Больших чисел закон

I

Больши́х чи́сел зако́н

общий принцип, в силу которого совокупное действие большого числа случайных факторов приводит, при некоторых весьма общих условиях, к результату, почти не зависящему от случая. Точная формулировка и условия применимости Б. ч. з. даются в теории вероятностей. Б. ч. з. является одним из выражений диалектической связи между случайностью и необходимостью. Первая точно доказанная теорема принадлежит Я. Бернулли (опубликована после его смерти, в 1713, см. Бернулли теорема). Теорема Бернулли была обобщена С. Пуассоном, в сочинении которого «Исследование о вероятности суждения» (1837) впервые появился термин «закон больших чисел». Значительно более общее понимание этого термина основано на работе П. Л. Чебышева «О средних величинах» (1867). В этом современном понимании Б. ч. з. утверждает, что при некоторых подлежащих точному указанию условиях среднее арифметическое

достаточно большого числа n случайных величин X_k с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, сколь угодно мало отличается от своего математического ожидания (См. Математическое ожидание)

Новым и весьма плодотворным оказался предложенный Чебышевым метод доказательства Б. ч. з., основанный на применении т. н. Чебышева неравенства (См. Чебышева неравенство).

Для независимых случайных величин, имеющих одинаковые распределения вероятностей и конечное математическое ожидание а, Б. ч. з. утверждает, что при любом ε > 0 вероятность неравенства |х - а| <>стремится к единице при n→∞. Порядок отклонений x̅ от а указывается предельными теоремами (См. Предельные теоремы) теории вероятностей. В типичных случаях отклонения имеют порядок

Соответственно, случайные отклонения суммы

от её математического ожидания na растут как

Этот факт (называемый в упрощённых популярных изложениях «законом корня квадратного из n») даёт некоторое, хотя и грубое, представление о характере действия Б. ч. з.

Наглядное объяснение смысла и значения Б. ч. з. даёт следующий пример. Пусть в замкнутом сосуде заключено Nмолекул газа. В соответствии с кинетической теорией каждая молекула беспорядочно движется внутри сосуда, испытывая множество столкновений с другими молекулами и стенками сосуда. Ударяясь о какую-либо площадку σ стенки в течение выбранного промежутка времени в tсекунд, отдельная молекула сообщает этой площадке импульс f_k (см. Ударный импульс). Импульс f_k является типичной случайной величиной, т.к. состояние рассматриваемого газа определяет лишь математическое ожидание а = E(f_k) этого импульса, фактическое же значение импульса данной молекулы за данный промежуток времени может быть самым различным (начиная от нуля — в случае, если за данный промежуток времени данная молекула не ударялась о площадку σ). Сумма

импульсов всех молекул, сообщаемых площадке σза данный промежуток времени, является также случайной величиной с математическим ожиданием, равным А = Na. Однако в силу Б. ч. з. (который проявляется здесь с исключительной точностью благодаря тому, что число N очень велико) F в действительности оказывается почти независимым от случайных обстоятельств движения отдельных молекул, а именно — почти точно равным своему математическому ожиданию А. Этим, с точки зрения кинетической теории, и объясняется тот факт, что давление газа на площадку σ является практически строго постоянным, а не колеблется беспорядочно.

Часто приходится применять Б. ч. з. и в такой обстановке, когда количество случайных слагаемых не столь велико, как в примере с газовыми молекулами; тогда отклонения суммы случайных величин от её математического ожидания могут быть значительными. В этом случае крайне важно уметь оценивать размеры этих отклонений. Пусть, например, из 1000 партий каких-либо изделий, по 100 шт. в каждой, взято для испытания наудачу по 10 шт. из каждой партии и среди испытанных 10 000 шт. обнаружено 125 дефектных. Если обозначить n_к число дефектных изделий в k-й партии, то общее число дефектных изделий равно

математическое ожидание числа дефектных изделий среди тех десяти, которые взяты для испытаний из k-й партии, равно S_k = (¹⁰/₁₀₀) n_k, а математическое ожидание общего числа дефектных изделий в 1000 пробах по 10 штук равно

В силу Б. ч. з. естественно считать, что ⁿ/₁₀ Больших чисел закон 125, т. е. среди 100 000 изделий во всех партиях имеется приблизительно 1250 дефектных. Более точное исследование с помощью теории вероятностей приводит к такому результату: если выборка изделий из каждой партии была действительно случайной, то можно с достаточной уверенностью утверждать, что фактически 1000 1500, но уже оценка 1100 <>n<>nn можно, лишь испытав большее число изделий.

