Полунепрерывная функция

понятие математического анализа. П. ф. снизу (сверху) в точке х₀ называется функция, для которой f(x)= f(x₀) [соответственно f(x) = f(x₀)]. Иначе, функция полунепрерывна снизу в точке x₀, если для всякого ε > 0 найдётся такое δ > 0, что из |x - x₀| f(x₀) -— f(x) <>ε (не по абсолютной величине!). Функция, полунепрерывная и снизу и сверху, непрерывна в обычном смысле. Ряд свойств П. ф. аналогичен свойствам непрерывных функций (см. Непрерывная функция).Например: 1) если f(x) и g(x) П. ф. снизу, то и их сумма и произведение П. ф. снизу; 2) П. ф. снизу на отрезке достигает своего наименьшего значения. Для рядов П. ф. снизу верно, например, следующее утверждение: если u_n≥ 0 и все u_n (x) П. ф. снизу, то сумма ряда ∑^∞_n=1u_n (x) П. ф. снизу. П. ф. принадлежат к функциям первого класса по Бэра классификации (См. Бэра классификация).

мат. semicontinuous function

функция из первого Бэра класса. Подробнее, числовая функция f, определенная на полном метрич. пространстве X, наз. полунепрерывной снизу (сверху) в точке , если

Функция f наз. полунепрерывной снизу (сверху) на X, если она. полунепрерывна снизу (сверху) для всех . Предел монотонно возрастающей (убывающей) последовательности полунепрерывных снизу (сверху) в точке x₀ функций есть П. ф. снизу (сверху) в х ₀. Если и(х).и v(x).есть П. ф. соответственно снизу и сверху на Xи для всех имеет место , v(x)<+, то существует непрерывная на Xфункция f такая, что для всех . Если m - неотрицательная мера на , то для любой m-измеримой функции существуют две последовательности функций {u_n(x)} и {v_n(x)}, удовлетворяющие условиям:

1) u_n(x) полунепрерывны снизу, v_n (х).полунепрерывны сверху,

2) каждая функция и _п (х). ограничена снизу, каждая функция v_n(x).- сверху,

3) последовательность {и _n} невозрастающая, последовательность {v_n} неубывающая,

4) для всех химеет место неравенство

5) m-почти всюду.

6) если для функция f суммируема, , то и

(теорема Витали - Каратеодори).

Лит.:[1] Натансон И. П., Теория функций вещественной переменной, 3 изд., М., 1974; [2] Сакс С., Теория интеграла, пер. с англ., М., 1949. И. А. Виноградова.

funzione semicontinua

півнепере́рвна фу́нкція

півнепере́рвна фу́нкція