Симпсона формула

формула для приближённого вычисления определённых интегралов, имеющая вид:

,

где h = (b — а)/2n; f_i, = f (a + ih), i = 0, 1, 2,..., 2n. С. ф. называют иногда формулой парабол, т. к. вывод этой формулы основан на замене подынтегральной функции f(x) на каждом из отрезков [a + 2hk, а + 2h(k + 1)], k = 0, 1,..., n — 1, соответствующим интерполяционным многочленом второй степени (см. Интерполяционные формулы); геометрически это означает, что кривая, описываемая уравнением у = f(x), заменяется близкой к ней кривой, состоящей из отрезков парабол. Погрешность, возникающая в результате применения С. ф., равна

,

где а ≤ ξ ≤ b. Если подынтегральная функция f(x) — многочлен степени m ≤ 3, то С. ф. является не приближённой, а точной, так как в этом случае f ^IV (x) ≡ 0.

С. ф. названа по имени Т. Симпсона, получившего её в 1743, хотя эта формула была известна ранее, например Дж. Грегори (1668).

О других формулах для приближённого вычисления определённых интегралов см. в ст. Приближённое интегрирование.

СИМПСОНА формула (формула парабол) - формула для приближенного вычисления определенных интегралов (квадратурная формула), Названа по имени Т. Симпсона (1743).

Си́мпсона фо́рмула

формула парабол, формула для приближённого вычисления определённых интегралов (квадратурная формула), имеющая вид,где h = (b–a)/2n, f_k = f(а + kh), k = 0, 1, 2, ..., 2n. Названа по имени Т. Симпсона (1743).

* * *

СИ́МПСОНА ФО́РМУЛА (формула парабол), формула для приближенного вычисления определенных интегралов (квадратурная формула(см. КВАДРАТУРНАЯ ФОРМУЛА)), имеющая вид:

Названа по имени Т. Симпсона (1743).

- частный случай Ньютона - Котеса квадратурной формулы, в к-рой берутся три узла:

Пусть промежуток [а, b]разбит на пчастичных промежутков [x_i, x_i+1], i=0, 1, 2,..., n-1, длины h=(b-а)/п, при этом n считается четным числом, и для вычисления интеграла по промежутку использована квадратурная формула (1):

Суммирование по kот 0 до n/2-1 левой и правой частей этого равенства приводит к составной С. ф.:

где x_j=a+jh, j = 0, 1, 2,..., п. Квадратурную формулу (2) также называют С. ф. (без добавления слова составная). Алгебраич. степень точности квадратурной формулы (2), как и формулы (1), равна 3.

Если подинтегральная функция f(х).имеет непрерывную производную 4-го порядка на [а, b], то погрешность R(f) квадратурной формулы (2) - разность между левой и правой частями приближенного равенства (2) - имеет представление

где x - нек-рая точка из промежутка [а, b].

С. ф. названа но имени Т. Симпсона (Th. Simpson),. получившего ее в 1743, хотя эта формула была известна ранее, напр. Дж. Грегори (J. Gregory, 1668).

И. П. Мысовских.

(формула парабол), формула для приближённого вычисления определ. интегралов (квадратурная формула), имеющая вид

где А = (b-а)/2n, f_k = f(a + kh), k = 0, 1, 2,..., 2n. Названа по имени Т. Симпсона (1743).