Цилиндрические функции

Большая Советская энциклопедия

весьма важный с точки зрения приложений в физике и технике класс трансцендентных функций (См. Трансцендентные функции), являющихся решениями дифференциального уравнения:

(1)

где ν — произвольный параметр. К этому уравнению сводятся многие вопросы равновесия (упругого, теплового, электрического) и колебаний тел цилиндрической формы. Решение, имеющее вид:

[где Г (z) — Гамма-функция; ряд справа сходится при всех значениях х], называется Ц. ф. первого рода порядка ν. В частности, Ц. ф. нулевого порядка имеет вид:

Если ν — целое отрицательное: ν = — n,то J_ν(x) определяется так:

J_-n(x) = (— 1) ⁿ J_n(x).

Ц. ф. порядка ν = m+ ¹/₂, где m —целое число, сводится к элементарным функциям, например:

Функции J_ν(x) и уравнение (1) называют также по имени Ф. Бесселя (См. Бессель)(Бесселя функции, Бесселя уравнение). Однако эти функции и уравнение (1) были получены ещё Л. Эйлеромпри изучении колебаний мембраны в 1766, т. е. почти за 50 лет до работ Бесселя; функция нулевого порядка встречается ещё раньше в работе Д. Бернулли, посвященной колебанию тяжёлой цепи (опубликована в 1738), а функция порядка ¹/₃ в письме Я. Бернулли к Г. Лейбницу(1703).

Если ν не является целым числом, то общее решение уравнения (1) имеет вид

y=C₁J_ν(x) + C₂J_-_ν(x), (2)

где C₁ и C₂— постоянные. Если же ν — целое, то J_ν(x) и J_-_ν(x) линейно зависимы, и их линейная комбинация (2) уже не является общим решением уравнения (1). Поэтому, наряду с Ц. ф. первого рода, вводят ещё Ц. ф. второго рода (называемые также функциями Вебера):

При помощи этих функций общее решение уравнения (1) может быть записано в виде

у = C₁J_ν(x) + C₂Y_ν(x)

(как при целом, так и при нецелом ν).

В приложениях встречается также Ц. ф. мнимого аргумента

(функция Макдональда). Эти функции удовлетворяют уравнению

общее решение которого имеет вид

y = C₁l_ν(x) + C₂K_ν(x)

(как при целом, так и нецелом ν). Часто употребляются ещё Ц. ф. третьего рода (или функции Ганкеля)

а также функции Томсона ber (х) и bei (x), определяемые соотношением

ber (x) + i bei (x) = I₀(x).

Важную роль играют асимптотические выражения Ц. ф. для больших значений аргумента:

из которых, в частности, вытекает, что Ц. ф. J_ν(x) и Y_ν(x) имеют бесконечное множество действительных нулей, расположенных так, что вдали от начала координат они как угодно близки к нулям функций, соответственно,

Ц. ф. изучены очень детально и для комплексных значений аргументов. Для вычислений существует большое число таблиц Ц. ф.

Лит.: Смирнов В. И., Курс высшей математики, 8 изд., т. 3, ч. 2, М., 1969; Никифоров А. Ф., Уваров В. Б., Основы теории специальных функций, М., 1974; Ватсон Г. Н., Теория бесселевых функций, пер. с англ., ч. 1—2, М., 1949; Бейтмен Г., Эрдей А., Высшие трансцендентные функции, пер. с англ., 2 изд., т. 2, М., 1974.

Большой энциклопедический словарь

ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ - решения уравнения Бесселя; возникают при исследовании физических процессов (теплопроводности, диффузии, колебаний) в областях с круговой или цилиндрической симметрией.

