Эйлерова характеристика

многогранника, число α_o—α₁ +α₂, где α_o — число вершин, α₁ — число рёбер и α₂— число граней многогранника. Если многогранник выпуклый или гомеоморфен (см. Гомеоморфизм) выпуклому, то его Э. х. равна двум (теорема Л. Эйлера, 1758, известная ещё Р. Декарту).

Э. х. произвольного комплекса есть число n— размерность комплекса, α_o— число его вершин, α₁— число его рёбер, вообще α_k есть число входящих в комплекс k-мерных симплексов. Оказывается, что Э. х. равна _k есть k-мерное число Бетти данного комплекса (см. Топология). Отсюда следует топологическая инвариантность Э. х. Ввиду топологической инвариантности Э. х. говорят об Э. х. поверхности, а также полиэдра, подразумевая под этим Э. х. любой триангуляции этой поверхности (этого полиэдра).

Лит.: Александров П. С., Комбинаторная топология, М.— Л., 1947; Понтрягин Л. С., Основы комбинаторной топологии. 2 изд., М., 1976.

конечного клеточного комплекса К - целое число

где - число k-мерных клеток комплекса. Названа в честь Л. Эйлера (L. Enler), к-рый доказал в 1758, что число вершин В, ребер Р и граней Г. выпуклого многогранника связаны формулой В-Р+Г=2. В неявном виде эта формула была известна еще Р. Декарту (R. Descarles, 1620). Оказывается, что

где p^k есть k-мерное Бетти число комплекса К(формула Эйлера - Пуанкаре). Э. х. комплекса Кявляется его гомологическим, гомотопическим и топологическим инвариантом. В частности, Э. х. не зависит от способа разбиения пространства на клетки. Поэтому можно говорить, напр., об Э. х. произвольного компактного полиэдра, понимая под этим Э. <х. какой-нибудь его триангуляции. С другой стороны, формула Эйлера-Пуанкаре позволяет распространить понятие Э. х. на более широкий класс пространств и пар пространств, для к-рых правая часть формулы имеет смысл. Для произвольного поля Fсправедлива обобщенная формула Эйлера - Пуанкаре, выражающая Э. х. через

размерности над полем F групп гомологии с коэффициентами в поле F:

Пусть - локально тривиальное расслоение со слоем F. Тогда, при нек-рых ограничениях на пространства К, В, F, их Э. х. связаны соотношением В частности, Э. х. прямого произведения двух пространств равна произведению их Э. х. С помощью соотношения справедливого для любой вырезаемой триады вычисляются Э. х. всех компактных двумерных многообразий. Э. х. сферы с . ручками и kудаленными открытыми дисками равна 2-2g-k, сферы с то листами Мёбиуса и kудаленными дисками - 2- т-k. Э. х. произвольного компактного многообразия нечетной размерности равна половине Э. х. его края. В частности, Э. х. замкнутого многообразия нечетной размерности равна нулю, так как его край пуст.

С. В. Матвеев.