Большая Советская энциклопедия
(от лат. tensus — напряжённый, натянутый)
математический термин, появившийся в середине 19 в. и с тех пор применяющийся в двух различных смыслах. Наибольшее распространение термин «Т.» получил в современном тензорном исчислении (См. Тензорное исчисление), где это название присваивается особого рода величинам, преобразующимся по особому закону. В механике, особенно в теории упругости, термин «Т.» широко применяется как синоним симметрического аффинора, то есть линейного оператора Ф, преобразующего вектор х в вектор Фх, и симметрического в том смысле, что скалярное произведение уФх не меняется при перестановке векторов х и у. Здесь термин был первоначально связан с малыми растяжениями (и сжатиями), возникающими при упругой деформации (откуда и название «Т.»), а затем перенесён в другие области механики. Так появились Т. деформации, Т. напряжения, Т. инерции и др.
Толковый словарь Ожегова
ТЕ́НЗОР [тэ ], -а, муж. В математике: упорядоченное в виде строки, матрицы, параллелепипеда множество каких-н. математических элементов. Т. деформации.
| прил. тензорный, -ая, -ое. Тензорное исчисление.
Большой англо-русский и русско-английский словарь
муж.;
мат. tensortensor
Англо-русский словарь технических терминов
tensor матем.
Русско-английский словарь математических терминов
m.tensor; тензор деформации, strain tensor, deformation tensor; тензор напряжения, stress tensor; тензор скорости деформации, strain velocity tensor; тензор проводимости, conductivity tensor
Физическая энциклопедия
- ТЕНЗОР
- абстрактный объект Т, имеющий определ. систему компонент в каждой рассматриваемой системе координат, такой, что при преобразовании координат его компоненты преобразуются по вполне определ. закону. Каждая точка x n -мерного пространства задаётся в выбранной системе координат набором n чисел ( х 1, х 2,..., х n). Переход от одной системы координат к другой означает преобразование (x1,..., х п) -> ( х'1,..., х' n). Будем рассматривать преобразования, обладающие след. свойствами: 1)
i=1,..., и, где ji -непрерывно дифференцируемые ф-ции, 2) якобиан преобразования, det 
Простейшими примерами Т. являются с к а л я р, к-рый не меняет своего значения при переходе от одной системы координат к другой, и в е к т о р ( а), характеризующийся в данной системе координат и компонентами а'2,..., а'n, связанными с компонентами в первоначальной системе координат след. образом:
Пусть
-одна из набора ф-ций от переменных x1,..., х n (число верх, индексов равно r, а число ниж. индексов равно s). Эти nr+s величин являются компонентами Т, ранга (порядка, валентности) r+s при условии, что его компоненты в др. системе координат, х'1,.,,, х'2, даются след. ф-лой:
(все индексы принимают значения от 1 до п). Здесь и далее предполагается, что по встречающимся дважды (один раз внизу и один раз вверху) индексам производится суммирование от 1 до n, причём в производных вида дA/дxk индекс k считается нижним. Такой Т. наз. к о н т р а в а р и а н т-н ы м ранга r и к о в а р и а н т н ы м ранга 5. Верх. индексы являются контравариантными индексами, а нижние - ко-вариантными. Если Т. имеет только контравариантные (верх.) индексы, он наз. контравариантным; если он имеет только ковариантные (ниж.) индексы, он наз, ковариант-ным. Т., имеющий и контравариантные и ковариантные индексы, наз. сметанным. Из (I) видно, что при переходе от одной системы координат к другой компоненты Т. преобразуются линейно и однородно. Если областью определения описанного выше объекта является только одна точка в каждой системе координат, то его обычно наз. просто Т. Если же его область определения - нек-рая область h-мерного пространства, то его наз. т е н з о р н ы м п о л е м. Теория, изучающая тензорные поля, наз. тензорным анализом,
Говорить о том, что нек-рая физ. величина является Т. того или иного ранга, можно только, имея в виду определ. группу преобразований координат в пространстве, в к-ром эта величина рассматривается. При этом если величину можно считать Т. относительно нек-рой группы преобразований, то она является Т, и относительно любой подгруппы этой группы.
