Больцмана статистика

физическая статистика для систем из большого числа невзаимодействующих частиц. Строго Б.с. подчиняются атомные и молекулярные идеальные газы, т. е. газы, у которых потенциальная энергия взаимодействия молекул считается равной нулю. Реально к таким системам относятся разрежённые газы, молекулы которых слабо взаимодействуют друг с другом.

При большом числе частиц в системе невозможно детально описать поведение каждой частицы. Однако общие черты поведения системы в целом являются усреднённым отражением движения отдельных частиц. Частицы распределяются по возможным для них состояниям — их координаты r и импульсы р принимают определённые значения. Математически это описывается функцией распределения, характеризующей вероятность пребывания частицы в данном состоянии.

Для идеального газа молекул, находящихся в поле внешних сил, функция распределения Больцмана имеет вид:

где р²/2m — кинетическая энергия молекулы массы m, U(r)—её потенциальная энергия во внешнем поле, k —Больцмана постоянная, Т — абсолютная температура газа; постоянная А определяется из условия, что суммарное число частиц, распределённых по всем возможным состояниям, равно полному числу частиц в системе (условие нормировки). Так как величина kT характеризует среднюю энергию теплового движения молекулы, то в Б. с. распределение частиц по состояниям определяется отношением полной энергии частицы (кинетическая плюс потенциальная) к энергии её теплового движения.

Функция распределения (1) содержит два сомножителя: ехр (-р²/2mкТ) и exp (-U(r)/kT). Первый из них определяет распределение молекул по импульсам (или скоростям), т. е. является Максвелла распределением, а второй — распределение по координатам в поле внешних сил. Поэтому иногда только вторую зависимость называют распределением Больцмана, а формулу (1) называют распределением Максвелла — Больцмана.

С помощью функции распределения Больцмана легко получить формулу изменения концентрации молекул воздуха (независимо от их импульса) с изменением высоты над земной поверхностью, а следовательно, и барометрическую формулу (См. Барометрическая формула), определяющую зависимость давления воздуха от высоты.

В квантовой статистике вместо функции распределения рассматривается среднее число частиц n̅_i, находящихся в данном квантовом состоянии с энергией E_i, и распределение Больцмана выглядит следующим образом:

Постоянная А находится из условия

где N — общее число частиц в системе, и равна А =(N/V)(h²/mkT)^3/2(V — объём газа, h —Планка постоянная). Распределение (2) является предельным случаем квантовых статистик Бозе — Эйнштейна и Ферми — Дирака, когда можно пренебречь квантовомеханическими эффектами, связанными с взаимным влиянием тождественных частиц (см. Тождественности принцип).Оно справедливо для систем, у которых все числа n̅_i малы по сравнению с 1; это означает, что частицы проводят почти всё время в сильно различающихся состояниях и потому специфическое влияние их друг на друга не проявляется.

Квантовая Б. с. справедлива при малых плотностях газа N/V и высоких температурах (при данной массе частиц). Фактически Б. с. применима для всех разреженных молекулярных газов, т.к. масса молекул велика и квантовое воздействие тождественных частиц друг на друга должно было бы проявиться лишь при столь высоких плотностях и низких температурах, которые соответствуют твёрдому (для гелия — жидкому) состоянию вещества (а в этом случае Б. с. вообще неприменима, т.к. взаимодействие молекул велико). К электронному газу в металлах и газу световых квантов — фотонов — Б. с. неприменима (см. Статистическая физика).

Лит. см. при ст. Статистическая физика.

В. П. Павлов.

БОЛЬЦМАНА СТАТИСТИКА - статистический метод описания идеального газа в состоянии термодинамического равновесия для частиц, движущихся по законам классической механики.

БОЛЬЦМАНА СТАТИСТИКА

статистич. метод описания физ. св-в систем, содержащих большое число невзаимодействующих ч-ц, движущихся по законам классич. механики (т. е. св-в классич. идеального газа). Создана австр. физиком Л. Больцманом в 1868—71.