Условие независимости слагаемых в большинстве применений Б. ч. з. если и выполняется, то лишь с тем или иным приближением. Так, уже в первом примере движения отдельных молекул газа нельзя, строго говоря, считать независимыми. Поэтому важно исследование условий применимости Б. ч. з. к случаю зависимых слагаемых. Основные математические работы в этом направлении принадлежат А. А. Маркову, С. Н. Бернштейну и А. Я. Хинчину. Качественно результаты их исследований сводятся к тому, что Б. ч. з. применим, если между слагаемыми с далёкими номерами зависимость достаточно слаба. Таково, например, положение в рядах метеорологических наблюдений над температурой или давлением воздуха.

Математическая сторона вопросов, связанных с Б. ч. з., освещена также в ст. Предельные теоремы теории вероятностей и Вероятностей теория. В применениях Б. ч. з. необходимо тщательно проверять соответствие условий его применимости реальной обстановке.

Лит.: Bernoulli J., Ars conjectandi, opus posthumum, Basileae, 1713 (в рус. пер.— Часть 4 соч. Я. Бернулли..., СПБ, 1913); Poisson S.-D., Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile, précédées des règles générales du calcul des probabilités, P., 1837; Чебышев П. Л., О средних величинах, Полн. собр. соч., т. 2, М.—Л., 1947, с. 431—37; Гнеденко Б. В., Курс теории вероятностей, 4 изд., М., 1965.

Л. Н. Колмогоров.

Больши́х чи́сел зако́н

в экономической науке и в социально-экономической статистике, проявление одного из важнейших объективных законов, сопутствующее формированию закономерностей массовых социально-экономических процессов. В качественно однородных совокупностях, состоящих из случайных единичных явлений, закономерности проявляются (и, следовательно, могут изучаться) лишь на достаточно большом числе единиц (случаев); эти закономерности могут быть количественно выражены только в форме средних чисел (например, средних уровней, средних долей признака или групп в совокупности, различных коэффициентов и других обобщающих характеристик); средние числа выражают их тем точнее, чем большее число единиц явления ими охватывается; отклонения этих отдельных единиц в ту и другую сторону от характеристики общей закономерности всего явления, вызываемые случайными причинами, при достаточно большом числе единиц почти взаимопогашаются. В любом массовом явлении наряду с факторами, общими для всей массы единиц, действуют факторы случайные, т. е. такие, которые в индивидуальных единицах могут быть различны, и их действие может быть направлено в разные стороны — поскольку между этими единицами имеется известная степень взаимной независимости. В результате взаимопогашения действия случайных факторов проявляется действие факторов, общих явлению, т. е. проявляется необходимость, закономерность всего массового явления. Б. ч. з. не имеет отношения ко второй группе факторов (причин), следовательно, к сущности массового явления. Он не создаёт ни самих, проявляющихся в среднем, закономерностей, ни их общей средней меры для массы единиц явления (например, уровня стоимости или производительности труда, средней нормы прибыли, вероятности заболевания и т.д.); следовательно, Б. ч. з. не в состоянии ни изменить средний уровень явления, ни вызвать устойчивость динамического ряда уровней, ни предопределить размеры отклонений от среднего уровня, ни, тем более, служить объяснению реальных причин возникновения самого уровня или отклонений от него. Отсюда ясна полная несостоятельность антинаучных попыток некоторых буржуазных учёных приписать Б. ч. з. чудодейственную, почти мистическую способность творить закономерность из хаоса любых случайностей, даже если в них внутренняя необходимость, внутренняя закономерность и не заложена, — лишь бы было «большое число» единиц, которое якобы само по себе, независимо от сущности массового явления, приводит к возникновению закономерности в нём. Б. ч. з. не образует закономерность, а лишь управляет её проявлением. На интуитивном признании Б. ч. з. уже основывались в своих демографических и статистических исследованиях Дж. Граунт (1662), У. Петти, Э. Галлей (1693), И. Зюсмильх (1741), А. Кетле. В 19 в. толкование экономических явлений, как массовых с сопутствующим действием Б. ч. з., приобретает всё большее распространение. В трудах К. Маркса, особенно в «Капитале», все категории экономической действительности и экономической науки выступают как средние величины (среднее общественно необходимое рабочее время, простой средний труд, средний в данном обществе уровень умелости и интенсивности труда, средняя скорость обращения денег, средняя норма прибыли и т.д.). Равным образом лишь как средние уровни, лишь в среднем могут проявляться, по концепции Маркса, любые экономические законы и закономерности (при капитализме действующие «слепо», стихийно). Вместе с тем Маркс и Энгельс неоднократно писали о специфической форме проявления экономических законов и закономерностей: «Совокупное движение этого беспорядка есть его порядок» (Маркс К., см. Маркс К. и Энгельс Ф., Соч., 2 изд., т. 6, с. 438; речь идёт о движении цен); «...Общие законы осуществляются,... лишь как господствующая тенденция, как некоторая никогда твердо не устанавливающаяся средняя постоянных колебаний» (Маркс К., там же, т. 25, ч. 1, с. 176); «...внутренний закон, прокладывающий себе дорогу через эти случайности и регулирующий их, становится видимым лишь тогда, когда они охватываются в больших массах, и... он остается поэтому невидимым и непонятным для самих отдельных агентов производства» (там же, т. 25, ч. 2, с. 396); об «экономических законах вообще» Энгельс писал: «...все они не имеют иной реальности, кроме как в приближении, в тенденции, в среднем, но не в непосредственной действительности» (там же, т. 39, с. 355). Отклонения множества цен от стоимости Маркс трактует как форму проявления закона стоимости: «...возможность отклонения цены от величины стоимости заключена уже в самой форме цены. И это не является недостатком этой формы, — наоборот, именно эта отличительная черта делает ее адэкватной формой такого способа производства, при котором правило может прокладывать себе путь сквозь беспорядочный хаос только как слепо действующий закон средних чисел» (там же, т. 23, с. 112). Позднее В. И. Ленин писал о том же в несколько иных выражениях: «...вполне естественно, что в обществе разрозненных товаропроизводителей, связанных лишь рынком, закономерность не может проявляться иначе как в средней, общественной, массовой закономерности при взаимопогашении индивидуальных уклонений в ту или другую сторону» (Полн. собр. соч., 5 изд., т. 26, с. 68). Не возникает сомнений, что и Маркс, и Ленин говорят здесь о Б. ч. з., однако Маркс называет его иным термином: Durchschnittsgesetz, т. е. «законом осреднения», «осредняющим законом», «законом средних чисел»; причину этого надо видеть в том, что факт проявления любого закона в виде средней величины Маркс считал существеннее факта его проявления лишь на большом числе случаев. Отсюда — установившееся в современной статистической науке отождествление понятий и терминов «Б. ч. з.» и «закон средних чисел», часто «закон больших (средних) чисел».