Физическая энциклопедия

ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
(функции Бесселя)- решения Z_v(z )ур-ния Бесселя

где параметр (индекс) v -произвольное действительное или комплексное число. В приложениях чаще встречается ур-ние, зависящее от четырёх параметров:

решения к-рого выражаются через Ц. <ф.: u(z) = z^aZ_v(bz^g). Среди ур-ний (2) содержится ур-ние u " -zu = 0, к-рое порождает Эйри функции.
Ц. ф. произвольного порядка. Если v не является целым числом, то общее решение ур-ния (1) имеет вид

где c₁ и c₂- постоянные, J_v и J_-v - ф-ции Бесселя 1-го рода (или Ц. ф. 1-го рода, рис. 1, а). Если v - целое, то J_v и J__v линейно зависимы. Поэтому наряду с J_v(z )вводят ф-ции Бесселя 2-го рода (рис. 1, б) Y_v(z)[иногда их наз. N_v(z)]:
Рис. 1. Графики функций J_v и Y_v вещественного аргу мента x для некоторых целых значений v.

При помощи этих ф-ций общее решение (1) можно всегда записать в виде

Для приложений важны и др. решения (1) - ф-ции Бесселя 3-го рода, или ф-ции Ханкеля (Ганкеля) 1-го и 2-го рода H_v⁽¹⁾(z )и H_v⁽²⁾(z):

Связь между различным и Ц. ф.:

Разложения в ряды:

при n = 0 первую из сумм следует полагать равной нулю, y - логарифмическая производная гамма-функции, y(1) = G'(1) = -g, постоянная Эйлера g = 0,577215.
Интегральные представления Пуассона для ф-ций Бесселя 1-го рода J_v(z )и ф-ций Ханкеля H_v^(1,2)(z) при Rev >:

Интегральные представления Зоммерфельда:

(контуры C₁, C₊, С_ изображены на рис. 2). При v = n (где n- целое)

Рис. 2. Контуры интегрирования С_b и C₁ (f = c + iy). Числа a и b связаны соотношением b= abp.
Рекуррентные соотношения и ф-л ы дифференцирования:

[Z_v(z) - любая из ф-ций J_v(z), Y_v(z), H_v^(1,2)(z)].
Ц. ф. полуцелого порядка. Ц. ф. превращаются в элементарные тогда и только тогда, когда v принимает полуцелые значения (v = n+ 1/2):

Асимптотическое поведение Ц. ф. Для|z|>>1,|z|>> v имеют место оценки:

Здесь (v, m) = Г(1/2 + v + m)/[ т!Г(1/2+ v - т)] - т. <н. символ Ханкеля. Выражение для Н _v⁽²⁾(z )аналогично выражению для H_v⁽¹⁾(z), в к-ром (при - 2p<argz<p) i надо заменить на - i.
Интеграл Фурье-Бессeля:

Теорема сложения Графа:

Теорема сложения Гегенбауэра:

Здесь r,r, R - стороны произвольного треугольника; y - угол, лежащий между сторонами R и r; m = сosq; q-угол между сторонами r и r; k - произвольное число; С _n(m) - полином Гегенбауэра (см. Ортогональные полиномы);Z_v(z) -любая из ф-ций J_v(z), Y_v(Z), H_v^(1,2)(z).
Разложение сферич. волны по полиномам Лежандра:

Разложение плоской волны по полиномам Лежандра:

k - волновой вектор; m = соsq; q - угол между векторами k и r.
Модифицированные ф-ции Бесселя (ф-ции Бесселя мнимого аргумента)-решения ур-ния

Линейно независимыми решениями при z>0 являются ф-ции

[рис. 3; ф-ции K_v(z) иногда наз. ф-циями Макдональда].
Интегральные представления Пуассона (Re v >-1/2):

Рис. 3. Графики функций I_v и K_v вещественного аргу мента x для некоторых целых значений v.
Интегральные представления Зоммерфельда для K_v(z)(Re z >0):

Асимптотическое поведение при z+:

Связь между ф-циям и I_v(z) и K_v(z):

Разложение в ряды:

(при n = 0 первую сумму следует полагать равной нулю, y = G').
Рекуррентные соотношения и ф-л ы дифференцирования:

Ф-ц и и I_v(z) и K_v(z) полуцелого порядка:

Лит.: Ватсон Г. H., Теория бесселевых функций, пер. с англ., ч. 1,M., 1949; Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции, пер. с англ., M., 1974; Никифоров А. Ф., Уваров В. Б., Специальные функции математической физики, 2 изд., M., 1984; Справочник по специальным функциям..., пер. с англ., M., 1979. А. Ф. Никифоров.

