Номография

(от греч. nómos — закон и ...графия)

раздел математики, объединяющий теорию и практические методы построения номограмм — специальных чертежей, являющихся изображениями функциональных зависимостей. Особенность номограмм заключается в том, что каждый чертёж изображает заданную область изменения переменных и каждое из значений переменных в этой области изображено на номограмме определённым геометрическим элементом (точкой или линией); изображения значения переменных, связанных функциональной зависимостью, находятся на номограмме в определённом соответствии, общем для номограмм одного и того же типа.

На рис. 1 приведён пример номограммы для вычисления α_y — одного из углов установки резца на заточном станке по заданным значениям углов резца α и φ Зависимость между этими величинами определяется формулой:

Номограмма состоит из трёх шкал: шкалы углов α_y шкалы углов α и шкалы углов φ. Точки каждой из шкал являются изображениями значения соответствующего переменного. Номограмма построена так, что три точки, изображающие соответственно значения α_y, α и φ, связанные данной зависимостью, всегда лежат на одной прямой. Отсюда непосредственно вытекает способ вычисления по номограмме: для вычисления α_y надо на шкалах α и φ найти точки, соответствующие данным значениям α и φ, и через них провести прямую. Эта прямая пройдёт на шкале α_y через точку, соответствующую искомому значению α_y. На номограмме пунктирная линия соединяет точки шкал α и φ со значениями α = 7,5° и φ = 4°; номограмма даёт ответ α_y= 62°.

Номограммы и их классификация. Номограммы различают по способу изображения переменных и по способу задания соответствия между изображениями переменных.

Изображения переменных. Значения переменных изображают на номограммах или точками, или линиями. Значение переменного, приписанное точке (линии), называется пометкой точки (линии), а сама точка (линия) называется помеченной точкой (линией). Область изменения переменного изображается на номограмме или совокупностью помеченных точек, которая называется шкалой переменного или однопараметрическим семейством помеченных линий. Для нахождения на шкале точек по их пометкам и значений пометок по заданным точкам шкалы градуируются системой штрихов, указывающих на отдельные точки шкалы. У некоторых штрихов надписываются значения пометок точек. Соответствие между точками шкалы, не отмеченными штрихами и их пометками, устанавливается линейной интерполяцией, которая выполняется на номограмме на глаз. В семействе линий проводят также лишь отдельные линии, остальные находят интерполяцией. При изображении значений переменных точками, наряду со шкалами, в номограммах применяют бинарные поля. Бинарное поле является изображением области изменения двух переменных и состоит из точек, каждой из которых поставлена в соответствие пара чисел — приписано две пометки: пометка первого переменного и пометка второго переменного. Точки бинарного поля заполняют двумерную область. В бинарном поле переменных и и v проводят два семейства линий u = const и ν = const, которые позволяют по данным пометкам находить точку в поле и по точке поля её пометки (на рис. 3 это — вертикальные прямые hи кривые φ). В нужных случаях здесь также применяют линейную интерполяцию.

Классификация номограмм. Наиболее распространены следующие номограммы: из выравненных точек, сетчатые и транспарантные; для уравнения с двумя переменными применяют двойные шкалы.

Двойная шкала является простейшим видом номограммы. Для уравнения F(u, ν) = 0 она состоит из совмещенных шкал переменных u и ν. Шкалы построены так, что их точки, пометки которых удовлетворяют уравнению, совпадают. На рис. 2 приведён пример двойной шкалы для вычисления логарифмов: u = lg ν.

Номограмма из выравненных точек уравнения F(u, ν, ω) = 0 состоит из трёх шкал переменных u, ν и ω, изображающих соответственно область изменения этих переменных. Шкалы номограммы построены так, что три точки, пометки которых удовлетворяют уравнению, лежат на одной прямой (отсюда и название номограммы; пример номограммы из выравненных точек приведён на рис. 1). Номограмма из выравненных точек с бинарным полем уравнения F(u, ν, ω, t) = 0 с четырьмя переменными состоит из шкал переменных u и ν и бинарного поля переменных ω и t. Шкалы и поле номограммы построены так, что две точки с пометками u и ν на шкалах и точка поля с двойной пометкой (w, t) лежат на одной прямой, если значения переменных u, ν, ω и t удовлетворяют уравнению.

