Ортогональное преобразование

Линейное преобразование евклидова векторного пространства, сохраняющее неизменным длины или (что эквивалентно этому) скалярное произведение векторов. В ортогональном и нормированном базисе О. п. соответствует Ортогональная матрица. О. п. образуют группу (См. Группа) — т.н. группу вращений данного евклидова пространства вокруг начала координат. В трёхмерном пространстве О. п. сводится к повороту на некоторый угол вокруг некоторой оси, проходящей через начало координат О, если определитель соответствующей ортогональной матрицы равен +1. Если же этот определитель равен —1, то поворот дополняется зеркальным отражением относительно плоскости, проходящей через О и перпендикулярной оси поворота. В двумерном пространстве, т. е. в плоскости, О. п. определяет поворот на некоторый угол вокруг начала координат О или зеркальное отражение относительно некоторой прямой, проходящей через О. Используется О. п. при приведении к главным осям квадратичной формы (См. Квадратичная форма). См. также Матрица, Векторное пространство.

мат. orthogonal transformation

ортогона́льное преобразова́ние

линейное преобразование евклидова векторного пространства, сохраняющее неизменными длины или (что эквивалентно этому) скалярные произведения векторов.

* * *

ОРТОГОНА́ЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВА́НИЕ, линейное преобразование евклидова векторного пространства, сохраняющее неизменными длины или (что эквивалентно этому) скалярные произведения векторов.

линейное преобразование Аевклидова пространства, сохраняющее длины или (что эквивалентно этому) скалярное произведение векторов. О. п. и только они переводят ор-тонормированный базис в ортонормированный. Необходимым и достаточным условием ортогональности является также равенство А*=А ^-1, где А* - сопряженное, а А ^-1 - обратное линейные преобразования.

В ортонормированием базисе О. п. (и только им) соответствуют ортогональные матрицы. Собственные значения О. п. равны +1, а собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны. Определитель О. п. равен +1 (собственное О. п.) или -1 (несобственное О. п.). В случае евклидовой плоскости всякое собственное О. п. является поворотом, и его матрица в подходящем ортонормированием базисе имеет вид

где j - угол поворота, а всякое несобственное О. и. является отражением относительно нек-рой прямой, его матрица в подходящем ортонормированном базисе имеет вид

В трехмерном пространстве всякое собственное О. п. есть поворот вокруг нек-poй оси, а всякое несобственное - произведение поворота вокруг оси и отражения в перпендикулярной плоскости. В произвольном n-мерном евклидовом пространстве О. п. также сводятся к поворотам и отражениям (см. Вращение).

Множество всех О. п. евклидова пространства образует группу относительно умножения преобразований - ортогональную группу данного евклидова пространства. Собственные О. п. образуют нормальную подгруппу в этой группе (специальную ортогональную группу). Т. С. Пиголкина.

ортогона́льне перетво́рення

ортогона́льне перетво́рення

линейное преобразование евклидова векторного пространства, сохраняющее неизменными длины или (что эквивалентно этому) скалярные произведения векторов.