Асимптотическое выражение

сравнительно простая элементарная функция, приближённо равная (с как угодно малой относительной погрешностью) более сложной функции при больших значениях аргумента (или при значениях аргумента, близких к данному значению, например нулю); А. в. иногда называется также асимптотической формулой или оценкой. Точное определение: функция φ(x) является А. в. для f(x) при х → ∞ (или х → а), если f(x)/φ(x)→1при х → ∞ (или х → а), или, что то же самое, если f(x)= φ(x)[1 + α(x)], где α(х)→ 0при х → ∞ (или х → а). В этом случае пишут: f(x)Асимптотическое выражение φ(x) при х → ∞ (или х → а). Как правило, φ(x) должна быть легко вычислимой функцией. Простейшими примерами А. в. при х → 0 могут служить sinx Асимптотическое выражение x,tgx Асимптотическое выражение x,ctgx Асимптотическое выражение1/x,1-cosx Асимптотическое выражение x²2,ln(1 + x) Асимптотическое выражение x, a^x -1 Асимптотическое выражение xlna (a > 0, a ≠ 1). Более сложные А. в. при х → ∞ возникают для важных функций из теории чисел и специальных функций математической физики. Например, π(x)Асимптотическое выражение x/lnх, где π(x)— число простых чисел, не превосходящих х,

где Г(u) — Гамма-функция, для целочисленных значений х = n имеем Г(n + 1) = n!, что приводит к Стирлинга формуле (См. Стирлинга формула):

Ещё более сложными А. в. обладают, например, Бесселя функции.

А. в. рассматриваются также в комплексной плоскости z = x + iy. Так, например, sin(x + iy)Асимптотическое выражение e^/y//2при y → ∞ и y → -∞.

А. в. является, вообще говоря, частным случаем (главным членом) более сложных (и точных) приближённых выражений, называемых асимптотическими рядами, или разложениями.

Лит.: де Брёйн Н. Г., Асимптотические методы в анализе, пер. с англ., М., 1961; Евграфов М. А., Асимптотические оценки и целые функции, 2 изд., М., 1962.

В. И. Левин.

мат. asymptotic expression

то же, что асимптотическая формула.