Энциклопедический словарь

цилиндри́ческие фу́нкции

решения уравнения Бесселя; возникают при исследовании физических процессов (теплопроводности, диффузии, колебаний) в областях с круговой или цилиндрической симметрией.

* * *
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

ЦИЛИНДРИ́ЧЕСКИЕ ФУ́НКЦИИ, решения уравнения Бесселя; возникают при исследовании физических процессов (теплопроводности, диффузии, колебаний) в областях с круговой или цилиндрической симметрией.

Математическая энциклопедия

бесселевы функции,- решения Z_v дифференциального уравнения Бесселя

где v - произвольное действительное или комплексное число (см. Бесселя уравнение).
Цилиндрические функции произвольного порядка.

Если vне является целым числом, то общее решение урарнения (1) имеет вид

где с ₁ и с ₂ - постоянные, a J_v и J_-v- т. н. Ц. ф. 1-го рода, или Бесселя функции. Для них справедливо разложение

Ряд в правой части для сходится абсолютно и равномерно при всех где Rи N - произвольные положительные числа. Функции и -аналитические, с особыми точками z = 0 и производные и удовлетворяют следующему тождеству:

Если же v - целое, то и линейно зависимы, и их линейная комбинация уже не является общим решением уравнения (1). Поэтому, наряду с Ц. ф. 1-го рода, вводят Ц. ф. 2-го рода N_v (z) (или Неймана Функции, функции Вeбора):

(другое обозначение Y_v(z)). При помощи этих функций общее решение уравнения (1) может быть записано в виде

Важны для приложений и другие решения уравне ния (1) - Ц. ф. 3-го рода (или Ганкеля функции).

Их обозначают через и и, по определению, полагают
Справедливы тождества

и соотношения

Для действительных z = x и ш функции Ганкеля являются комплексно сопряженными решениями уравнения (1). При этом функции J_v(z)дают действительную часть, а функции N_v(x). мнимую часть функций Ганкеля.

Ц. ф. 1-го, 2-го и 3-го рода Z_v удовлетворяют рекуррентным формулам

Каждая пара функций

образует (при нецелом v) фундаментальную систему решений уравнения (1).

Модифицированными Ц. ф. наз. Ц. ф. мнимого аргумента

и Мaкдoналъда функции:

Эти функции являются решениями дифференциального уравнения

и удовлетворяют рекуррентным формулам

Цилиндрические функции целых и полуцелых порядков. Если v=n - целое число, то J_n(z) можно определить с помощью формулы Якоби - Ангера

или

Справедливы равенства

Функция J_n(z)есть целая трансцендентная функция аргумента z;для алгебраического z = a, J_n(z) есть трансцендентное число и при

В качестве второго линейно независимого с J_n(z) решения уравнения (1) обычно берут функцию

где с=0,577215...- постоянная Эйлера. Если в одной из конечных сумм верхний индекс суммирования меньше нижнего, то соответствующая сумма получает значение 0. Справедливо равенство Y_-n(z)=(-1)ⁿY_n(z).

