Бернулли числа

специальная последовательность рациональных чисел, фигурирующая в различных вопросах математического анализа и теории чисел. Значения первых шести Б. ч.:

B₁ = ¹/₆, B₂ = ¹/₃₀, B₃ = ¹/₄₂, B₄ = ¹/₃₀,

B₅ = ⁵/₆₆, B₆ = ⁶⁹¹/₂₇₃₀.

В математическом анализе Б. ч. появляются как коэффициенты разложения некоторых элементарных функций в степенные ряды. Например:

К числу важнейших формул, в которых встречаются Б. ч., относится формула суммирования Эйлера — Маклорена (см. Конечных разностей исчисление). Через Б. ч. выражаются суммы многих рядов и значения несобственных интегралов. Б. ч. впервые появились в посмертной работе Я. Бернулли (1713) в связи с вычислением суммы одинаковых степеней натуральных чисел. Он доказал, что

Для Б. ч. известны рекуррентные формулы, позволяющие последовательно вычислять эти числа, а также явные формулы (имеющие довольно сложный вид).

Большой интерес представляют теоретико-числовые свойства Б. ч. Немецкий математик Э. Куммер в 1850 установил, что уравнение Ферма x^p + у^р = z^p не решается в целых числах х, у, z, отличных от нуля, если простое число р > 2 не делит числителей Б. ч. B₁, B₂,...B _{(p - 3)/2.} Нередко для обозначения Б. ч. вместо B_m пишут (-1) ^{m - 1}B_2m (m = 1, 2...); кроме того, полагают

B₀ = 1, B₁ = - ¹/₂,

B₃ = B₅ = B₇ =... = 0.

Лит.: Чистяков И. И., Бернуллиевые числа, М., 1895; Кудрявцев В. А., Суммирование степеней чисел натурального ряда и числа Бернулли, М.—Л., 1936; Уиттекер Э.-Т. и Ватсон Д.-Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 1, М., 1963; Landau Е., Vorlesungen über Zahlentheorie, Bd 3, N. Y., 1927.

С. Б. Стечкин.

- последовательность рациональных чисел найденная Я. Бернулли [1] в связи с вычислением суммы одинаковых стейеней натуральных чисел:

Значения первых Б. ч.:

Все Б. ч. с нечетными номерами, кроме В ₁ равны нулю, знаки чередуются. Б. ч. являются значениями при Бернулли многочленов:; коэффициентами разложения нек-рых элементарных функций в степенные ряды часто служат Б. ч. Напр.

(т. н. производящая функцию для Б. ч.),.

Л. Эйлер (L. Euler, 1740) указал на связь между Б. <ч. и значениями дзета-функции Римана z(s) при четных :

Через Б. ч. выражаются многие несобственные интегралы, напр.

Некоторые соотношения для Б. ч.:

-(рекуррентная формула):

оценка:

Для Б. ч. имеются обширные таблицы, напр., в [2] приведены точные значения для и приближенные значения для Б. ч. находят многочисленные применения в математич. анализе, теории чисел, приближенных вычислениях.

Лит.:[1] Bernoulli J., Ars conjectandi, Basileae, 1713; [2] Tables of the higher mathematical functions, y. 2, Bloomington, 1985; [3] Saalschuetz L., Vorlesungen uber die Bernoullischen Zahlen, В., 1893; [4] Чистяков И. И., Бернуллиевы числа, М., 1895; [5] Nielsen N., Traite elementaire de nombres de Bernoulli, P., 1923; [6] Кудрявцев В. А., Суммирование степеней чисел натурального ряда и числа Бернулли, М.-Л., 1936; [7] Norlund N. E., Vorlesungen uber Differenzenrechnung, В., 1924; [8] Гeльфонд А. О., Исчисление конечных разностей, 3 изд., М., 1967; [9] Xарди Г., Расходящиеся ряды, пер. с англ., М., 1951. Ю. Я. Субботин.