Т. о., Т, ранга 0, т. е. Т., имеющий только одну компоненту с одним и тем же значением во всех координатных системах, является скаляром. Примеры скаляров в физике- масса, темп-pa, заряд, кривизна пространства. Т. ранга 1 является вектором. Примеры векторов в трёхмерном пространстве - скорость, импульс, сила, напряжённости электрич. и магн. полей. Нек-рые Т. ранга 2 также имеют спец. названия в геометрии и в физике: напр., метрический тензор в теории римановых пространств и в теории относительности, Т. напряжений (см. Напряжение механическое )и Т. деформаций в механике сплошной среды, Т. диэлектрической проницаемости в электродинамике сплошной среды, тензор энергии-импульса в теории относительности, Т. электромагнитного поля в электродинамике.
Действия над тензорами. Так как Т. задаются своими компонентами в разл. системах координат, то действия над Т. определяются ф-лами, связывающими в каждой системе координат компоненты результата действия через компоненты Т., над к-рыми производятся действия. Алгеб-раич. действия над Т. являются обобщением соответствующих действий над векторами и матрицами.
а) Сложение и вычитание Т. С у м м о й двух Т. А и В с компонентами
имеющих одно и то же строение, т. е. одно и то же число контравариантных и ковариантных индексов, наз. Т. S с компонентами 
а их разностью - Т. D с компонентами
б) Свёртывание смешанного Т. С в ё р т ы в а н и е м сме- шанного Т. наз, операция приравнивания одного контрава- риантного индекса нек-рому ковариантному индексу с по- следующим суммированием по этому индексу. В резуль- тате одного свёртывания ранг Т. уменьшается на два. Если число контравариантных индексов совпадает с числом ко- вариантных индексов, то при полном свёртывании по всем индексам получается инвариант (скаляр).
в) Умножение Т. Произведением (в н е ш н и м п р о и зв е д е н и е м) двух Т. А и В с компонентами
(быть может разл. строения) наз. Т. С = АВ с компонентами 
Произведение Т. ассоциативно и дистрибутивно относительно сложения, но, вообще говоря, некоммутативно, т. к. порядок следования индексов в ф-ле (4) является существенным.
В н у т р е н н и м п р о и з в е д е н и е м двух Т. А и В наз. Т., получаемый путём свёртки тензора С[ф-ла. (4)] по. одному или неск. индексам. В общем случае можно образовать неск. таких внутренних произведений.
Т. наз. а с с о ц и и р о в а н н ы м с т е н з о р о м, если он может быть получен из него подниманием
или опусканием нек-рого числа индексов при. помощи внутр. произведений вида 
или 
где 
ф у н д а м е н т а л ь н ы й м е т р и ч е с к и й Т.,
Gik = Gki - алгебраич. дополнение gik в определителе g). Т., ранг к-рого больше единицы, имеет неск. различных ассоциированных Т.Т., полученные из данного Т. в результате перестановки каких-нибудь верх. (либо ниж.) индексов, наз. изомерами данного Т. Множество изомеров Т. А всегда содержит А. Для всякого Т. контравариантного порядка r и ковари-антного порядка s можно получить r!s!изомеров, но, вообще говоря, не все эти Т. будут различными. Если множество изомеров Т. содержит единственный Т. А, то А наз. симметричным Т.
При рассмотрении прямоугольных координат можно не различать ковариантные и контравариантные индексы, т. к. в этом случае метрич. Т. gik имеет наиб. простой вид (единичная матрица).
Признак тензора. Для того чтобы объект X был Т., необходимо и достаточно, чтобы для каждого Т. А нек-рого определённого фиксированного ранга и типа внешнее произведение ХА или какое-нибудь внутреннее произведение объекта X и А было Т. определённого фиксированного ранга и типа.
