Стереографическая проекция

соответствие между точками сферы и плоскости, получаемое следующим образом: из некоторой точки С на сфере (центра С. п.) другие точки сферы проектируются лучами на плоскость, перпендикулярную радиусу сферы ОС и не проходящую через С (см. рис.; обычно эту плоскость проводят или через центр О сферы, или через точку С' — конец диаметра сферы СС'). При этом каждая точка Мсферы, отличная от С, перейдёт в некоторую точку М' плоскости; такое соответствие (после исключения из сферы самого центра проекции С, которому никакая точка плоскости не соответствует) будет взаимно однозначным. Основные свойства С. п.: 1) окружностям на сфере соответствуют окружности же на плоскости (на рис. окружности Г соответствует окружность Г'), причём окружностям, проходящим через центр С. п., соответствуют на плоскости прямые линии (окружности бесконечно большого радиуса; на рис. у и у')', 2) соответствие, устанавливаемое С. п., является конформным, т. е. сохраняет углы (см. Конформное отображение), например, угол LMN на сфере равен углу L'M'N' на плоскости.

С. п. — перспективная картографическая проекция (См. Картографические проекции). Часто применяется в картографии, т.к. для территории округлой формы из всех равноугольных проекций даёт наименьшее колебание масштаба. Используется также в астрономии, кристаллографии и др.

Рис. к ст. Стереографическая проекция.

СТЕРЕОГРАФИЧЕСКАЯ проекция - центральная проекция точек сферы с центром в точке C сферы на плоскость, перпендикулярную радиусу сферы OC и не проходящую через C.

мат. stereographic projection

stereographic projection

стереографи́ческая прое́кция

центральная проекция точек сферы с центром в точке С сферы на плоскость, перпендикулярную радиусу сферы ОС и не проходящую через С.

* * *

СТЕРЕОГРАФИ́ЧЕСКАЯ ПРОЕ́КЦИЯ, центральная проекция точек сферы с центром в точке C сферы на плоскость, перпендикулярную радиусу сферы OC и не проходящую через C.

(a.stereographic projection; н.stereographische Projektion; ф.projection stereographique; и.proyeccion estereografica) - равноугольная (конформная) картографич. проекция. При C. п. соответствие между точками сферы и плоскости устанавливается следующим образом: из нек-рой точки C сферы (центра C. п.) все другие точки сферы проектируются лучами на плоскость, перпендикулярную радиусу сферы OC (рис.) и не проходящую через точку C.

Установление соответствия между точками сферы и плоскости при помощи стереографической проекции.

Oбычно эту плоскость проводят или через центр сферы O, или через конец диаметра CC - точку C При этом каждая точка M сферы перейдёт в нек-рую точку M' плоскости. Tакое соответствие (после исключения из сферы самого центра проекции C, к-рому никакая точка плоскости не соответствует) будет взаимно однозначным. Oсн. свойства C. п.: 1) окружность на сфере соответствует окружности на плоскости (на рис. окружности Г соответствует окружность Г'), причём окружностям, проходящим через центр C. п., соответствуют на плоскости прямые линии; 2) соответствие, устанавливаемое C. п., является конформным, т. e. сохраняет углы (угол LMN на сфере равен углу L'M'N' на плоскости).

C. п. - перспективная картографич. проекция, к-рая часто применяется в картографии, т.к. для территории округлой формы из всех равноугольных проекций даёт наименьшее колебание масштаба.

соответствие между точками сферы и плоскости, получаемое следующим образом; из нек-рой точки Sна сфере (центра С. п.) другие точки сферы проектируются лучами на плоскость, перпендикулярную радиусу сферы S0 (на рис. эта плоскость экваториальная, ее можно проводить и через конец S₁ диаметра SS₁). При этом каждая точка Мна сфере переходит в нек-рую определенную точку М' на плоскости. Если условиться считать, что точке Sсоответствует бесконечно удаленная точка плоскости, то соответствие точек сферы и плоскости будет взаимно однозначным. Основные свойства С. п.: 1) окружностям на сфере соответствуют окружности на плоскости, причем окружностям, проходящим через центр С. п., соответствуют окружности, проходящие через бесконечно удаленную точку, т. е. прямые; 2) при С. п. углы между линиями сохраняются.

Если точку трехмерного пространства задавать однородными координатами x₁, х₂, х₃, х₄ и считать, что уравнение сферы а точку плоскости - декартовыми прямоугольными координатами то связь между координатами точек сферы и плоскости задается формулами

Координаты x₁, х₂, х₃, х₄ можно рассматривать как координаты точки на плоскости (тетрациклические координаты).

С. <п. устанавливает соответствие не только между точками сферы и плоскости, но и между точками вне сферы и окружностями на плоскости. Для точки вне сферы полярная плоскость пересекает сферу по окружности. При С. п. эта окружность переходит в окружность на плоскости, к-рая и рассматривается как С. п. точки вне сферы на плоскость. Координаты точки трехмерного пространства рассматриваются как тетрациклич. координаты окружности на плоскость. Точкам внутри сферы при С. п. соответствуют мнимые образы на плоскости.

С. п. можно рассматривать и более общо: вместо сферы брать любую поверхность 2-го порядка. Это проектирование называется также отображением Гессе.

В многомерном случае С. п.- проекция точек евклидова пространства Е _п+1 на пространство E_n, дополненное одной бесконечно удаленной точкой, из точки Рсферы S_n в Е _п+1, когда Рне принадлежит Е _n. Все рассуждения и формулы аналогичны приведенным выше.

При помощи С. п. расширенная комплексная плоскость отображается взаимно однозначно и конформно на Римана сферу.

Лит.:[1] Клейн Ф., Высшая геометрия, пер. с нем., М.-Л., 1939; [2] В1asсhkе W., Vorlesungen uber Differentlal-Geometrie, Bd 3, В., 1929; [3] Бушманова Г. В., Норден А. П., Элементы конформной геометрии, Казань, 1972.

Г. В. Бушманова.

stereographic projection

proiezione stereografica

стереографі́чна проє́кція, стереографі́чна прое́кція

стереографі́чна проє́кція, стереографі́чна прое́кція

центр проекция точек сферы с центром в точке С сферы на плоскость, перпендикулярную радиусу сферы ОС и не проходящую через С.