Элементарные делители

квадратной матрицы (См. Матрица)А = ||a_iK||₁ⁿ, степени двучленов

(λ — λ₁) _p1, (λ — λ₂) _p2,..., (λ — λ_s) _ps,

которые получаются из характеристического уравнения

следующим образом. Минорыk-го порядка определителя Δ(λ) (для k ≤ п) представляют собой многочлены относительно λ. Пусть D_k (λ) (k =1, 2,..., n) - наибольший общий делитель всех этих многочленов, D_n (λ)= Δ(λ). В ряду каждый многочлен делится на предыдущий без остатка. Если разложить соответствующие частные на линейные множители в поле комплексных чисел:

.............................……………………………..,

то степени ...,,... и образуют полную систему Э. д. матрицы А(при этом степени с нулевыми показателями не принимаются во внимание). Произведение всех Э. д. равно характеристическому многочлену. Э. д. определяют нормальную (жорданову) форму матрицы (См. Нормальная форма матриц)А.

матрицы F(х) над кольцом многочленов k[x] - степени унитарных неприводимых многочленов над полем k, на к-рые разлагаются инвариантные множители матрицы F(x). Две -матрицы над k[x],имеющие один и тот же ранг, тогда и только тогда эквивалентны (т. е. получаются одна из другой с помощью элементарных операций), когда они обладают одной и той же системой Э. д.

Элементарными делителями -матрицы . над полем kназ. Э. д. ее характеристич. матрицы|| хE _п -А||. Они могут быть получены следующим образом. Пусть D_l(x) - наибольший общий делитель миноров порядка l матрицы хЕ _п -А, и D₀=1. Тогда инвариантными множителями матрицы|| хЕ _n -А|| служат

Множители i_l (х), отличные от 1, содержатся в Каждый из них представим в виде

где р _i(x) - унитарные неприводимые над k многочлены, Все полученные таким способом многочлены вида (р(х)) ^т и составят систему Э. д. матрицы А. Две квадратные матрицы над полем подобны тогда и только тогда, когда они имеют одну и ту же систему Э. д. Произведение всех Э. д. матрицы над полем совпадает с ее характеристич. многочленом, а наименьшее общее кратное ее Э. д. равно ее минимальному многочлену. Любой набор многочленов вида где g_i(x) - унитарный неприводимый над kмногочлен, служит системой Э. д. для одного и только одного класса подобных матриц над kпорядка n, где п - степень произведения многочленов l_i (х). Если k - поле разложения характеристич. многочлена матрицы А, то Э. д. матрицы Аимеют вид В этом случае число Э. д. равно числу клеток Жордана жордановой формы матрицы А, а Э. д. соответствует жорданова клетка порядка . (см. Жорданова матрица). Квадратная матрица над полем . подобна диагональной матрице над kтогда и только тогда, когда каждый ее Э. д. имеет вид где

Д. А. Супруненко.