Лит.: Рашевский П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, 3 изд., М., 1967; Кильчевский H. А., Элементы тензорного исчисления и его приложения к механике, М., 1954; Схо-утен Я.-А,, Тензорный анализ для физиков, пер. с англ., М., 1965; Сокольников И., Тензорный анализ. Теория и применения в геометрии и в механике сплошных сред, пер. с англ., М., 1971; Векуа И. H., Основы тензорного анализа и теории ковариантов, М., 1978. С. И. Азаков.
Энциклопедия Кольера
в математике величина, обладающая компонентами в каждой из заданного множества систем координат, причем компоненты при переходе от одной системы координат к другой преобразуются по определенному закону. Тензорное исчисление, или "абсолютное дифференциальное исчисление", позволяет ученым формулировать и рассматривать общековариантные физические законы, остающиеся в силе при переходе от одной системы координат к другой. Тензоры определяются в геометрических пространствах любого числа измерений и играют важную роль в дифференциальной геометрии, квантовой механике, небесной механике, механике жидкостей, теории упругости и особенно в общей теории относительности. Частными случаями тензоров являются векторы и скаляры. Основы тензорного исчисления были заложены в работах К. Гаусса (1777-1855) по геометрии поверхностей. Г. Грассман (1809-1877) расширил теорию чисел, включив в нее тензорную алгебру, а Б. Риман (1826-1866), используя гауссовы внутренние координаты, превратил n -мерные многообразия в главный объект своей новаторской работы по основаниям геометрии. Важный шаг к созданию общего тензорного исчисления сделал Э. Кристоффель (1829-1900) в своих работах по преобразованиям (эквивалентности) дифференциальных квадратичных форм. В 1890-х годах итальянский геометр Г. Риччи-Курбастро (1853-1925) и его бывший ученик Т. Леви-Чивита (1873-1941) обобщили и систематизировали результаты своих предшественников. Плодом их совместных усилий стал опубликованный в 1900 курс тензорного исчисления. В общем случае тензор имеет вид
.">
. Закон его преобразования определяется соотношением
.
где T - преобразованный тензор, T' - тензор до преобразования, x' - старые координаты, x - новые координаты и S означает суммирование по всем индексам. Говорят, что T - тензор, контравариантный по индексам i...j и ковариантный по индексам a...b. Геометрическим примером тензора могут служить коэффициенты любой квадратичной алгебраической формы, например,
относительно линейных преобразований координат. Можно привести два примера тензора из физики: это (1) тензор инерции, компонентами которого являются моменты и произведения инерции твердого тела, и (2) тензор напряжений, компоненты которого описывают напряжения, возникающие в упругом теле под действием внешних сил.
См. также
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ;
ВЕКТОР.
Математическая энциклопедия
на векторном пространстве Vнад нолем k - элемент tвекторного пространства
где V*=Hom(V, k) - пространство, сопряженное с V. Говорят, что тензор tявляется рраз контравариантным и qраз ковариантным или что tимеет тип ( р, q). Число р наз. контравариантной валентностью, q - ковариантной валентностью, а число р+q - общей валентностью тензора t. Пространство Т 0,0(V)отождествляется с k. Тензоры типа ( р,0) наз. контравариантными, типа (0, q) - ковариантными, а остальные - смешанными.
Примеры Т.
1) Вектор пространства V(Т. типа, (1,0)).
2) Ковектор пространства V(Т. типа (0, 1)).
3) Каждый ковариантный Т.
где 
определяет q-линейную форму 
на Vпо формуле
отображение 
пространства Т 0,q в пространство Lq(V) всех q-линейных форм на Vлинейно и инъектив-но; если dim 
то это отображение является изоморфизмом, так что любая q-линейная форма отвечает нек-рому Т. типа (0, q).
4) Аналогично, каждый контравариантный Т. из Т р,0(V)определяет нек-рую р-линейную форму на V*, а если Vконечномерно, то верно и обратное.
5) Каждый Т.
