Равномерная сходимость

важный частный случай сходимости (См. Сходимость).Последовательность функций f_n (x)(n=1, 2, ...) называется равномерно сходящейся на данном множестве к предельной функции f(x), если для каждого ε > 0 существует такое N=N(ε),что |f(x) — f_n (x)| n>N для всех точек х из данного множества. Например, последовательность функций f_n (x)=xⁿравномерно сходится на отрезке [0, ¹/₂] к предельной функции f(x) = 0, так как |f(x) — f_n (x)| ≤ (¹/₂) ^{n 1}/₂, если только n > ln (¹/_ε)/ln2, но она не будет равномерно сходящейся на отрезке [0, 1], где предельной функцией является f(x) =0 при 0 ≤ x f(1) = 1, т.к. для любого сколько угодно большого заданного n существуют точки η, удовлетворяющие неравенствам f(η) — f_n (η)| =ηⁿ >¹/_2. Понятие Р. с. допускает простую геометрическую интерпретацию: если последовательность функций f_n (x) равномерно сходится на некотором отрезке к функции f(x),то это означает, что для любого ε > 0 все кривые у=f_n (x) с достаточно большим номером будут расположены внутри полосы ширины 2ε, ограниченной кривыми у= f(x)± ε для любого хиз этого отрезка (см.рис.).

Равномерно сходящиеся последовательности функций обладают важными свойствами; например, предельная функция равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций также непрерывна (приведённый выше пример показывает, что предельная функция последовательности непрерывных функций, которая не является равномерно сходящейся, может быть разрывной). Важную роль в математическом анализе играет теорема Вейерштрасса: каждая непрерывная на отрезке функция может быть представлена как предел равномерно сходящейся последовательности многочленов (или тригонометрических полиномов). См. также Приближение и интерполирование функций.

Рис. к ст. Равномерная сходимость.

uniform convergence

uniform convergence

последовательности функций (отображений) - свойство последовательности , где X- произвольное множество, Y - метрич. пространство, n=1,2,..., к функции (отображению) , означающее, что для любого e>0 существует такой номер п _e, что для всех номеров п>n_e и всех точек выполняется неравенство

Это условие равносильно тому, что

Чтобы последовательность {f_n} равномерно сходилась на множестве Xк функции f, необходимо и достаточно, чтобы нашлась такая числовая последовательность {a_n}, что и существовал такой номер n₀, что для всех n>n₀ и всех выполнялось неравенство

Пример. Последовательность f_n(x)=xⁿ, п=1,2,..., равномерно сходится на любом отрезке [0, а], 0<а<1 и не сходится равномерно на отрезке [0, 1].

Необходимое и достаточное условие Р. с. последовательности функций без использования понятия предельной функции дает Ноши критерий равномерной сходимости.

Свойства равномерно сходящихся последовательностей.

1. Если Y - линейное нормированное пространство и последовательности отображений и , n=1, 2,..., равномерно сходятся на множестве X, то при любых и последовательность {lf_n+mg_n} также равномерно сходится на X.

2. Если Y - линейное нормированное кольцо, последовательность отображений , 2,..., равномерно сходится на множестве Xи g: XY - ограниченное отображение, то последовательность {gf_n} также равномерно сходится на X.

3. Если X - топологич. пространство, Y - метрич. пространство и последовательность непрерывных в точке отображений равномерно на множестве Xсходится к отображению , то это отображение также непрерывно в точке x₀, то есть

Условие равномерной сходимости последовательности {f_n} на Xявляется в этом утверждении существенным в том смысле, что существуют даже последовательности числовых непрерывных на отрезке функций, сходящиеся во всех его точках к функции, не являющейся непрерывной на рассматриваемом отрезке. Примером такой последовательности является f_n(x)=xⁿ, n=1,2,..., на отрезке [0, 1]. Р. с. последовательности непрерывных функций не есть необходимое условие непрерывности предельной функции. Однако если множество X- компакт, Y- множество действительных чисел , последовательность непрерывных функций во всех точках одновременно возрастает или убывает и имеет конечный предел,

то для того, чтобы функция f была непрерывной на множестве X, необходимо и достаточно, чтобы последовательность {f_n} сходилась равномерно на этом множестве. Необходимые и одновременно достаточные условия для непрерывности предела последовательности непрерывных функций в общем случае даются в терминах квазиравномерной сходимости последовательности.

4. Если последовательность интегрируемых по Риману (по Лебегу) функций , n=1,2,..., равномерно на отрезке [ а, b], сходится к функции , то эта функция также интегрируема по Риману (соответственно по Лебегу), и для любого имеет место равенство

(*)

и сходимость последовательности на отрезке [ а, b]к функции равномерна. Формула (*) обобщается на случай Стилтьеса интеграла. Если же последовательность интегрируемых на отрезке [ а, b]функций f_n, п=1, 2,..., просто сходится в каждой точке этого отрезка к интегрируемой же на нем функции f, то формула (*) может не иметь места.

5. Если последовательность непрерывно дифференцируемых на отрезке [ а, b]функций , п=1, 2,..., сходится в нек-рой точке , а последовательность их производных равномерно сходится на [ а, b], то последовательность {f_n} также равномерно сходится на отрезке [ а, b], ее предел является непрерывно дифференцируемой на этом отрезке функцией и

Пусть X - произвольное множество, а Y - метрич. пространство. Семейство функций (отображений) f_a:Х Y,, где - топологич. пространство, наз. равномерно сходящимся при к функции (отображению) , если для любого e>0 существует такая окрестность U(a₀) точки a₀, что для всех и всех выполняется неравенство

Для равномерно сходящихся семейств функций имеют место свойства, аналогичные указанным выше свойствам Р. с. последовательностей функций.

Понятие Р. с. отображений обобщается на случай, когда Y - равномерное пространство, в частности, когда Y - топологич. группа.

Лит.:[1] Александров П. С., Введение в теорию множеств и общую топологию, М., 1977; [2] Колмогорова. Н., ФоминС. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд., М., 1981; [3] Келли Д ж. Л., Общая топология, пер. с англ., 2 изд., М., 1981.

Л. Д. Кудрявцев.

uniform convergence

convergenza uniforme

см. абсолютная сходимость

см. абсолютная сходимость