Максвелла распределение

распределение по скоростям (или импульсам) молекул системы, находящейся в состоянии термодинамического равновесия. Впервые установлено Дж. К. Максвеллом в 1859. Согласно М. р., вероятность Δω (v_x, v_y, v_z) того, что проекции скорости молекулы лежат в малых интервалах от v_x до v_x + Δv_x, от v_y до v_y + Δv_y и отv_z до v_z + Δv_z определяется формулой:

Здесь m— масса молекулы, Т — абсолютная температура системы, k — постоянная Больцмана.

Вероятность того, что абсолютное значение скорости лежит в интервале отv до v + Dv, вытекает из (1) и имеет вид:

Эта вероятность достигает максимума при

Скорость v₀ называется наиболее вероятной. Чем ниже температура системы, тем большее число молекул имеют скорости, близкие к наиболее вероятной (см. рисунок).

Среднее число частиц в 1 см³ газа со скоростями в интервале от v до v + Dv равно Dn(v) = n₀Dw(v), где n₀ — полное число частиц в 1 см³.

С помощью М. р. можно вычислять средние значения скоростей молекул и любых функций этих скоростей. В частности, средняя квадратичная скорость

лишь немного (в м/сек,a v₀ » 360 м/сек.

М. р. вытекает из Гиббса распределения (См. Гиббса распределение) канонического в том случае, когда поступательное движение частиц можно рассматривать в классическом приближении (см. Статистическая физика). М. р. не зависит от характера взаимодействия частиц системы и от внешних сил и потому справедливо как для молекул газа, так и для молекул жидкостей и твёрдых тел. М. р. справедливо также для броуновских частиц, взвешенных в газе или жидкости (см. Броуновское движение).

Экспериментальное подтверждение М. р. получено в опытах с молекулярными пучками.

Лит.: Кикоин И. К., Кикоин А. К., Молекулярная физика, М., 1963; Штрауф Е. А., Молекулярная физика, Л. — М., 1949.

Г. Я. Мякишев.

Распределение молекул азота по скоростям v при двух значениях абсолютной температуры T₁ и T₂; Δw/Δv — отношение вероятности того, что абсолютное значение скорости лежит в интервале от v до v + Δv к интервалу скорости Δv.

МАКСВЕЛЛА распределение - распределение по скоростям молекул системы в состоянии термодинамического равновесия (при условии, что поступательное движение молекул описывается законами классической механики). Установлено Дж. К. Максвеллом в 1859.

МАКСВЕЛЛА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

распределение по скоростям молекул (ч-ц) макроскопич. физ. системы, находящейся в статистич. равновесии, при условии, что движение молекул подчиняется законам классич. механики (пример — классический идеальный газ). Установлено Дж. Максвеллом в 1859. Согласно М. р., вероятное число молекул в ед. объёма f(v), компоненты скоростей к-рых лежат в интервалах от vx до vx+dvx, от vy до vy+dvy и от vz до vz+dvz, определяются ф-цией распределения Максвелла

где т — масса молекулы, n — число молекул в ед. объёма. Отсюда следует, что число молекул, абс. значения скоростей к-рых лежат в интервале от v до v+dv, также называемое М. р., имеет вид:

Оно достигает максимума при скорости vb=?(2kT/m), наз. Наиболее вероятной скоростью. Для мол. водорода при T=273 К vb=1506 м/с. При помощи М. р. можно вычислить ср. значение любой ф-ции от скорости молекулы: ср. скорость vb (рис.).

При возрастании темп-ры максимум М. р. (значение vb) смещается к более высоким темп-рам. М. р. не зависит от вз-ствия между молекулами и справедливо не только для газов, но и для жидкостей, если для них возможно классич. описание. Оно справедливо также и для броуновских ч-ц (см. БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ), взвешенных в жидкости или газе. М. р. может быть получено из канонического распределения Гиббса для классич. системы интегрированием по всем координатам ч-ц, т. к. в этом случае распределение по скоростям не зависит от распределения по импульсам. М. р. есть решение кинетического уравнения Больцмана для частного случая статистич. равновесия.

М. р. было подтверждено экспериментально нем. физиком О. Штерном (1920) в опытах с мол. пучками.

