Конформное отображение

В наиболее важном случае n=2 область Gи ее образ f(G) при отображении f лежат в плоскости, к-рую удобно рассматривать как плоскость С комплексного переменного z;соответственно отображение w=f(z)является комплекснозначной функцией комплексного переменного При этом если в точке z₀ отображение w=f(z)сохраняет углы, то криволинейные углы с вершиной z₀ при этом отображении либо все сохраняют свою абсолютную величину и знак, либо все сохраняют свою абсолютную величину, изменяя знак на противоположный. В первом случае говорят, что отображение в точке z₀ является К. о. первого рода, во втором - К. о. второго рода. Если функция w=f(z)задает К. о. второго рода в точке z₀, то комплексно сопряженная функция задает К. о. первого рода в точке z₀, и наоборот. Поэтому изучаются лишь К. о. первого рода, и именно их обычно имеют в виду, когда говорят о К. о., не уточняя их род.

Если отображение w=f(z)конформно в точке z₀, то при существует конечный предел отношения (f(z).- f(z_o))/(z-z₀), т. е. существует производная f'(z₀). При дополнительном предположении, что верно и обратное.

Таким образом, если существует то каждый бесконечно малый вектор с началом в точке z₀ при отображении w=f(z)растягивается в k(z₀, f)=|f(z₀)| раз, поворачивается на угол arg f' (z₀) и параллельно сдвигается на вектор f(z₀) - z₀; бесконечно малые круги с центром z₀ переходят в бесконечно малые круги.

Отображение w=j(z)является конформным в области Gконечной комплексной плоскости С тогда и только тогда, когда функция f(z), является аналитической и в G. Для конформности отображения w=f(z). (и аналитичности f(z))в области Gдостаточно потребовать, чтобы непрерывная функция f(z)обладала в каждой точке лишь свойством сохранения углов (с сохранением не только величин углов при этом отображении, но и их знаков). Если же от непрерывного отображения w=f(z),. потребовать однолистности его (т. е. взаимной однозначности) и постоянства растяжений в каждой точке, то это отображение будет конформным первого пли второго рода, так что либо f(z), либо является аналитич. функцией, производная к-рой всюду в Gотлична от нуля. В случае аналитичности f(z) в нек-рой окрестности точки следующие три свойства эквивалентны: а) отображение w=f(z)конформно (первого рода) в точке z₀, б) функция f(z)(локально) однолистна в точке z₀, в) Всякая однолистная аналитическая в области G функция совершает К. о. области Gна область f(G)той же связности; при этом обратная функция f^-1(z) является в области f(G) однолистной аналитич. функцией с ненулевой производной. Существуют и неоднолистные К. о. (например, отображение w=z⁴ конформно и не однолистно в полуплоскости Im z>0, a w=e^z- во всей плоскости С).

В теории плоских К. о. и ее приложениях принципиальным является вопрос о возможности однолистно и конформно отобразить одну заданную область на другую, а в практических приложениях - вопрос о возможности это сделать посредством сравнительно простых функций. Первую задачу для случая односвязных. областей, границы к-рых не пусты и не вырождаются в точки, решает в положительном смысле Римана теорема о конформном отображении. Вторая задача для-некрых областей специального вида решается применением элементарных функций комплексного переменного (см. ниже), Кристоффеля- Шварца формулы для отображения полуплоскости или круга на многоугольник, применением симметрии принципа и приближенных методов К. о. По теореме Римана, все односвязные области расширенной комплексной плоскости с непустыми границами, не вырождающимися в точки, конформно эквивалентны. Иначе обстоит дело с К. о. многосвязных областей. Поскольку однолистное К. о. нек-рой области G₁ на другую область G₂ является взаимно однозначным и взаимно непрерывным, то для существования такого отображения необходимо, чтобы G₁ и G₂ имели один и тот же порядок связности, т. е. они одновременно должны быть либо односвязными, либо двусвязными и т. д., либо бесконечносвязными. Однако это необходимое условие не является достаточным, что проявляется уже в случае односвязных областей. Так, круг zj<i нельзя однолистно и конформно отобразить на конечную плоскость С, а расширенную комплексную плоскость С нельзя конформно и однолистно отобразить на круг|z|<l или плоскость С (на самом деле, последние два отображения невозможно выполнить даже топологически). Еще более жесткая ситуация имеет место в случае многосвязных областей. Напр., круговое кольцо G₁={z: r1<|z|<R₁} можно однолистно и конформно отобразить на другое круговое кольцо G₂= {z: r₂<|z|<R₂}, r₁>0, r₂>0, тогда и только тогда, когда эти кольца подобны, т. е. R₁: r₁=R₂:r₂; в этом случае всякое К. о. G₁ на G, является целой линейной функцией вида e^ibr₂z/r₁, где b - некоторое действительное число. Однако всякую конечносвязную область G расширенной комплексной плоскости с непустой границей можно однолистно и ко. формно отобразить на любую из так наз. канонических областей той же связности, содержащую точку бесконечность, а именно: на расширенную плоскость с конечными горизонтальными разрезами, на расширенную плоскость с исключенными конечными не пересекающимися замкнутыми кругами, на расширенную плоскость с исключенными замкнутыми дугами логарифмич. спиралей заданного наклона q; при этом отдельные отрезки, круги и дуги спиралей могут вырождаться в точки. Если потребовать, чтобы заданная точка при таком отображении перешла в бесконечности и при выполнялось соотношение f(z)=(z-а)^-1 + O(z-а) при или соотношение f(z) = z+O(1/z) при то в случае канонпч. областей первых двух перечисленных типов отображающая функция w=f(z) существует, определяется единственным образом и наз. каноническим К. о. Эти теоремы справедливы и для бесконечносвязных областей.