где 
определяет линейное преобразование 
пространства V, заданное формулой
если 
то любое линейное преобразование пространства Vопределяется Т. типа (1, 1).
6) Аналогично, любой Т. типа (1, 2) определяет в Vбилинейную операцию, т. е. структуру k-алгебры; при этом, если dim 
то любая структура k-алгебры в Vопределяется век-рым Т. типа (1, 2), к-рый наз. структурным тензором алгебры.
Пусть Vконечномерно и v1,..., vn - его базис, v1,..., vn - сопряженный базис пространства V*. Тогда Т.
составляют базис пространства Tp,q (V). Координаты 
тензора 
в этом базисе наз. также к о-ординатами тензора tвбазисе v1,..., vn пространства V. Напр., координаты вектора и ковектора совпадают с их обычными координатами в базисах 
и 
, координаты Т. типа (0, 2) совпадают с элементами матрицы соответствующей билинейной формы, координаты Т. типа (1, 1) - с элементами матрицы соответствующего линейного преобразования, координаты структурного Т. алгебры - с ее структурными константами. Если 
- другой базис пространства 
то координаты 
тензора tв этом базисе определяются по формулам 
Здесь, как это часто делается в тензорном исчислении, применимо правило суммирования Эйнштейна: по каждой паре одинаковых индексов, один из к-рых - верхний, а другой - нижний, подразумевается суммирование от 1 до п. Обратно, если система п p+q элементов поля k, зависящая от базиса пространства V, изменяется при переходе от базиса к базису по формулам (1), то эта система является набором координат нек-рого Т. типа ( р, q).
В векторном пространстве Т p,q (V)определены операции сложения Т. и умножения Т. на екаляр из k. При этих операциях соответствующие координаты Т. складываются или умножаются на скаляр. Определена также операция умножения Т. разных типов, к-рая вводится следующим образом. Имеет место естественный изоморфизм векторных пространств
переводящий
в
Поэтому для любых 
и 
элемент 
может рассматриваться как Т. типа (p+r, q+s), к-рый и наз. произведением тензоров tи и. Координаты произведения вычисляются по формуле
Пусть р>0, q>0 и пусть фиксированы числа 
и 
где 
Тогда определено линейное отображение
такое, что
Оно наз. свертыванием (или сверткой) по 
-му контравариантному и 
-му ковариантному индексам. В координатах свертка записывается формулами
Напр., свертка 
типа (1, 1) есть след соответствующего линейного преобразования.
Аналогично определяются Т. на произвольном унитарном модуле Vнад коммутативно-ассоциативным кольцом с единицей. Перечисленные выше примеры и свойства Т. переносятся с соответствующими изменениями на этот случай, причем иногда надо предполагать, что V- свободный или конечно порожденный свободный модуль.
Пусть в конечномерном векторном пространстве над полем kфиксирована невырожденная билинейная форма g(напр., V - евклидово или псевдоевклидово пространство над 
форму gназывают в этом случае метрическим тензором. Метрический Т. определяет изоморфизм 
по формуле
Пусть р>0 и пусть фиксирован индекс 
Тогда формула
определяет изоморфизм 
называемый опусканием 
-го контравариантного индекса. Иначе,
В координатах опускание индекса имеет вид
Аналогично определяется изоморфизм подъема 
-го ковариантного индекса 
отображающий 
на 
В координатах подъем индекса записывается формулой
где 
В частности, подъем сначала 1-го, а потом и оставшегося ковариантного индекса метрич. тензора gприводит к Т, типа (2, 0) с координатами gkll (контравариантный метрический тензор). Иногда опущенный (поднятый) индекс не передвигают на первое (последнее) место, а пишут на том же месте в нижней (верхней) группе индексов, ставя на образовавшемся пустом месте точку. Напр., для 
координаты Т. 
записывают в виде
Любое линейное отображение 
векторных пространств над k естественным образом определяет линейные отображения
и
Если f - изоморфизм, то определяется также линейное отображение
причем 
Соответствие 
обладает функторными свойствами. В частности, оно определяет линейное представление 
группы GL(V) в пространстве Tp,q(V)(тензорное представление).
