Большая Советская энциклопедия
формула, дающая преобразование интеграла, взятого по объёму Q, ограниченному поверхностью S, в интеграл, взятый по этой поверхности:
здесь X, Y, Z — функции точки (х, у, z), принадлежащей трёхмерной области Ω. О. ф. найдена М. В. Остроградским (См. Остроградский) в 1828 (опубликована в 1831). В векторной форме О. ф. имеет вид:
где р — вектор поля, заданного в области Ω; dτ— элемент объёма; n— единичный вектор внешней нормали к поверхности Σ; dσ— элемент этой поверхности. В гидродинамическом истолковании О. ф. устанавливает равносильность двух способов учёта того количества жидкости, которое вытекает из оболочки Σ в единицу времени: 1) исходя из «производительности» точечных источников, заполняющих область Ω (левая часть равенства); 2) исходя из скоростей частиц жидкости в момент их прохождения через оболочку Σ (правая часть равенства). Формула была дана Остроградским (1834, опубликована в 1838) также и в более общем виде — для интеграла, распространённого на n-мерную область.
Большой энциклопедический словарь
ОСТРОГРАДСКОГО ФОРМУЛА - связывает тройной интеграл (см. Кратный интеграл) по некоторому объему с поверхностным интегралом по поверхности, ограничивающей этот объем. Предложена М. В. Остроградским (1828-31).
Энциклопедический словарь
Острогра́дского фо́рмула
связывает тройной интеграл (см. Кратный интеграл) по некоторому объёму с поверхностным интегралом по поверхности, ограничивающей этот объём. Предложена М. В. Остроградским (1828—31).
* * *
ОСТРОГРАДСКОГО ФОРМУЛАОСТРОГРА́ДСКОГО ФО́РМУЛА, связывает тройной интеграл (см. Кратный интеграл(см. КРАТНЫЙ ИНТЕГРАЛ)) по некоторому объему с поверхностным интегралом по поверхности, ограничивающей этот объем. Предложена М. В. Остроградским (1828—31).
Математическая энциклопедия
.- формула интегрального исчисления функций многих переменных, устанавливающая связь между n-кратным интегралом по области и ( п -1)-кратным интегралом но ее границе. Пусть функции Xi=Xi(x1,x2,..., х п).вместе со своими частными производными 
, i=1, 2,..., п, интегрируемы по Лебегу в ограниченной области 
, граница 
к-рой является объединением конечного множества кусочно гладких ( п-1)-мерных гиперповерхностей, ориентированных с помощью внешней нормали V. Тогда О. ф. имеет вид
Если 
- направляющие косинусы внешних нормалей v гиперповерхностей, составляющих границу 
области G, то формула (1) может быть записана в виде
где 
- элемент n-мерного объема в 
, a ds - алемент (n - 1)-мерного объема на 
.
В терминах векторного ноля 
формулы (1) и (2) означают равенство интеграла от дивергенции этого поля по области G его потоку (ем. Поток векторного поля) через границу области G:
Для гладких функций О. ф. была впервые получена в трехмерном случае М. В. Остроградским в 1828 (опубл. в 1831, см. [1]). Па n-кратные интегралы в случае произвольного натурального n О. ф. была обобщена мм в 1834 (опубл. в 1838, см. [2]). С помощью этой формулы М. В. Остроградский нашел выражение производной по параметру от n-кратного интеграла с переменными пределами и получил формулу для вариации n-кратного интеграла; при n=3 для одного частного случая О. ф. была получена К. Гауссом (С. Gauss) в 1813, поэтому иногда О. ф. наз. также формулой Остроградского - Гаусса. Обобщением О. ф. является С такса формула для многообразий с краем.
Лит.:[1] Остроградский М. В., "Memoires de Г Academic dcs Sciences de St. Petersbourg. Ser. 6 - Sciences mathematiques, physiques ct naturelles", 1831, t. 1, p. 117-22; [2] его ж с, там же, 1838, t. 1, p. 35-58. Л. Д. Кудрявцев.
Естествознание. Энциклопедический словарь
связывает тройной интеграл (см. Кратный интеграл) по нек-рому объёму с поверхностным интегралом по поверхности, ограничивающей этот объём. Предложена М.В. Остроградским (1828-31).