Дирихле задача

(по имени П. Г. Л. Дирихле)

задача об отыскании гармонической функции (См. Гармонические функции) по её значениям, заданным на границе рассматриваемой области.

ДИРИХЛЕ ЗАДАЧА (по имени П. Г. Дирихле) - задача об отыскании гармонической функции по ее значениям, заданным на границе рассматриваемой области.

Дирихле́ зада́ча

(по имени П. Г. Дирихле), задача об отыскании гармонической функции по её значениям, заданным на границе рассматриваемой области.

* * *

ДИРИХЛЕ́ ЗАДА́ЧА (по имени П. Г. Дирихле), задача об отыскании гармонической функции по ее значениям, заданным на границе рассматриваемой области.

- задача отыскания регулярной в области Dгармонич. функции u, к-рая на границе Г области Dсовпадает с наперед заданной непрерывной функцией j. Задачу отыскания регулярного в области решения эллиптич. уравнения 2-го порядка, принимающего наперед заданные значения на границе области, также наз. Д. з., или первой краевой задачей. Вопросы, связанные с этой задачей, рассматривались еще К. Гауссом (С. Gauss, 1840), а затем П. Дирихле [1].

Для областей Dс достаточно гладкой границей Г решение и(х)Д. з. можно представить интегральной формулой

(1)

где дG( х, х ₀)/дп ₀- производная по направлению внутренней нормали в точке Грина функции G(x, x₀), характеризуемой следующими свойствами:

или

где r=|x- х ₀|- расстояние между точками хи х ₀, s_n- площадь единичной сферы в Rⁿ, g( х, х ₀)- регулярная в Dгармонич. функция как относительно координат х, так и относительно координат х ₀;

2) G(x, x_o) =0, когда

Для шара, полупространства и нек-рых других простейших областей функция Грина строится явно и формула (1) дает эффективное решение Д. з. Получаемые при этом для шара и полупространства формулы носят название Пуассона формул.

Д. з. является одной из основных проблем потенциала теории. Она служила и служит как бы пробным камнем для разрабатываемых новых методов, к-рые затем, в той или иной мере, становятся достоянием общей теории уравнений с частными производными.

Для исследования Д. з. применяются следующие методы.

Вариационный метод основан на том, что среди всех функций и, заданных в Dи принимающих наперед заданные значения на Г, минимизирует Дирихле интеграл

- гармоническая функция. Для D(й)строится специальная минимизирующая последовательность и доказывается сходимость этой последовательности. Поскольку от искомого решения иД. з. требуется, чтобы сущест-

вовал интеграл D(u), то вариационный метод применим лишь для таких функций ф, к-рые являются следами на Г функций F, заданных в D, и таких, что D(F)существует и ограничен.

В методе потенциалов решение Д. з. ищется в виде потенциала двойного слоя с неизвестной плотностью, определенной на Г. При помощи формул скачка относительно этой плотности получается интегральное уравнение Фредгольма, из к-рого следует существование решения Д. з. с учетом того, что единственность этого решения следует из принципа максимума. Предполагается, что

В альтернирующем методе Шварца рассматриваются две области D₁ и D₂ с непустым пересечением D₀ такие, что для D₁ и D₂ в отдельности известен способ решения Д. з. Затем строится процесс, позволяющий найти решение Д. з. для области Границы Г ₁ и Г ₂ областей D₁ и D₂ предполагаются кусочно гладкими, причем во всех точках пересечения Г ₁ с Г ₂ как Г ₁, так и Г ₂ являются гладкими и пересекаются под ненулевым углом. Строятся последовательности регулярных в областях D₁ и D₂ гармонии, функций, удовлетворяющих специальным граничным условиям. Затем доказывается, что эти последовательности равномерно сходятся и в D₀ их пределы совпадают. Предельная гармонич. функция регулярна в Dи является искомым решением Д. з. Метод Шварца можно применять для объединения пли пересечения любого конечного числа областей.

Метод выметания в той форме, в к-рой он первоначально был введен А. Пуанкаре (Н. Poincare, 1890), применяется к таким областям, к-рые допускают исчерпание счетным множеством шаров. Исходным в этом методе является построение ньютонова потенциала, принимающего на границе Г заданные значения j, а задача затем сводится к замене этого потенциала потенциалом масс, расположенных на Г, без изменения значений j на Г, т. е. к выметанию масс. При помощи формулы Пуассона такой процесс выметания для шара Dлегко осуществить в явном виде. Счетное число выметаний из шаров, объединение к-рых исчерпывает область Dобщего вида, приводит к нек-рому потенциалу масс, расположенных на границе Г, к-рый и дает решение Д. з.

Близким к методу выметания является Перрона метод (или метод верхних и нижних функций), применимый к областям Dвесьма общего вида. В этом методе строятся последовательности верхних (супергармонических) и нижних (субгармонических) функций, общим пределом к-рых является искомое решение Д. з. Для того чтобы это решение принимало заданное значение в точке необходимо и достаточно существование локального барьера w_Q. Функция w_Q. непрерывна, супергармонична в пересечении (2 - шар с центром в точке Q);w_Q>0 всюду в , кроме точки Q, где она обращается в нуль.

Точки Г, для к-рых существует локальный барьер, наз. регулярными точками. Если Г состоит только из регулярных точек, то полученное решение Д. з. непрерывно в Dи принимает заданные значения на Г. Однако на Г могут существовать и иррегулярные точки. Напр., в R² иррегулярными являются изолированные точки Г, а в R³ иррегулярной будет вершина достаточно тонкого острия, входящего внутрь D. Наличие иррегулярных точек приводит к тому, что Д. з. не является разрешимой для всех непрерывных на Г функций j, либо же решение является неустойчивым по отношению к изменению граничных данных (см. [6]).

Обобщенное решение Д. з., введенное Н. Винером (N. Wiener, 1924), удовлетворяет условиям: а) оно применимо для любых областей; б) оно приводит к классич. решению Д. з., если таковое существует. Пусть область D- предел монотонно возрастающей последовательности регулярных областей {D_n} такой, что и любой компакт содержится в D_n при Обобщенное решение Д. з. иполучается как предел последовательности {и _п} решений Д. з. для областей D_n и непрерывно продолженной граничной функции j внутрь D. Решение ине зависит ни от выбора исчерпывающей последовательности {D_n}, ни от способа непрерывного продолжения ф внутрь D.

Имеется трактовка обобщенного решения Д. з. на основе метода Перрона. Пусть - нижняя огибающая семейства всех верхних супергармонич. функций v, удовлетворяющих на Г условию

Для любых области Dи функции j имеет место неравенство В случае равенства =u эта функция иявляется гармонической. Она наз. обобщенным решением Д. з., а граничная функция j - разрешимой. Любая непрерывная функция j разрешима, поведение же обобщенного решения ив точке определяется регулярностью или иррегулярностью х ₀. Для обобщенного по Винеру решения Д. з. справедливо интегральное представление в виде формулы Балле Пуссена

(2)