Лапласа оператор

Большая Советская энциклопедия

лапласиан, дельта-оператор, Δ-оператор, линейный дифференциальный Оператор, который функции φ(x₁, x₂,..., x_n) от n переменных x₁,x₂,..., x_n ставит в соответствие функцию

Δφ =

В частности, для функции φ(x, y) двух переменных х, у Л. о. имеет вид

Δφ =

а для функций одной переменной φ(x) Л. о. совпадает с оператором второй производной

Δφ =

Л. о. встречается в тех задачах математической физики, где изучаются свойства изотропной однородной среды (распространение света, тепла, движение идеальной несжимаемой жидкости и т.п.).

Уравнение Δφ = 0 обычно называется Лапласа уравнением; отсюда и произошло название Л. о.

Большой энциклопедический словарь

ЛАПЛАСА оператор - линейный дифференциальный оператор, который функции ?(x, y, z) ставит в соответствие функциюВстречается во многих задачах математической физики (распространение света, тепла, движение идеальной несжимаемой жидкости). Уравнение ???0 называется Лапласа уравнением.

Физическая энциклопедия

ЛАПЛАСА ОПЕРАТОР: (лапласиан) - простейший эллиптич. дифференц. оператор 2-го порядка

действующий на гладкие ф-ции f(х ₁,..., х _n), определённые в евклидовом пространстве R " с декартовыми координатами х ₁..., х _п (или в нек-рой его части G). Л. о. инвариантен относительно ортогональных преобразований координат в Rⁿ, т. е. преобразований с ортогональной матрицей Естеств. обобщением Л. о. на случай риманова пространства с метрикой где gij- метрический тензор, х ₁,..., х _n - локальные координаты, служит оператор Бельтрами - Лапласа

где матрица , а, р. А. Минлос.

Энциклопедический словарь

Лапла́са опера́тор

линейный дифференциальный оператор, который функции φ(х, у, z) ставит в соответствие функцию.Встречается во многих задачах математической физики (распространение света, тепла; движение идеальной несжимаемой жидкости). Уравнение Δφ = 0 называется Лапласа уравнением.

* * *
ЛАПЛАСА ОПЕРАТОР

ЛАПЛА́СА ОПЕРА́ТОР, линейный дифференциальный оператор, который функции j(x, y, z) ставит в соответствие функцию

Встречается во многих задачах математической физики (распространение света, тепла, движение идеальной несжимаемой жидкости). Уравнение Dj=0 называется Лапласа уравнением(см. ЛАПЛАСА УРАВНЕНИЕ).

Математическая энциклопедия

лапласиан,- дифференциальный оператор определяемый формулой

(здесь - координаты в ), а также некоторые его обобщения. Л. о. (1) является простейшим эллиптич. дифференциальным оператором 2-го порядка. Л. о. играет важную роль в математич. анализе, математич. физике и геометрии (см., напр., Лапласа уравнение, Лапласа - Бельтрами уравнение, Гармоническая функция, Гармоническая форма).

Пусть Месть n-мерное риманово пространство с метрикой

пусть - матрица, обратная к матрице Тогда Л. о. (или оператор Лапласа - Бельтрами) римановой метрики (2) на Мимеет вид

где - локальные координаты на М. Оператор (1) отличается знаком от Л. о. стандартной евклидовой метрики

Обобщением оператора (3) является Л. о. на дифференциальных формах. Именно, в пространстве всех внешних дифференциальных форм на МЛ. о. имеет вид

где d - оператор внешнего дифференцирования формы, d* - формально сопряженный к dоператор, определяемый с помощью следующего произведения на гладких финитных формах:

где * - оператор Ходжа, порожденный метрикой (2) и переводящий р-формы в ( п-р )-формы. В формуле (5) формы a и b считаются действительными, на комплексных формах нужно использовать эрмитово продолжение скалярного произведения (5). Сужение оператора (4) на О-формы (т. е. функции) задается формулой (3). На р-формах при произвольном целом Л. о. в локальных координатах записывается в виде

Здесь - ковариантные производные по

- тензор кривизны, - тензор Риччи. Пусть дан произвольный эллиптич. комплекс

где Е _р - действительные или комплексные расслоения на многообразии М, Г ( Е _р) - пространства их гладких сечений. Введя в каждом расслоении Е _р эрмитову метрику, а также задав произвольным образом элемент объема на М, можно определить эрмитово скалярное произведение в пространствах гладких финитных сечений расслоений Е _р. Тогда определены операторы d*, формально сопряженные к операторам d. По формуле (3) строится Л. о. на каждом пространстве Г( Е _р). Если в качестве комплекса (6) взять комплекс де Рама, то при естественном выборе метрики в р-формах и элемента объема, порожденных метрикой (2), получается в качестве Л. о. комплекса де Рама описанный выше Л. о. на формах.

На комплексном многообразии Мнаряду с комплексом де Рама имеются эллиптич. комплексы

где - пространство гладких форм типа ( р, q).на М. Вводя эрмитову структуру в касательном расслоении на М, можно построить Л. о. (4) комплекса де Рама и Л. о. комплексов (7), (8):

Каждый из этих операторов переводит в себя пространство Если М - кэлерово многообразие, а эрмитова структура на Миндуцирована кэлеровой метрикой, то

Важным фактом, определяющим роль Л. о. эллиптич. комплекса, является существование в случае компактного многообразия Мортогонального разложения Ходжа:

В этом разложении где - Л. о. комплекса (6), так что - пространство "гармонических" сечений расслоения Е _р (в случае комплекса де Рама - это пространство всех гармонических форм степени р). Прямая сумма первых двух слагаемых в правой части формулы (9) равна а прямая сумма двух последних слагаемых совпадает с В частности, разложение (9) задает изоморфизм пространства когомологий комплекса (6) в члене и пространства гармонич. сечений

Лит.: [1] Рам Ж. д е, Дифференцируемые многообразия, пер. с франц., М., 1956; [2] Чжэнь Шэн-шэнь, Комплексные многообразия, пер. с англ., М., 1961; [3] Уэллс Р., Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях, пер. с англ., М., 1976. М. А. Шубин.

Большой энциклопедический политехнический словарь

линейный дифференц. оператор, к-рый функции и (х. у, г) ставит в соответствие функцию

Ур-ние дельта u = 0 наз. Лапласа уравнением,

Естествознание. Энциклопедический словарь

линейный дифференц. оператор, к-рый ф-ции ф(фи) (х, у, z) ставит в соответствие ф-цию
Встречается во мн. задачах матем. физики (распространение света, тепла; движение идеальной несжимаемой жидкости). Ур-ние дельта ф(фи) = 0 наз. Лапласа уравнением.