В Б. с. рассматривается распределение ч-ц идеального газа по импульсам и координатам, но не в фазовом пространстве всех ч-ц, как в статистич. механике Гиббса (см. ГИББСА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ), а в фазовом пр-ве координат и импульсов одной ч-цы (для газа одинаковых невзаимодействующих ч-ц ф-цию распределения можно представить в виде произведения ‘одночастичных’ ф-ций распределения). Согласно Б. с., фазовое пр-во разбивается на множество малых ячеек объёмом Gi, причём каждая ячейка должна содержать достаточно большое число ч-ц Ni (с энергией?i). Фиксированное распределение ч-ц по этим ячейкам определяет микроскопич. состояние газа. Макроскопич. состояние газа полностью характеризуется набором чисел Ni. Значение Gi соответствует максимально возможному числу микроскопич. состояний в ячейке i. Для подсчёта числа возможных способов осуществления данного макроскопич. состояния объём ячейки фазового пр-ва должен быть фиксирован (в этом случае совокупность микроскопич. состояний — счётное множество). До создания квант. механики ед. фазового объёма выбиралась произвольно. С открытием квантовомеханич. неопределённостей соотношения выяснилось, что ед. объёма фазового пр-ва, имеющего шесть измерений (три координаты и три проекции импульса ч-цы), нельзя выбрать меньше h3. Т. <о., современная Б. с. использует принципы квант. механики, и получаемое на основе Б. <с. распределение ч-ц представляет собой частный случай квант. статистик (когда из-за малой плотности газа можно пренебречь квант. эффектами).

В Б. <с. предполагается, что ч-цы распределяются по разл. состояниям независимо друг от друга и что они различимы между собой. Число различных возможных микроскопич. состояний, соответствующих заданному макроскопич. состоянию газа, наз. статистическим весом состояния. Статистич. вес определяется числом разл. способов, к-рыми можно распределить N=SiNi ч-ц по ячейкам размером Gi по NI ч-ц в каждой ячейке, и равен:

WB=N!ПiGiNi/Ni!. (1)

Здесь перестановки ч-ц в пределах каждой ячейки рассматриваются как разл. состояния. При подсчёте статистич. веса W надо, однако, учитывать, что перестановки тождественных ч-ц не меняют состояния, и поэтому WB следует уменьшить в N! раз, так что

W=Пi(GiNi/Ni!). (2)

Это правило подсчёта состояний, основанное на квантовомеханич. принципе неразличимости тождественных ч-ц, лежит в основе совр. Б. с. Только при таком определении статистич. веса возможно определить энтропию S (в ед. k) как величину, пропорц. логарифму статистич. веса:

S=lnW. (3)

Ф-ла (3) была получена амер. физиком Дж. Гиббсом ещё до создания квант. механики. Он показал, что присутствие множителя N в (1) приводит к появлению в выражении для энтропии (3) слагаемого NInN, не имеющего физ. смысла, т. к. энтропия должна быть пропорц. N (аддитивна). Все микроскопич. состояния, соответствующие данному макроскопич. состоянию, равновероятны, поэтому вероятность макроскопич. состояния пропорц. статистич. весу W. В статистич. равновесии энтропия максимальна при заданных энергии и числе ч-ц, что соответствует наиб. вероятному распределению (Больцмана распределению). Для получения распределения Больцмана в явном виде нужно найти абс. экстремум ф-ции SiNiln(Gi/Ni)-bSi?iNi-lSiNi (b и l — множители, определяемые из условий постоянства числа ч-ц газа N=SiNi и его полной энергии?=Si?iNi) и воспользоваться ф-лой Стирлинга InNi=Ni/(lnNi-1) при Ni->1. Для ср. чисел заполнения i-того состояния с энергией?i распределение Больцмана имеет вид:

ni=Ni/Gi=ехр((m-?i)/kT), (4)

где m — хим. потенциал, определяемый из условия SiNi=N.

Б. с. применима к разреженным мол. газам и к плазме в газовом разряде. Для плотных газов, когда существенно вз-ствие между ч-цами, следует пользоваться распределением Гиббса.

Бо́льцмана стати́стика

описывает свойства систем, содержащих большое число невзаимодействующих, различимых между собой (в отличие от квантовых статистик) частиц, движущихся по законам классической механики (то есть свойства классического идеального газа). Предложена Л. Больцманом в 1868—71.

* * *

БО́ЛЬЦМАНА СТАТИ́СТИКА, статистический метод описания идеального газа в состоянии термодинамического равновесия для частиц, движущихся по законам классической механики.