Необходимо строго различать взаимопогашение случайных отклонений отдельных единиц от среднего уровня всего массового явления при действии Б. ч. з. и чисто алгебраическое уравновешивание суммы положительных и суммы отрицательных отклонений при вычислении любой арифметической средней. Эти последние уравновешиваются в силу самого правила вычисления средней и притом полностью, как в случае типической средней для однородной совокупности (когда индивидуальные отклонения действительно случайны), так и при чисто фиктивной, «огульной» средней для явно разнородной совокупности (когда в индивидуальных отклонениях переплетены и существенные и случайные элементы), и притом при любом числе индивидуальных значений, объединяемых арифметической средней. Действие же Б. ч. з. состоит во взаимопогашении случайных отклонений от уровня, соответствующего закономерности массового явления и лишь приближённо отражаемого средней величиной, а потому такое взаимопогашение не может быть полным, и оно зависит от численности входящих в массу единичных явлений.

Значение факта действия Б. ч. з. велико для любой современной науки, в частности и в особенности — для научной разработки теории статистики и методов статистического познания. Действие Б. ч. з. имеет всеобщее значение для самих объектов статистического изучения — статистических совокупностей с их сводными признаками и массовыми закономерностями. На планомерном использовании действия Б. ч. з. при случайном отборе единиц массовой совокупности для образования выборки основан важный статистический метод выборочного наблюдения.