Номограмма с двумя шкалами и бинарным полем приведена нарис. 3. Она служит для вычисления площади S равнобочной трапеции по длине b меньшего её основания, высоте h и углу φ между большим основанием и боковой стороной:

S = bh + h² ctg φ.

Номограмма состоит из шкалы S, шкалы b и поля (φ, h). Для нахождения S надо по данным h и φ найти точку в поле, по данному b — точку на шкале и провести через эти точки прямую. Пометка точки пересечения прямой со шкалой S даёт ответ. На рисунке показан пунктиром пример, когда h = 8, φ = 60° и b = 8; ответ: S = 100.

Номограмма из выравненных точек может содержать и два и три бинарных поля, т. е. одним приложением линейки давать решение уравнения и с пятью и с шестью переменными.

Сетчатая номограмма уравнения F(u, ν, ω) = 0 с тремя переменными u, ν и ω состоит из трёх семейств помеченных линий, изображающих соответственно данные области изменения этих переменных. Линии семейств построены так, что каждые три линии, пометки которых удовлетворяют уравнению, пересекаются в одной точке. На рис. 4 приведён пример сетчатой номограммы для определения необходимой реактивной мощности k на1 квт нагрузки электрич. установки для повышения её cos φ от cos φ₁ до cos φ₂

k = tg φ₁ — tg φ₂.

Она состоит из семейства прямых, помеченных значениями существующего cos φ₁, семейства прямых, помеченных значениями k, и семейства кривых, помеченных значениями искомого cos φ₂. Для вычисления величины k по данным cos φ₁ и cos φ₂ надо найти на номограмме соответствующие линии и точку их пересечения. Пометка линии семейства k, проходящая через эту точку, даст ответ [так, для cos φ₁ = 0,8, cos φ₂ = 0,95 («отставание») находим k = 0,4].

При построении сетчатых номограмм может быть поставлена дополнительная задача: найти такое преобразование, при котором все три семейства линий номограммы обращаются в семейства прямых, что упрощает её вычерчивание. Такая задача носит название анаморфозы и эквивалентна задаче построения для данного уравнения номограммы из выравненных точек, так как посредством коррелятивного преобразования (См. Коррелятивное преобразование) сетчатую номограмму из прямых можно перевести в номограмму из выравненных точек с тремя шкалами. Для построения сетчатых номограмм из прямых линий применяются т. н. функциональные сетки. Функциональная сетка представляет собой систему координатных линий (u, ν) (часто изготовленную типографским способом), имеющих в декартовых координатах уравнения:

х = φ₁ (u), у = φ₂ (ν).

Простейшими функциональными сетками являются логарифмическая и полулогарифмическая бумага (см. Логарифмическая бумага). Существуют также: сетка, на которой отрезками прямых изображаются части синусоиды; сетка для изображения нормального закона распределения вероятностей прямой линией (см. Вероятностная бумага) и т.п. Функциональные сетки применяются и при построении сетчатых номограмм, когда линии третьего семейства — кривые, но выглядят на сетке проще или нагляднее, чем в декартовой системе координат.

Транспарантная номограмма в простейшем случае состоит из двух плоскостей — основной плоскости и транспаранта с изображениями на них переменных в виде шкал, бинарных полей или семейств помеченных линий; основная плоскость и транспарант могут также содержать непомеченные («немые») линии и точки. Номограмма построена так, что элементы, помеченные значениями, удовлетворяющими уравнению, а также «немые» элементы номограммы при наложении транспаранта на основную плоскость должны в определённой последовательности вступать в контакты. Контактом двух элементов называется принадлежность их одного другому (точка лежит на линии, прямая касается линии и т.д.). Для практического осуществления необходимых контактов в нужных случаях транспарант делают из прозрачного материала.