Ц. ф. тогда и только тогда превращаются в элементарные функции, когда индекс v принимает значение v=n+¹/₂, n=0,1,2,... (сферические функции Бесселя, или Ц. ф. полуцелого порядка). Справедливы формулы (n=0, 1, 2,...):

в частности

в частности

Интегральные представления цилиндрических функций. Для v=n=0,1,2,... имеется интегральное представление Бесселя

и

Для и R(z) > 0 имеется интегральное представление Пуассона

и

Кроме этих представлений, существует много других интегральных представлений, в частности в виде контурных интегралов (см. [2], [4], [5]).
Асимптотическое поведение цилиндрических функций. Для справедливо

Для действительных z=x имеют место

Для имеют место следующие оценки

Для п = 0, 1, 2,..., ряды (9) и (10) обрываются. Функции Ганкеля являются единственными Ц. ф., к-рые стремятся к нулю для комплексных значений переменного . при (и в этом их особое значение для приложений):

Для больших значений|z| и|v| применимы асимптотич. ряды специальных типов (см. [1], [2], [3], [5]).
Нули цилиндрических функций. Нули, произвольной Ц. ф. являются простыми нулями за исключением z = 0. Если а, b, v - действительные, то между двумя действительными нулями J_n(z) лежит один действительный нуль аJ_n(z)+bN_v(z). При действительном v J_n(z) имеет бесконечно много действительных нулей; для v>-1 все нули J_v(z) действительны; если 0<j_v, 1 < j_v,2 <....-положительные нули J_n(z), то
0 < j_v, 1 < j_v+1, 1 < j_v, 2 < j_v+1,21 < j_v, 3 <......
Для v>0 справедливо j_v,1>0; также для наименьшего положительного нуля функции J'_v(z) имеет место j'_v, 1> 0. Пары функций (z), п = 0, 1, 2,..., т=1, 2, 3,..., не имеют, кроме z = 0, общих нулей. Если

то J_v(z)имеет ровно 4n + 2 комплексных нулей, из к-рых два - чисто мнимые; если n=1, 2, 3,..., то J_v(z)имеет ровно 4n комплексных нулей с отличной от нуля действительной частью.
Теоремы сложения и разложения в ряды по цилиндрическим функциям. Справедливы следующие теоремы сложения:

где

- ультрасферические многочлены. При разложении Ц. ф. используются Ломмеля многочлены, Неймана ряды, Фурье-Бесселя ряды, Дирихле ряды.

С Ц. ф. связаны Ангера функция, Струве функции, Ломмеля функции, Кельвина функции, Эйри функции.

Ц. ф. можно определить как предельные значения сферич. функций следующим образом:

При этом асимптотич. представления сферич. функций связаны с Ц. ф., и наоборот, как, напр., в формуле Xильба:

и в разложениях Макдональда, Ватсона, Трикоми и др. (см. [1], [2], [4]).
Вычисление значений Ц. ф. на ЭВМ. Дли вычислений значений функций J₀(x), J₁(x), N₀(x), N₁(x), I₀(x), I₁(x), K₀(x), K₁(x) удобны аппроксимации многочленами и рациональными функциями (см. [5]). О разложениях по многочленам Чебышена см. [6]. Для вычисления функций больших целых порядков, особенно на ЭВМ, применяются рекуррентные соотношения (5) -(7) (см. [5]).

Сведения об имеющихся таблицах Ц. ф. приводятся в [7], [8], [9].
Лит.:[1] Ватсон Дж. Н., Теория бесселевых функций, пер. с англ., ч. 1, М., 1949; [2] Бейтмен Г., Эрдейи А.,Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены, пер. с англ., М., 1974; [3] Лебедев Н. Н., Специальные функции и их приложения, 2 изд., М.-Л., 1963; [4] Градштеейн И. С., Рыжик И. М., Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений, Г

Большой энциклопедический политехнический словарь

Бесселя функции, - ф-ции, встречающиеся при решении задач, имеющих осевую симметрию (напр., задачи о распространении теплоты в однородном бесконечном круговом цилиндре).

Естествознание. Энциклопедический словарь

решения уравнения Бесселя; возникают при исследовании физ. процессов (теплопроводности, диффузии, колебаний) в областях с круговой или цилиндрич. симметрией.