Лит.: Слуцкий Е. Е., К вопросу о законе больших чисел, «Вестник статистики», 1925, кн. 22, № 7—9; Ястремский Б. С., Труды по статистике..., М., 1937, с. 311-348, 459-498; Лившиц Ф. Д., Закон больших (средних) чисел в общественных явлениях, «Уч. зап. по статистике АН СССР», 1955, т. 1, с. 166—92; его же, К вопросу об оценке работ А. А. Чупрова и С. Пуассона, «Вестник статистики», 1958, № 4; Пасхавер И. С,, Закон больших чисел и закономерности массового процесса, М., 1966; Вопросы статистической методологии и статистико-экономического анализа. Материалы межвузовской научной конференции, М., 1966, с. 63—102; Малый И. Г., Вопросы статистики в «Капитале» Карла Маркса, М., 1967, гл. III (в главе также приведены многие высказывания К. Маркса, Ф. Энгельса и В. И. Ленина о средних величинах и Б. ч. з.).

Ф. Д. Лившиц.

больши́х чи́сел зако́н

одно из основных положений теории вероятностей, в силу которого совокупное действие большого числа случайных факторов приводит, при некоторых весьма общих условиях, к результату, почти не зависящему от случая. Закон больших чисел выражен в ряде теорем, из которых важнейшая доказана в середине XIX в. П. Л. Чебышевым. Закон больших чисел имеет важное практическое значение в статистике, физике и других отраслях знаний при изучении массовых явлений.

* * *

БОЛЬШИ́Х ЧИ́СЕЛ ЗАКО́Н, одно из основных положений теории вероятностей, в силу которого совокупное действие большого числа случайных факторов приводит, при некоторых весьма общих условиях, к результату, почти не зависящему от случая. Больших чисел закон выражен в ряде теорем, из которых важнейшая доказана в сер. 19 в. П. Л. Чебышевым. Больших чисел закон имеет важное практическое значение в статистике, физике и других отраслях знаний при изучении массовых явлений.

общий принцип, в силу к-рого совместное действие случайных факторов приводит при нек-рых весьма общих условиях к результату, почти не зависящему от случая. Сближение частоты наступления случайного события с его вероятностью при возрастании числа испытаний (подмеченное сначала, по-видимому, на азартных играх) может служить первым примером действия этого принципа.

На рубеже 17 и 18 вв. Я. Бернулли [1] доказал теорему, утверждающую, что в последовательности независимых испытаний, в каждом из к-рых вероятность наступления нек-рого события Аимеет одно и то же значение верно соотношение:

при любом - число появлений события в первых писпытаниях, - частота появлений. Эта Бернулли теорема была распространена С. Пуассоном [2] на случай последовательности независимых испытаний, где вероятность появления события Аможет зависеть от номера испытания. Пусть эта вероятность для k-го испытания равна и пусть

Тогда Пуассона теорема утверждает, что

.

при любом Первое строгое доказательство этой теоремы было дано П. Л. Чебышевым (1846), метод к-рого полностью отличен от метода Пуассона и основан на нек-рых экстремальных соображениях; С. Пуассон выводил (2) из приближенной формулы для указанной вероятности, основанной на использовании закона Гаусса и в то время еще строго не обоснованной. У С. Пуассона впервые встречается и термин "закон больших чисел", к-рым он назвал свое обобщение теоремы Бернулли.

Естественное дальнейшее обобщение теорем Бернулли и Пуассона вознпкает, если заметить, что случайные величины можно представить в виде суммы

независимых случайных величин, где , если Апоявляется в А--м испытании, и - в противном случае. При этом математич. ожидание (совпадающее со средним арифметическим математич. ожиданий ) равно рдля случая Бернулли и для случая Пуассона. Другими словами, в обоих случаях рассматривается отклонение среднего арифметического величин Х _k от среднего арифметического их математич. ожиданий.

В работе П. Л. Чебышева "О средних величинах" (1867) было установлено, что для независимых случайных величин соотношение

(при любом ) верно при весьма ^бщих предположениях. П. Л. Чебышев предполагал, что математич. ожидания все ограничены одной и той же постоянной, хотя из его доказательства видно, что достаточно требования ограниченности дисперсий

или даже требования

Таким образом, П. Л. Чебышев показал возможность широкого обобщения теоремы Бернулли. А. А. Марков отметил возможность дальнейших обобщений и предложил применять название Б. ч. з. ко всей совокупности обобщений теоремы Бернулли [и в частности, к (3)]. Метод Чебышева основан на точном установлении общих свойств математич. ожиданий и на использовании так наз. Чебышева неравенства[для вероятности (3) оно дает оценку вида