На рис. 5 показана транспарантная номограмма для вычисления температуры t смеси двух жидкостей с одинаковой теплоёмкостью по формуле:

где m₁ — масса с температурой t₁, m₂ —масса с температурой t₂. Номограмма состоит из семейства параллельных прямых на основной плоскости номограммы и шкалы на транспаранте, оформленном в виде линейки. Прямые имеют пометки m₁ — влево от средней прямой с пометкой 0 (на рис. 5она выделена), и пометки m₂ — вправо от средней прямой. Шкала транспаранта является одновременно шкалой переменных t₁, t₂ и t. Для вычисления по номограмме накладывают транспарант на основную плоскость так, чтобы точки, соответствующие данным m₁ и m₂, оказались на прямых, соответствующих данным t₂ и t₁, т. е. здесь осуществляется контакт между точкой t₂ и прямой m₁ и между точкой t₁ и прямой t₂. Ответом будет пометка точки пересечения шкалы t с прямой, имеющей пометку 0. В данном случае эта прямая играет роль «немого» элемента номограммы, вступающего в контакт с точкой ответной шкалы. На рис. 5решен пример, когда m₁ = 8 кг, t₁ = 52°, m₂= 10 кг, t₂ = 16°; ответ: t = 32°.

Примером транспарантной номограммы, транспарант которой имеет лишь поступат. движение, является логарифмическая линейка.

Составные номограммы. Для уравнений со многими переменными применяют составные номограммы, представляющие систему отд. номограмм, связанных общими шкалами или семействами линий. Обычно элементами составных номограмм являются номограммы из выравненных точек и сетчатые номограммы.

Погрешности вычислений по номограммам. Выполнение вычислений по номограммам сопровождается погрешностями, которые являются следствием невозможности (в процессе вычисления) точного осуществления необходимого соответствия между элементами номограммы.

Точность вычисления по номограммам существенно зависит от аккуратности выполнения необходимых операций. При вычислении по номограммам из выравненных точек следует применять прозрачную линейку с продольной визирной чертой.

Возможность представления уравнений номограммами. Номограммы разделяются на точные и приближённые.

Номограмма данной функциональной зависимости называется точной, если обусловленное её типом соответствие между изображениями переменных (в предположении точного осуществления) устанавливает между переменными зависимость, совпадающую с данной.

Условия точного номографирования налагают определённые ограничения на вид уравнений, для которых можно построить номограммы.

Условия, которым должно удовлетворять уравнение, для того чтобы можно было построить его номограмму, называются условиями номографируемости. При построении номограмм номографируемое уравнение преобразуется в одну из т. н. канонических форм, для которых известны в общем виде уравнения шкал, полей, семейств линий соответствующей номограммы.

При построении составных номограмм дополнительно необходимо представление данного уравнения со многими переменными в виде системы уравнений с меньшим числом переменных — т. н. разделение переменных (это достигается введением вспомогательных параметров).

Номограмма данной функциональной зависимости называется приближённой, если обусловленное типом номограммы соответствие между её элементами (в предположении точного его осуществления) устанавливает между переменными зависимость, приближённо представляющую данную. Создан ряд способов построения приближённых номограмм в основном типа из выравненных точек.

На рис. 6 изображена приближённая номограмма интегрального закона Стьюдента распределения (См. Стьюдента распределение) вероятностей:

Погрешность в определении t за счёт приближённого номографирования в данной области изменения переменных а, k и t не превышает ± 0,001.

Приближённые номограммы применяют тогда, когда точные номограммы невозможны или когда точные номограммы имеют неудачную форму и дают бо́льшую погрешность в ответе.

