Криволинейный интеграл

интеграл, взятый вдоль какой-либо кривой на плоскости или в пространстве. Различают К. и. 1-го и 2-го типов. К. и. 1-го типа возникает, например, при рассмотрении задачи о вычислении массы кривой переменной плотности; он обозначается через

,

где С — заданная кривая, ds — дифференциал её дуги, a f(P)— функция точки на кривой, и представляет собой предел соответствующих интегральных сумм (см. Интеграл). В случае плоской кривой С, заданной уравнением у = у(х), К. и. 1-го типа сводится к обыкновенному интегралу по формуле:

К. и. 2-го типа возникает, например, при рассмотрении задачи о работе силового поля; в случае плоской кривой С он имеет вид:

и является также пределом соответствующих интегральных сумм. К. и. 2-го типа сводится к обыкновенному интегралу по формуле:

,

где х = x(t), у = у(t) (α ≤ t≤β) — уравнения кривой С в параметрической форме, и к К. и. 1-го типа по формуле:

;

здесь α — угол между осью Ox и касательной к кривой, направленной в сторону возрастания дуги.

Аналогично определяется К. и. 2-го типа в пространстве. О К. и. 2-го типа с векторной точки зрения см. Векторное исчисление.

Пусть D — некоторая область и С — её граница. При некоторых условиях между К. и. по кривой С и двойным интегралом по области D (см. Кратный интеграл)имеет место соотношение:

(см. Грина формулы), а между К. и. и поверхностным интегралом (См. Поверхностный интеграл)— соотношение:

(см. Стокса формула).

Особенно большое значение К. и. приобрели в теории функций комплексного переменного (см. Аналитические функции). К. и. имеют широкое применение в различных областях механики, физики и техники.

Лит.: см. при статьях Интегральное исчисление, Интеграл.

КРИВОЛИНЕЙНЫЙ интеграл - интеграл от функции, заданной вдоль какой-либо кривой на плоскости или в пространстве. Его можно свести к определенному интегралу, а при некоторых дополнительных условиях - к двойному интегралу (Грина формула) или поверхностному интегралу (Стокса формула).

мат. curvilinear integral, line integral

curvilinear integral

криволине́йный интегра́л

интеграл от функции, заданной вдоль какой-либо кривой на плоскости или в пространстве. Его можно свести к определённому интегралу, а при некоторых дополнительных условиях — к двойному интегралу (Грина формула) или поверхностному интегралу (Стокса формула).

* * *

КРИВОЛИНЕ́ЙНЫЙ ИНТЕГРА́Л, интеграл от функции, заданной вдоль какой-либо кривой на плоскости или в пространстве. Его можно свести к определенному интегралу, а при некоторых дополнительных условиях — к двойному интегралу (Грина формула(см. ГРИНА ФОРМУЛА)) или поверхностному интегралу (Стокса формула(см. СТОКСА ФОРМУЛА)).

интеграл по кривой. Пусть в тг-мерном евклидовом пространстве задана спрямляемая кривая - длина дуги и на кривой g задана функция F=F(x(s)). К. и.

определяется равенством

(справа - интеграл по отрезку) и наз. криволинейным интегралом первого рода, или криволинейным интегралом по длине дуги. Он является пределом соответствующих интегральных сумм, к-рые могут быть описаны в терминах, связанных с кривой. Напр., если функция F(x(s)).интегрируема по Риману (см. Римана интеграл), - разбиение отрезка - его мелкость, - длина части кривой g от точки x(s_i-1). до точки и

то

Если спрямляемая кривая g задана параметрическим представлением, и на ней задана функция F=F(x(t)), то интеграл

определяется равенством

(справа - Стилтъеса интеграл).и наз. к р и в о л и-нейным интегралом второго рода, или криволинейным интегралом по координате х _k. Он также является пределом соответствующих интегральных сумм: если разбиение отрезка и

то

Если F - непрерывная на спрямляемой кривой функция, то К. и. (1) и (2) всегда существуют. Если А- начало, а В- конец кривой g, то К. и. (1) и (2) обозначаются также через

К. и. первого рода не зависит от ориентации кривой:

а К. и. второго рода меняет знак при изменении ориентации кривой:

Если g - непрерывно дифференцируемая кривая, - ее непрерывно дифференцируемое представление, и F - непрерывная на g функция, то

и тем самым интегралы, стоящие в правой части этих равенств, не зависят от выбора параметра на кривой g. Если - единичный касательный вектор к кривой g, то К. н. второго рода выражается через К. и. первого рода по формуле

Если кривая g задана векторным представлением - векторная функция, определенная на g, то, по определению,

Связь между К. и. и интегралами других видов устанавливается Грина формулой и Стокса формулой.

С помощью К. и. можно вычислять площади плоских областей: если конечная плоская область Gограничена спрямляемым простым контуром g, то ее площадь равна

где контур g ориентирован против часовой стрелки. Если вдоль кривой g распределена нек-рая масса Мс линейной плотностьюr(x), то

Если F(х) - напряженность силового поля (т. е. сила, действующая на единицу массы), тогда

равен работе силового поля вдоль кривой Y при перемещении вдоль g единичной массы. К. и. используются в теории векторных полей. Если непрерывное векторное поле определено на нек-рой л-мерной области G, n>1, то следующие три свойства эквивалентны.

1) Для любой замкнутой спрямляемой кривой справедливо равенство (векторное поле, обладающее этим свойством, наз. потенциальным).

2) Для любой пары точек и для любых двух спрямляемых кривых с началом в точко Аи концом в точке В:

3) В области Gсуществует такая функция и(х).(называемая потенциальной функцией векторного поля а(х)), что т. е. при этом для любых и любой кривой

Если n=2 или n=3 и область Gодносвязна при n=2 и поверхностно односвязна при п=3, а поле непрерывно дифференцируемо, то свойства 1) - 3) эквивалентны следующему свойству.

4) Вихрь векторного поля в области G равен нулю:

Если условие односвязности области G не выполнено, то свойство 4) не эквивалентно, вообще говоря, свойствам 1) - 3). Напр., для поля

определенного на плоскости с выброшенным началом координат, имеем но

Лит.:[1] Ильин В. А., П о з н я к Э. <Г., Основы математического анализа, 2 изд., ч. 2, М., 1980; [2] Кудрявцев Л. Д., Курс математического анализа, т. 2, М., 1981; [3] Никольский С. М., Курс математического анализа, 2 изд., т. 2, М., 1975. Л. Д. Кудрявцев.