эту границу можно заменить более точной, разумеется при более значительных ограничениях, см. Бернштейна неравенство]. Последующие доказательства различных форм Б. ч. з. в той или иной степени являются развитием метода Чебышева. Применяя надлежащее "урезание" случайных величин (замену их вспомогательными величинами именно: , если где - нек-рые постоянные), А. А. Марков распространил Б. ч. з. на случаи, когда дисперсии слагаемых не существуют. Напр., он показал, что (3) имеет место, если при нек-рых постоянных и всех и

Аналогично доказывается теорема Хинчина (1929): если имеют одинаковые законы распределения и существует, то Б. <ч. з. (3) выполняется. Для сумм независимых случайных величин можно сформулировать более или менее окончательный вариант Б. ч. з. Для этого целесообразно перейти на более общую точку зрения, связанную с понятием предельного постоянства последовательности случайных величин. Случайные величины последовательности Y₁, Y₂,...,Y_n,.... наз. предельно постоянными, если существует такая последовательность постоянных С ₁ ,С ₂ ,...,С _п,,..., что при любом и

(т. е. сходится к нулю "по вероятности"; если (4) выполняется с к.-л. , то оно выполняется и с где - медиана случайной величины ).

Далее, вместо последовательности ... независимых случайных величин можно взять так наз. схему серий (см. Серий схема).

случайных величин (первый индекс - номер серии, второй - номер величины внутри серии). Случайные величины каждой отдельной серии предполагаются взаимно независимыми. Схему последовательности легко свести к схеме серий, полагая

Пусть

Тогда общая форма вопроса о применимости Б. <ч. <з. для сумм независимых случайных величин такова: при каких условиях суммы предельно постоянны?

Ответ на этот вопрос дал А. Н. Колмогоров (1928). Допустим, не ограничивая общности, что медианы величин равны нулю. Пусть и при Тогда одновременное выполнение двух условий:

и

необходимо и достаточно для предельного постоянства сумм . В качестве можно взять . Достаточность этих условий легко доказывается методом Чебышева. Если математич. ожидания существуют, то легко указать дополнительные условия, при к-рых можно выбрать , что приводит к необходимым и достаточным условиям Б. <ч. <з. в классич. формулировке (3). Для последовательности независимых одинаково распределенных величин эти условия сводятся, в соответствии с указанной теоремой Хинчина, к существованию математич. ожидания. В то же время для предельного постоянства средних арифметических в этом случае необходимо и достаточно условие

Легко привести примеры, когда условие (5) не выполняется. Так, оно не выполняется, если все имеют распределение Коши с плотностью (к-рой соответствует характеристич. функция ). Здесь средние арифметические имеют характеристич. функцию , и следовательно, имеют при любом пто же самое распределение, что и отдельные слагаемые.

В числе наиболее важных примеров, где Б. <ч. з. не пмеет места, следует отметить примеры, связанные с временами возвращения в случайных блужданиях. Напр., в симметричном Бернулли блуждании время до тг-го возвращения в исходную точку есть сумма пнезависимых случайных величин где - время до 1-го возвращения, - время между 1-м и 2-м возвращениями и т. д. Распределение величины сходится при к невырожденному предельному закону с плотностью

и равной нулю при . Таким образом, в этом случае распределение среднего арифметического величин X_i , т. <е. , размещается, грубо говоря, на отрезке длины порядка п(в то время как в случае применимости Б. ч. з. оно сосредоточивается на отрезках длины ).

Применимость Б. <ч. з. к суммам зависимых величин (и в его классич. формулировке, и в более общих) связана в первую очередь с неограниченным убыванием зависимости между случайными величинами и при увеличении разности их номеров, т. е. Впервые соответствующие теоремы были доказаны А. А. Марковым для величин, связанных в цепь Маркова (1907). Именно, пусть принимают конечное число значений и связаны в однородную цепь Маркова, причем все вероятности перехода за один шаг положительны. Здесь неограниченное убывание зависимости между при проявляется в том, что условное распределение при фиксированном значении стремится при к пределу, не зависящему от выбранного значения (эргодическая теорема Маркова). Как следствие этого утверждения выводится Б. ч. з.: сначала устанавливается, что при

где отсюда же вытекает, что при

Более общий случай охватывается условиями С. Н. Бернштенна: если , где - нек-рая постоянная, Л - коэффициент корреляции, - функция, стремящаяся к нулю при , то к величинам применим Б. ч. з. (3). Для стационарных в широком смысле последовательностей условие на корреляцию можно несколько ослабить, заменив его условием

где .