Историческая справка.Геометрические изображения зависимостей между переменными, избавляющие от вычислений, известны давно. К ним можно отнести достаточно сложные построения, содержащие семейства линий и шкалы как изображения переменных (встречающиеся, например, в солнечных часах и Астролябиях). Разработка теории номографических построений началась в 19 в. Первой была создана теория построения прямолинейных сетчатых номограмм (французский математик Л. Л. К. Лаланн, 1843). Основания общей теории номографических построений дал М. Окань в 1884—91; в его же работах впервые встречается название «Н.». Первым в России вопросами Н. начал заниматься Н. М. Герсеванов в 1906—08. Большая заслуга в деле развития теории Н. и организации номографирования инженерных расчётов принадлежит Н. А. Глаголеву, возглавлявшему советскую номографическую школу.

Лит.: Пентковский М. В., Считающие чертежи. (Номограммы), 2 изд., М., 1959; его же, Номография, М. — Л., 1949; Герсеванов Н. М., Основы номографии, 2 изд., М. — Л., 1932; Глаголев Н. А., Теоретические основы номографии, 2 изд., М. — Л., 1936; его же. Курс номографии, 2 изд., М., 1961; Невский Б. А., Справочная книга по номографии, М. — Л., 1951; Номографический сборник, М., 1951; D'Ocagne М., Traité de nomographie, 2 éd., P., 1921; Soureau R., Nomographie ou traité des abaques, t. 1—2, P., 1921.

М. В. Пентковский.

Рис. 1. Номограмма из выравненных точек для вычисления α_y.

Рис. 2. Двойная шкала для вычисления логарифма (u) числа (v).

Рис. 3. Номограмма из выравненных точек с бинарным полем для вычисления площади (S) равноблочной трапеции.

Рис. 4. Сетчатая номограмма для вычисления мощности, потребной на 1 квт нагрузки электрической установки для перехода от cos φ₁ к cos φ₂.

Рис. 5. Транспарантная номограмма для определения температуры смеси двух жидкостей с одинаковой теплоёмкостью.

Рис. 6. Приближённая номограмма из выравненных точек интегрального закона Стьюдента распределения вероятностей.

1. номогра́фия;
2. номогра́фии;
3. номогра́фии;
4. номогра́фий;
5. номогра́фии;
6. номогра́фиям;
7. номогра́фию;
8. номогра́фии;
9. номогра́фией;
10. номогра́фиею;
11. номогра́фиями;
12. номогра́фии;
13. номогра́фиях.

-и, ж.

Раздел математики, объединяющий теорию и практические методы построения номограмм.

НОМОГРА́ФИЯ, номографии, мн. нет, жен. (научн.). Метод технических расчетов с помощью номограмм.

ж.

1.

Раздел математики, объединяющий теорию и практические методы построения номограмм.

2.

Метод технических расчётов с помощью номограмм.

НОМОГРАФИЯ (от греч. nomos - закон и ...графия) - раздел математики, в котором изучаются теория и способы построения особых чертежей - номограмм, с помощью которых, напр., можно, не производя вычислений, получать приближенное решение уравнений или приближенные значения функций.

nomography

f.nomography

ж. мат.

nomografía f

НОМОГРА́ФИЯ -и; ж. [от греч. nomos - закон и graphō - пишу] Раздел математики, объединяющий теорию и практические методы построения номограмм.

◁ Номографи́ческий, -ая, -ое. Н-ие исчисления.

* * *

(от греч. nómos — закон и...графия), раздел математики, в котором изучаются теория и способы построения особых чертежей — номограмм, с помощью которых, например, можно, не производя вычислений, получать приближённое решение уравнений или приближённые значения функций.

* * *

НОМОГРА́ФИЯ (от греч. nomos — закон), раздел математики, в котором изучаются теория и способы построения особых чертежей — номограмм, с помощью которых, напр., можно, не производя вычислений, получать приближенное решение уравнений или приближенные значения функций.

