Телеграфное уравнение

в математике, дифференциальное уравнение с частными производными, описывающее при определённых упрощающих предположениях процесс распространения тока по проводу. Сила тока i и напряжение u.удовлетворяют системе Т. у.

,

,

где x — координата, отсчитываемая вдоль провода, t — время, С, G, L и R — коэффициенты ёмкости, утечки, индуктивности, сопротивления провода, рассчитанные на единицу длины. При LC≠ 0 соответствующая замена переменных приводит к уравнению

,

которое также называется Т. у. Краевые задачи для Т. у. решаются методами, разработанными для уравнения колебаний струны (см. Волновое уравнение), в которое при k = 0 переходит Т. у. При k ≠ 0 в описываемом Т. у. процессе имеет место явление дисперсии (см., например, Дисперсия звука). При решении Т. у. широко применяются Операционное исчисление и Специальные функции. Т. у. изучалось У. Томсоном (при L= 0, 1855), Г. Кирхгофом (в общем случае, 1857), О. Хевисайдом (1876), А. Пуанкаре (1897) и др. Наименование «Т. у.» (l'equation des telegraphistes) предложил А. Пуанкаре.

telegraph equation, telegrapher's equation

дифференциальное уравнение с частными производными

Этому уравнению удовлетворяет напряжение тока в проводе, рассматриваемое как функция времени tи расстояния sот нек-рой фиксированной точки провода. Здесь с - скорость света, - емкостный, - индуктивный коэффициенты. Преобразованием

уравнение (1) приводится к виду

Это уравнение принадлежит к классу гиперболич. уравнений 2-го порядка

v_xy + av_x + bv_y + cv = f, в теории к-рых важную роль играет функция Римана Для уравнения (2) эта функция выписывается в явном виде:

где J₀ (z) -функция Бесселя.

Лит.:[1] Курант Р., Уравнения с частными производными, пер. с англ., М., 1964.

А. П. Солдатов.

telegrapher's equation

equazione dei telegrafisti

телегра́фне рівня́ння

телегра́фне рівня́ння