Предыдущие результаты можно обобщить в различных направлениях. Во-первых, всюду выше рассматривалась сходимость "по вероятности". Рассматривают и другие типы сходимости: с вероятностью единица, в среднем квадратичном и т. п. (в действительности многие из указанных выше условий обеспечивают сходимость в среднем квадратичном, из к-рой вытекает сходимость по вероятности). Случай сходимости с вероятностью единица, ввиду его важности, выделяется особым названием "усиленного закона больших чисел" (см. Больших чисел усиленный закон)..

Далее, многие теоремы перевесятся с соответствующими изменениями на случайнее векторы со значениями из евклидовых пространств любой размерности, из гильбертова пространства, из нек-рых банаховых пространств. Так, напр., если - последовательность независимых одинаково распределенных случайных векторов со.значениями из сепарабельного банахова пространства и если существует, то

при любом

Рассматриваемый в наиболее общей форме Б. <ч. <з. оказывается тесно связанным с эргодическими теоремами. Разумеется, многие теоремы переносятся и на случай средних - случайный процесс, зависящий от непрерывного параметра (см., например, [10]).

Наконец, вместо сумм случайных величин можно рассмотреть другие симметрические функции от них. Это было сделано А. Я. Хинчиным (1951 - 55) в связи с обоснованием нек-рых выводов статистич. механики [9]. Результат А. Я. Хинчина можно пояснить следующим частным примером. Пусть - координаты точки, равномерно распределенной на поверхности сферы

Тогда для широкого класса симметрических функций имеет место Б. <ч. <з. в том смысле, что их значения при оказываются предельно постоянными [это близко к замечанию П. Леви (Р. , 1925) о том, что достаточно регулярные функции очень большого числа переменных почти постоянны в большей части области определения].

В большинстве старых руководств приводились обширные статистич. данные, иллюстрирующие Б. <ч. <з. (см., напр. [4], [11]).

Лит.:Ill Bernoulli J., Ars conjectandi, opus posthumum, Basileae, 1713 (в рус. пер.- Часть четвертая сочинения Я. Бернулли..., СПБ, 1913); [2] Роissоn S.-D., Recherches sur la probability des jugements en matiere criminelle et en matiere civile, precedees des regies generates du caleul des probability, P., 1837; 13] Чебышев П. Л., Поли. собр. соч., т. 2, М. - Л., 1947; [4] Марков А. А., Исчисление вероятностей, 4 изд., М., 1924; [5] Бернштейн С. Н., Теория вероятностей, 4 изд., М.- Л., 1946; [6] Гнеденко Б. В., Колмогоров А. Н., Предельные распределения для сумм независимых случайных величин, М.- Л., 1949; [7] Дуб Д ж., Вероятности ные процессы, пер. с англ., М., 1956; [8] Гренандер У., Вероятности на алгебраических структурах, пер. с англ., М., 1965; [9] Xинчин А. Я., Симметрические функции на многомерных поверхностях, в кн.: Памяти А. А. Андронова, М., 1955, с. 541-74; [10] Лоэв М., Теория вероятностей, пер. с англ., М., 1962; [11] Uspensky J. V., Introduction to mathematical probability, N. Y.- L.,1937. Ю. В. Прохоров.

одно из осн. положений теории вероятностей: совокупное действие большого числа случайных факторов приводит при нек-рых весьма общих условиях к результату, почти не зависящему от случая.

одно из осн. положений теории вероятностей, в силу к-рого совокупное действие большого числа случайных факторов приводит, при нек-рых весьма общих условиях, к результату, почти не зависящему от случая. Б. ч. з. выражен в ряде теорем, из к-рых важнейшая доказана в сер. 19 в. П. Л. Чебышевым. Б. ч. з. имеет важное практик, значение в статистике, физике и др. отраслях знаний при изучении массовых явлений.

- англ. hw of large numbers; нем. Gesetz der grossen Zahl. Одно из основных положений теории вероятностей, согласно к-рому совокупное действие большого числа случайных факторов приводит при нек-рых общих условиях к результату, почти независящему от случая. Б.ч.з. имеет большое практическое значение при статист, изучении массовых соц. процессов.

- англ. hw of large numbers; нем. Gesetz der grossen Zahl. Одно из основных положений теории вероятностей, согласно к-рому совокупное действие большого числа случайных факторов приводит при нек-рых общих условиях к результату, почти независящему от случая. Б.ч.з. имеет большое практическое значение при статист, изучении массовых соц. процессов.