисленные значения с вероятностями {Р _x (n)}, определяется формулой

С помощью П. ф. вычисляются распределения вероятностей случайной величины x, ее математич. ожидание и дисперсия:

П. ф. случайной величины x можно определить как математич. ожидание случайной величины zx, то есть

Лит.:.[1] Сеге Г., Ортогональные многочлены, пер. с англ.,М., 1962; [2] Суетин П. К., Классические ортогональные многочлены, 2 изд., М., 1979; [3] Феллер В., Введение в теорию вероятностей и её приложения, пер. с англ., 2 изд., т. 1-2, М., 1967. П. К. Суетин.

generating function

* * *

course-of-value function

funzione generatrice

твірна́ фу́нкція

твірна́ фу́нкція