- раздел математики, в к-ром изучаются способы графич. представления функциональных зависимостей. Получающиеся при этом чертежи наз. номограммами. Каждая номограмма строится для определенной функциональной зависимости в заданных пределах изменения переменных. На номограммах вычислительная работа заменяется выполнением простейших геометрич. операций, указанных в ключе пользования номограммой, и считыванием ответов.

Точность получения ответов по номограммам зависит от вида номографированной зависимости, пределов изменения переменных, размеров чертежа и выбранного типа номограммы. В среднем номограммы могут обеспечить получение ответов с 2-3 верными значащими цифрами. Когда точность номограмм недостаточна, их можно использовать для прикидочных расчетов, для нахождения нулевых приближений, для контроля вычислений с целью обнаружения грубых ошибок.

Номограммы можно применять и для исследования функциональных зависимостей, положенных в их основу. Часто такое исследование выполняется на номограммах значительно проще и нагляднее, чем иными способами. С помощью номограмм можно исследовать влияние различных переменных на искомую переменную, дать наглядную геометрич. интерпретацию каким-либо ранее известным свойствам данной зависимости, установить ранее неизвестные ее особенности. Номографические методы исследования можно, напр., применять в задачах на подбор параметров эмпирпч. формул по результатам наблюдений, на аппроксимацию одной функции другой, на нахождение экстремальных значений функции.

Значения переменных изображаются на номограммах помеченными точками и помеченными линиями. Множество помеченных точек, зависящее от одной переменной, наз. шкалой. Уравнения шкалы переменной в прямоугольной системе координат записываются в виде где и - функции и .

Схема шкалы приведена на рис. 1.

Множество помеченных точек, зависящее от двух переменных, наз. бинарным полем. Бинарное ноле обычно оформляется в виде сетки, состоящей из двух семейств помеченных линий. Точка в бинарном поле определяется как точка пересечения линий с заданными пометками. В системе прямоугольных координат бинарное поле переменныхи задается уравнениями где и - функции . Предполагается, что функции и таковы, что в заданной области изменения переменных каждой паре значений a1 и a₂ отвечает только одна пара значений x и y, Схема бинарного поля (a₁, a₂) приведена на рис. 2.

Шкалы, семейства помеченных линий и бинарные поля в номограммах оформляются так, чтобы было удобно находить точки и линии с заданными пометками и определять пометки ответных точек и линий.

Элементарными номограммами наз. номограммы, в к-рых ответ или ответы находятся в результате выполнения одной геометрич. операции (определение точке на шкале или в бинарном поле; проведение прямой через две точкп; построение окружности по известному центру и радиусу; деление отрезка в заданном отношении; проведение прямой, параллельной данной; откладывание отрезка, длина к-рого равна длине данного отрезка; построение параллелограмма по трем его известным вершинам; наложение одной плоскости на другую).

К элементарным номограммам относятся: график функции; сдвоенная шкала; сетчатая; из выравненных точек; из равноудаленных точек; циркульная; с параллельным индексом; барицентрическая; ромбоидальная, с ориентированным транспарантом и с транспарантом общего вида.

На рис. 3 приведена элементарная номограмма пз выравненных точек для определения величины хиз уравнения применяющегося при термическом расчете вентиляторныхпротивоточных градирен. Номограмма построена в пределах:

Переменные аи bпредставлены на номограмме шкалами; переменные си х - бинарным полем. На номограмме показано решение числового примера (дано: а=0,75; b=7; с=10; ответ: х=0,1).

Элементарные номограммы имеют простое геометрич. обоснование: номографич. интерпретация условия расположения трех точек на одной прямой приводит к номограмме из выравненных точек; формулы расстояния между двумя точками - к номограмме из равноудаленных точек и к циркульной; формул для координат точкп, делящей отрезок в заданном отношении,- к барицентрич. номограмме; условия параллельности двух прямых - к номограмме с параллельным индексом; формул, определяющих координаты четвертой вер-шпны параллелограмма по трем его заданным вершинам,- к ромбоидальной номограмме; формул преобразования прямоугольных координат без поворота и с поворотом осей - к номограммам на двух плоскостях (с ориентированным транспарантом п с транспарантом общего вида).

