Показательное распределение

распределение вероятностей на действительной прямой с плотностью вероятностей (См. Плотность вероятности)р(х), равной при х ≥ 0 показательной функции λe^-λx, λ > 0 [отсюда название П. р.] и при х0 — нулю. Вероятность того, что случайная величина X, имеющая П. р., примет значения, превосходящие некоторое произвольное число х, будет при этом равна e^-λx. Математическое ожидание и Дисперсия случайной величины X равны соответственно 1/λ и 1/λ². П. р. является единственным непрерывным распределением вероятностей, обладающим тем свойством, что для любых значений x₁ и x₂выполняется равенство

P(X>x₁ +x₂)=P(X>x₁) P(X>x₂)

(т. н. свойство «отсутствия последействия»). Указанным характеристическим свойством в значительной мере объясняется, например, та роль, которую П. р. играет в задачах массового обслуживания теории (См. Массового обслуживания теория), где предположение о П. р. времени обслуживания является естественным. П. р. тесно связано с понятием пуассоновского процесса (См. Пуассоновский процесс); промежутки между последовательными событиями в таком процессе суть независимые случайные величины, имеющие П. р.; при этом λ равно среднему числу событий в единицу времени.

Лит.: Феллер В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, пер. с англ., 2 изд., т. 1—2, М., 1967.

А. В. Прохоров.

exponential distribution

exponential distribution

непрерывное распределение вероятностей случайной величины X, задаваемое плотностью

(1)

Плотность р(х).зависит от положительного масштабного параметра l. Формула для моментов: , в частности - для математич. ожидания и дисперсии ; характеристич. функция: (1-it/l)^-1.

П. р. входит в семейство распределений, называемых гамма-распределениями и задаваемых плотностью

n-кратная свертка распределения (1) равна гамма-распределению с тем же самым параметром lи с a=п. П. р.- единственное распределение, обладающее свойством отсутствия последействия: для любых х>0, у>0 выполняется равенство

(2)

где Р{ Х>х+у|Х>у} - условная вероятность события X>x+y при условии X>y. Свойство (2) называется также марковским свойством.

В однородном пуассоновском процессе расстояние между двумя последовательными скачками траектории имеет П. р. Наоборот, процесс восстановления с показательным временем жизни (1) является пуассоновским процессом восстановления. П. р. часто возникает как предельное при суперпозиции или разрежении процессов восстановления, в задачах пересечения высокого уровня в различных схемах блуждания, в критических ветвящихся процессах и т. п.

Упомянутыми выше свойствами объясняется широкое применение П. р. при расчетах различных систем в теории массового обслуживания и в теории надежности. Предполагая времена занятости приборов случайными, независимыми друг от друга и распределенными показательно, можно благодаря свойству (2) изучать системы массового обслуживания с помощью конечных или счетных цепей Маркова с непрерывным временем. Аналогичным образом используются цепи Маркова и в теории надежности, где времена исправной работы отдельных приборов часто можно предполагать независимыми и распределенными показательно.

Лит.:[1] Феллер В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, пер. с англ., 2 изд., т. 2, М., 1967.

Б. <А. Севастьянов.

exponential distribution

матем. distribuzione esponenziale

показнико́вий розпо́діл

показнико́вий розпо́діл