Большая Советская энциклопедия
формула
изображающая функцию f(x), имеющую n-ю производную f(n)(a) в точке х = а,в виде суммы многочлена степени n, расположенного по степеням х—а, и остаточного члена Rn (x), являющегося в окрестности точки а бесконечно малой более высокого порядка, чем (x—a) n [то есть Rn (x) = an(x)(x—a) n, где an(x) → 0 при х → а]. Если в интервале между а и х существует (n+ 1)-я производная, то Rn (x)можно представить в видах:
,
где ξ и ξ1 — какие-то точки указанного интервала (остаточный член Т. ф. в формах Лагранжа и соответственно Коши). График многочлена, входящего в Т. ф.. имеет в точке аСоприкосновение не ниже n-го порядка с графиком функции f(x). Т. ф. применяют для исследования функций и для приближённых вычислений.
Лит.: Хинчин А. Я., Краткий курс математического анализа, М.. 1953; Фихтенгольц Г. М.. Курс дифференциального и интегрального исчисления, 7 изд., т. 1, М.. 1969.
Математическая энциклопедия
- представление функции в виде суммы еи многочлена Тейлора степени п(n=0, 1, 2,...) и остаточного члена. Если действительная функция / одного переменного имеет ппроизводных в точке х 0, то ее Т. ф. имеет вид
f(x) = Pn(x) + rn(x),
где
- Тейлора многочлен, а остаточный член r п (х)может быть записан в форме Пеано
Если функция f дифференцируема n+1 раз в нек-рой окрестности 
точки х 0, то остаточный член в этой окрестности может быть записан в форме Шлёмильха - Роша
где р=1,2,..., n+1, частным видом к-рой являются форма Лагpанжа
и форма Коши
Если производная порядка n+1 функции f интегрируема на отрезке с концами в точках хи х 0, то остаточный член можно записать в интегральной форме
Т. ф. со всеми указанными формами записи ее остаточного члена обобщается на случай функций нескольких переменных. Т. ф. справедлива и для отображений подмножеств нормированных пространств в подобные же пространства, причем в этом случае остаточный член может быть записан в форме Пеано и интегральной форме.
Т. ф. позволяет изучение ряда свойств определенное число раз дифференцируемой функции свести к существенно более простой задаче изучения этих свойств у соответствующего многочлена Тейлора - на этом и основаны разнообразные и многочисленные применения Т. ф., напр. для вычисления пределов функций, исследования их экстремумов, точек перегиба, интервалов выпуклости и вогнутости, сходимости рядов и интегралов, оценки скорости их сходимости или расходимости.
Лит.:[1] Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Б. X., Математический анализ, М., 1979: [2] Никольский С. М., Курс математического анализа, 3 изд., т. 1, М., 1983.
Л. Д. Кудрявцев.