Лит.:[1] Бурбаки Н., Алгебра. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра, пер. с франц., М., 1962; [2] Гельфанд И. М., Лекции по линейной алгебре, 4 изд., М., 1971; [З] Кострикин А. И., Манин Ю. И., Линейная алгебра и геометрия, М., 1980; [4] Постниковы. М., Линейная алгебра и дифференциальная геометрия, М., 1979; [5] Рашевский П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, 3 изд., М., 1967.
А. Л. Онищик.
Русско-английский политехнический словарь
tensor матем.
* * *
те́нзор м. мат., мех.tensor
антисимметри́ческий те́нзор — antisymmetric [alternating] tensor
кососимметри́ческий те́нзор — antisymmetric [alternating] tensor
те́нзор n [m2]-го ра́нга — tensor in n dimensions
симметри́ческий те́нзор — symmetrical tensor
транспони́рованный те́нзор — conjugate tensor
* * *
tensor
Dictionnaire technique russo-italien
м. матем., мех.
tensore m
тензор второго ранга, тензор второй валентности — tensore di ordine 2 [di secondo rango]
тензор первого ранга, тензор первой валентности — tensore di ordine 1 [di primo rango]
- антисимметрический тензор
- ассоциированный тензор- тензор высшего порядка
- двойной тензор
- тензор деформации
- тензор инерции
- истинный тензор
- квадрупольный тензор
- ковариантный тензор
- кососимметрический тензор
- тензор кривизны
- тензор кривизны Римана
- тензор Римана
- тензор кручения
- тензор мгновенного вращения
- тензор напряжений
- тензор нулевого ранга
- основной тензор
- пьезоэлектрический тензор
- симметрический тензор
- фундаментальный тензор
Русско-украинский политехнический словарь
матем., техн., физ.
те́нзор
- аксиальный тензор
- антисимметрический тензор- аффинный тензор
- градиентный тензор
- двухвалентный тензор
- единичный тензор
- канонический тензор
- корректированный тензор
- кососимметрический тензор
- линеаризированный тензор
- метрический тензор
- мировой тензор
- многовалентный тензор
- мультипликативный тензор
- нелинейный тензор
- неособенный тензор
- несимметричный тензор
- обратный тензор
- одновалентный тензор
- ортогональный тензор
- основной тензор
- присоединённый тензор
- присоединительный тензор
- псевдоевклидов тензор
- пьезоэлектрический тензор
- свёрнутый тензор
- симметричный тензор
- смешанный тензор
- сопряжённый тензор
- тензор деформации
- тензор кватерниона
- тензор кривизны
- тензор кручения
- тензор напряжений
- тензор преобразования
- фотоэлектрический тензор
- фундаментальный тензор
- четырёхмерный тензор
Русско-украинский политехнический словарь
матем., техн., физ.
те́нзор
- аксиальный тензор
- антисимметрический тензор- аффинный тензор
- градиентный тензор
- двухвалентный тензор
- единичный тензор
- канонический тензор
- корректированный тензор
- кососимметрический тензор
- линеаризированный тензор
- метрический тензор
- мировой тензор
- многовалентный тензор
- мультипликативный тензор
- нелинейный тензор
- неособенный тензор
- несимметричный тензор
- обратный тензор
- одновалентный тензор
- ортогональный тензор
- основной тензор
- присоединённый тензор
- присоединительный тензор
- псевдоевклидов тензор
- пьезоэлектрический тензор
- свёрнутый тензор
- симметричный тензор
- смешанный тензор
- сопряжённый тензор
- тензор деформации
- тензор кватерниона
- тензор кривизны
- тензор кручения
- тензор напряжений
- тензор преобразования
- фотоэлектрический тензор
- фундаментальный тензор
- четырёхмерный тензор
Українсько-російський політехнічний словник
матем.; техн.; физ. те́нзор