Каждому виду элементарной номограммы соответствует своя канонич. форма зависимости, к-рую можно изобразить номограммой. Нек-рые канонич. формы допускают построение элементарных номограмм различного типа.

Наиболее общая канонич. форма, представимая элементарной номограммой из выравненных точек, имеет вид

Соответствующая номограмма состоит из трех бинарных полей связанных одним выравниванием.

Ниже приведены часто встречающиеся на практике канонич. формы для отдельных уравнений и систем уравнений, представимые номограммами того или иного типа.

Канонич. формы для отдельных уравнений: а) с тремя переменными:

канонич. формы для систем уравнений:

Составными номограммами наз. номограммы, состоящие из элементарных номограмм одного или разных типов. Введение составных номограмм значительно расширяет класс номографируемых зависимостей. Сводку канонич. форм, представимых элементарными и составными номограммами, см. в [3]. [4].

Всегда номографируемы зависимости с тремя переменными. Зависимости с четырьмя и большим числом переменных допускают построение номограмм лишь в частных случаях.

Для расширения круга номографируемых зависимостей применяют приближенное номографирование. Оно основано на замене с нек-рой допустимой погрешностью данной зависимости номографируемой.

На рис. 4 приведена приближенная номограмма из равноудаленных точек для определения величин и (пли Qи ) из системы уравнений:

применяющейся при гидравлич. расчете прямоугольных лотков. Эта система для возможности номографирования была приближенно заменена системой:

с относительной погрешностью в величинах Qи v, не превышающей . Штриховая окружность на номограмме соответствует решению числового примера (дано: ответы: и ).

В нек-рых случаях методы приближенного номографирования дают возможность представлять номограммами таблицы с несколькими входами.

Для номографирования данной зависимости ее приводят точно или приближенно к номографируемому виду и записывают уравнения элементов номограммы в прямоугольной системе координат. Входящие в эти уравнения параметры преобразования (а иногда и произвольные функции) подбирают так, чтобы придать номограмме удобный для пользования вид. Далее рассчитывают таблицы координат отдельных элементов номограммы, а затем вычерчивают номограмму.

Получила развитие машинная номография (см. [4]): разработаны системы процедур и стандартных программ для автоматич. расчета и построения элементов номограмм с помощью ЭВМ и графопостроителя, а также стандартные программы для автоматич. конструирования, расчета и вычерчивания номограмм различных типов.

Основными проблемами теоретич. Н. являются проблемы представимости и единственности. Суть первой проблемы состоит в том, чтобы выяснить, можно ли заданное уравнение или систему уравнений привести к той или иной канонич. форме, и если возможно, то указать алгоритм такого приведения. Получены решения этой проблемы для нек-рых канонич. форм. Они сложны и на практике не применяются. Суть второй проблемы заключается в том, чтобы выяснить, единственным ли способом приводится данная зависимость к канонич. форме, и если не единственным, то указать все возможные способы и установить возможности преобразования номограмм в каждом из них.

Лит.:[1] Пентковский М. В., Номография, М.-Л., 1949; [2] Невский Б. А., Справочная книга по номографии, М.-Л., 1951; [3] Хованский Г. С, Основы номографии, М., 1976; [4] его же, Номография и ее возможности. М., 1977.

Г. С. Хованский.

(от греч. nomos - закон и ...гра-фия) - раздел математики, изучающий теорию и способы построения номограмм.

номогра́фия ж.

nomography

* * *

nomography

ж.

nomografia f, abaco m

матем.

номогра́фія

- машинная номография

матем.

номогра́фія

- машинная номография

(от греч. nomos - закон и ...графия), раздел математики, в к-ром изучаются теория и способы построения особых чертежей - номограмм, с помощью к-рых, напр., можно, не производя вычислений, получать приближенное решение ур-ний или приближённые значения функций.