Дробно-линейная функция

функция вида

т. е. частное двух линейных функций. Д.-л. ф. — простейшая среди рациональных функций (См. Рациональная функция). При ad — bc = 0 она сводится к тождественной постоянной; если ad — bc ≠ 0, но с = 0, то Д.-л. ф. сводится к целой линейной функции у = αх + β. Т. о., интерес представляет лишь случай, когда ad — bc ≠ 0 и с ≠ 0; графиком Д.-л. ф., когда х принимает действительные значения, является равнобочная Гипербола.

Если х принимает произвольные комплексные значения (а, b, с и d — фиксированные комплексные числа), то Д.-л. ф. осуществляет взаимно однозначное и Конформное отображение комплексной плоскости (пополненной точкой ∞) на себя, называемое дробно-линейным отображением (это единственная аналитическая функция, обладающая указанным свойством). Д.-л. ф. характеризуется также тем, что она переводит прямые и окружности, лежащие в комплексной плоскости, снова в прямые и окружности. Всякое конформное отображение внутренности круга на себя осуществляется при помощи Д.-л. ф. Двойное отношение четырёх точек

является инвариантом Д.-л. ф. Иными словами, если Д.-л. ф. переводит x₁ в y₁, x₂ в y₂, x₃ в у₃ и x₄ в y₄, то

Лит.: Маркушевич А. И., Краткий курс теории аналитических функций, 3 изд., М., 1966; Привалов И. И., Введение в теорию функций комплексного переменного, 11 изд., М., 1967.

С. Б. Стечкин.

мат. homographic function

дро́бно-лине́йная фу́нкция

частное двух линейных функций, то есть функция видау = (ах + b)/(сх + d).Если ad – bc ≠ 0 и с ≠ 0, график дробно-линейной функции — равнобочная гипербола.

* * *

ДРО́БНО-ЛИНЕ́ЙНАЯ ФУ́НКЦИЯ, частное двух линейных функций, т. е. функция вида y = (ах + b)/(сх + d). Если ad — bc № 0 и с № 0, график дробно-линейной функции — равнобочная гипербола.

- функция вида

где z= (z₁,..., z_n) - комплексные или действительные переменные, a_j, b, с _j, d- комплексные или действительные коэффициенты,|с ₁| +... +| с _n| +|d|>0. Если |с ₁| =...=|с _п| = 0, то Д.-л. ф. является целой линейной функцией; если ранг матрицы.равен единице, то L(z)- постоянная

Собственно Д.-л. ф. получается, если|c₁|+... +|c_n| >0 и ранг Аравен двум; ниже эти условия предполагаются выполненными.

В случае n=1 и действительных a₁=а, с ₁=с, z₁ = z график Д.-л. ф. есть равнобочная гипербола с асимптотами z=-d/c и w=a/c. В случае ге=2 и действительных a₁, а ₂, b,c₁, c₂, d, z₁, z₂ график Д.-л. ф. есть гиперболич. параболоид.

В случае n=1 Д.-л. ф. L(z)есть аналитич. функция комплексного переменного zвсюду в расширенной комплексной плоскости С, за исключением точки z=-d/c, в к-рой L(z)имеет простой полюс. При n>1 Д.-л. ф. L(z) есть мероморфная функция в пространстве С ⁿ комплексных переменных z=(z_l,..., z_n), имеющая полярным множеством множество

См. также Дробно-линейное отображение.

Е. П. Долженко, Е. Д. Соломенцев

частное двух линейных функций, то есть ф-ция вида у = (ах + b)/(cх + d). Если ad - b с не равно 0 и с не равно 0, график Д.-л. ф. - равнобочная гипербола.

дробо́во-ліні́йна фу́нкція

дробо́во-ліні́йна фу́нкція

частное двух линейных функций, т. е. функция вида у = -(ax + b)/(cx + d). Если ad-bc не =0 и с не =0, график Д.-л. ф.- равнобочная гипербола.