статистика, применяемая к системе невзаимодействующих частиц, подчиняющихся классич. механике (классический идеаль-ньщ газ). Распределение частиц идеального газа (поскольку они не взаимодействуют между собой) рассматривается не в фазовом пространстве всех частиц (Г-пространстве) как в статистич. механике Гиббса (см. Гиббса распределение), а в фазовом пространстве - пространстве координат и импульсов одной частицы (m-пространстве). Это связано с тем, что для идеального газа фазовый объем в m-пространстве сохраняется (частный случай Лиувилля теоремы).

Согласно Б. с., это фазовое пространство разбивается на большое число малых ячеек с таким фазовым объемом, чтобы в каждой из них содержалось еще большое число частиц , и рассматриваются все возможные распределения частиц по. этим ячейкам. Фазовый объем i-й ячейки - ее объем в m-пространстве в единицах h, где h- постоянная. Планка (универсальная постоянная эрг*сек). Такое безразмерное имеет смысл максимально возможного числа микросостояний в ячейке i, так как наименьшая величина произведения каждой пары координат и импульсов, согласно квантовой механике, равна h, а частица имеет три степени свободы.

В основу статистич. механики положено предположение, что все микроскопич. состояния, соответствующие заданной полной энергии и заданному числу частиц, равновероятны. Число различных способов, к-рыми можно распределить Nчастиц по Мячейкам размера по частиц в каждой, равно

где учитывается, что частицы полностью независимы, различимы и перестановки частиц в пределах каждой ячейки не меняют состояния. В Б. с. эта величина определяет статистич. вес или термодинамич. вероятность состояния (в отличие от обычной вероятности она не нормированна на единицу). При подсчете статистич. веса учитывается, что перестановка тождественных частиц не меняет состояния, и поэтому фазовый объем следует уменьшить в раз:

Фазы с таким уменьшенным объемом наз. родовыми фазами (в отличие от исходных видовых фаз).

Все микроскопич. состояния с различными распределениями частиц по фазовым ячейкам при заданном числе частиц

и полной энергии

(- энергия частиц в 2-й ячейке) соответствуют одному и тому же макроскопич. состоянию.

Предполагается, что распределение частиц в состоянии статистич. равновесия соответствует наиболее вероятному распределению, т. е. максимуму при заданном числе частиц Nи энергии Е. Задача на условный экстремум при фиксированных N и Е дает для среднего числа частиц в ячейке Больцмана распределение

где - постоянная Больцмана (универсальная постоянная эрг/град), Т - абсолютная температура, - химич. потенциал, определяемый

из условия . В частном случав потенциального поля :

Б. с. есть частный случай статистики Гиббса - канонич. ансамбля для газа из невзаимодействующих частиц. Б. с.- предельный случай квантовых Ферми - Дирака статистики и Бозе - Эйнштейна статистики при достаточно высоких температурах, когда можно пренебречь квантовыми эффектами.

Б. с. предложена Л. Больцманом (L. Boltzmann) в 1868-71.

Лит.:[1] Майер Д ж., Гепперт-Майер М., Статистическая механика, пер. с англ., М., 1952; [2] 3оммерфельд А., Термодинамика и статистическая физика, пер. с нем., М., 1955; [3] Шредингер Э., Статистическая термодинамика, пер. с англ., М., 1948; [4] Фаулер Р., Гуггенгейм Э., Статистическая термодинамика, пер. с англ., М., 1949.

Д. Н. Зубарев,

статистика идеального одноатомного газа, состоящего из невзаимодействующих между собой частиц (молекул), движущихся по законам класснч. механики. При равновесии термодинамическом в системе, описываемой Б. с. и состоящей из N частиц, число dn частиц, координаты и проекции импульсов к-рых заключены в пределах от х до х + dx. от у до у + dy, от г до z + dz, от р_х до р_х + dp_x от ру до р_у + dp_y и от p_z до p_z + dp_z, удовлетворяет распределению Максвелла - Больцмана:

где E_n = E_n (x, у, z) - потенц. энергия одной частицы во внеш потенц. поле, т - масса частицы, k - Болъцмана постоянная, Т - термодннамич. темп-ра,

- т.н. интеграл по состояниям одной частицы, V - полный объём системы, dV = dxdydz. Из распределения Максвелла - Больцмана, в частности следуют Больцмана закон и Максвелла распределение.

БОЛЬЦМАНА СТАТИСТИКА — статистика идеального одноатомного газа, состоящего из не взаимодействующих между собой частиц (молекул), движущихся по законам классической механики при термодинамическом равновесии. Из Б. с., распределения Больцмана — Максвелла следует закон Больцмана (см.).