Ма́ксвелла распределе́ние

распределение по скоростям молекул системы в состоянии термодинамического равновесия (при условии, что поступательное движение молекул описывается законами классической механики). Установлено Дж. К. Максвеллом в 1859.

* * *

МА́КСВЕЛЛА РАСПРЕДЕЛЕ́НИЕ, распределение по скоростям частиц (молекул) макроскопической физической системы, находящейся в состоянии термодинамического равновесия, (в отсутствии внешнего поля, при условии, что движение частиц подчиняется законам классической механики. Установлено Дж. К. Максвеллом(см. МАКСВЕЛЛ Джеймс Клерк) в 1859.

Закон Максвелла о распределении молекул идеального газа(см. ИДЕАЛЬНЫЙ ГАЗ) по скоростям основан на предположениях, что газ состоит из большого числа N одинаковых молекул, его температура постоянна, а молекулы совершают тепловое хаотическое движение. При этом на газ не действуют силовые поля.

Функция распределения молекул по скоростям f(v)=dN(v)/Ndv определяет относительное число молекул dN(v)/N, скорости которых лежат в интервале от v до v+dv и имеет смысл плотности вероятности(см. ПЛОТНОСТЬ ВЕРОЯТНОСТИ).

Для газа, подчиняющегося классической механике, в состоянии статистического равновесия функция распределения f Максвелла по скоростям имеет вид:

f(v) =n(m/2pkT)^3/2exp(-mv²/2kT),

Где m — масса молекулы, Т — абсолютная температура системы, k — постоянная Больцмана.

Значение функции распределения f(v) зависит от рода газа (от массы молекул) и от температуры.

С помощью распределения Максвелла можно вычислять средние значения скоростей молекул и любых функций этих скоростей. В частности, средняя квадратичная скорость v² = 3kT/m, а средняя скорость молекулы v = (8kT/pm)^1/2.

Распределение Максвелла не зависит от взаимодействия между молекулами и справедливо не только для газов, но и для жидкостей, если для них возможно применить классическое описание.

Распределение Максвелла вытекает из Гиббса распределения(см. ГИББСА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ) канонического в том случае, когда поступательное движение частиц можно рассматривать в классическом приближении, учитывая, что распределение по скоростям не зависит от распределения по пространственным координатам. Распределение Максвелла является частным решением кинетического уравнения Больцмана для случая статистического равновесия в отсутствии внешних полей. Распределение Максвелла не зависит от характера взаимодействия частиц системы и от внешних сил и потому справедливо как для молекул газа, так и для молекул жидкостей и твердых тел. Распределение Максвелла справедливо также для случая броуновского движения частиц, взвешенных в газе или жидкости.

- распределение вероятностей с плотностью вероятности

зависящей от параметра Функция распределения М. р. имеет вид

где Ф (х) - функция стандартного нормального распределения. М. р. имеет положительный коэффициент асимметрии; оно унимодально - единственная мода находится в точке М. р. имеет конечные моменты любого порядка; математич. ожидание и дисперсия равны соответственно

Если X₁, Х ₂, Х ₃ - независимые случайные величины, имеющие нормальное распределение с параметрами О и s², то случайная величина имеет М. р. с плотностью (*). Иначе, М. р. может быть получено как распределение длины случайного вектора, координаты к-рого в декартовой системе координат в трехмерном пространстве независимы и нормально распределены с параметрами 0 и s² М. р. при s=1 совпадает с распределением квадратного корня из величины, имеющей -распределение с тремя степенями свободы (см. также Рэлея распределение). М. р. широко известно как распределение скоростей частиц в статистич. механике и физике. Впервые установлено Дж. Максвеллом (J. Maxwell, 1859) при решении задачи о распределении скоростей молекул идеального газа.

Лит.:[1] Феллер В., Введение в теорию вероятностей:и ее приложения, пер. с англ., т. 2, М., 1967.

А. В. Прохоров.

распределение по скоростям молекул системы в состоянии термодинамич. равновесия (при условии, что постулат. движение молекул описывается законами классич. механики). Установлено Дж. К. Максвеллом в 1859.