Всякое однолистное К. о. области G₁, ограниченной конечным числом непересекающихся окружностей (при этом прямая считается окружностью бесконечно большого радиуса), на область G₂ этого же типа является дробно-линейным отображением. В теории аналитпч. функций рассматриваются также неоднолистные отображения областей разной связности друг на друга посредством аналитич. функций, в том числе К. о. круга на многосвязные области, отображение n-связных областей на п-лпетный круг, вообще, отображения одной римановой поверхности на другую.

В теории К. о. и ее приложениях важную роль играют так наз. условия нормировки, или условия единственности, К. о., обеспечивающие выделение одной единственной функции из рассматриваемого бесконечного класса К. о. одной заданной области на другую (в случае одиосвязных областей) или заданной области на каноническую область определенного типа (в случае областей любой связности). Наиболее употребительные условия нормировки К. о. в случае односвязных областей G₁, G₂ с непустыми границами Г ₁, Г ₂ соответственно, не вырождающимися в точки, таковы: 1) заданная конечная точка переходит в заданную конечную точку причем argf'(a)=a, где a.- наперед заданное действительное число, (см. Римана теорема о К. о.); 2) заданная точка переходит в заданную точкуа заданная достижимая граничная точка (пли граничный элемент)z₁. области G₁ переходит в заданную достижимую граничную точку (граничный элемент) w₁ области G₂ (см. Конформных отображений граничные свойства):.3) заданные три различные достижимые граничные точки (граничные элементы) z₁, z₂, z₃ области G₁ переходят соответственно в заданные достижимые граничные точки (граничные элементы) w₁, w₂, w₃ области G₂, при этом, если при движении по Г _х от z₁ к z₃ через z₂ область G_x остается слева (справа), то при движении по Г ₂ от w₁ к w₃ через w₂ область G₂ также должна оставаться слева (соответственно справа). Последними двумя типами нормировок проще всего пользоваться в случае областей, ограниченных замкнутыми жордановыми кривыми, так как в этом случае понятия достижимой граничной точки и граничного элемента области эквивалентны понятию граничной точки области. Об условиях нормировки в случае отображения области произвольной связности на каноническую область сказано выше.

К. о. областей n-мерного евклидова пространства при образуют весьма узкий класс так наз. мёбиусовых отображений, каждое из к-рых является либо линейным преобразованием подобия, либо композицией такого линейного преобразования подобия и одной инверсии (т. е. симметрии относительно нек-рой сферы в пространстве, пли преобразования обратных радиусов) (теорема Лиувилля).

Существенно более обширный класс отображений при образуют так наз. квазиконформные отображения. При этих отображениях формы бесконечно малых фигур искажаются, но в ограниченных пределах, в частности в ограниченных пределах меняются величины углов, а бесконечно малые шары переходят в бесконечно малые эллипсоиды с ограниченным отношением наибольшей полуоси к наименьшей. Большую роль играют К. о. двумерных областей но только плоских, но и лежащих на гладких поверхностях. Примеры таких К. о. дают стереографическая проекция и проекция Меркатора сферы на плоскость. Они были открыты и нашли применение в картографии (см. Картографии математические задачи, Картографическая проекция). Заметим, что постановка в общем виде задачи о К. о. поверхностей в свое время привела к возникновению и развитию общей теории поверхностей. К. о. имеют обширные применения в теории функций, теории потенциала, при решении краевых задач для уравнений математической физики, прежде всего при решении первой краевой задачи для ураннений Лапласа и Пуассона.

Конформное отображение некоторых односвязных областей. Растяжения, повороты и параллельные переносы областей комплексной плоскости осуществляют целые линейные функции вида w=az+b. Однолистные К. о. полуплоскостей, кругов и внешностей кругов друг на друга осуществляются посредством дробно-линейных функций. При этом каковы бы ни были три различные точки z₁, z₂, z₃ границы одной и той же области G₁ (занумерованные так, что при движении по границе G₁ от z₁ к z₃ через z₂ область G₁ остается слева) и различные точки w₁,w₂,w₃ границы другой такой области G₂ (занумерованные аналогичным образом), существует, и притом единственная, дробно-линейная функция w=L(z), однолистно и конформно отображающая G₁ на G₂ с условиями нормировки третьего типа: L(z_k)=w_k, k=1,2, 3. Эта функция находится из уравнения

в к-ром каждый числитель или знаменатель заменяется числом 1, если в его запись должна войти точка w_k равна бесконечности или точка В частности, общий вид отображений единичного круга D={z:|z|<1} на себя:

а общий вид отображения верхней полуплоскости Р= {z:Im z>0} на этот круг:

Здесь а и с- соответственно прообразы точки 0 при этих отображениях, a=arg L'₁(a)=arg L'₂(c),0a<2p. Числа а,|a|<1, с,Im c>0, и а, могут задаваться произвольно. Таким образом, указанный общий вид однолистных К. о. единичного круга и верхней полуплоскости на единичный круг позволяет легко учитывать условия нормировки первого типа при этих отображениях. Условия нормировки второго типа с b=0 при этих же отображениях также легко выполнить, если воспользоваться указанным общим видом с заданным а(или с), после чего остается только подобрать множитель e^ia. из условия соответствия заданных граничных точек z и w.

Простота выполнения условий нормировки при отображении единичного круга на себя или верхней полуплоскости на себя лежит в основе следующего употребительного приема, с помощью к-рого учитывают условия нормировки при однолистных К. о. произвольных областей G₁,G₂ с непустыми невырожденными границами друг на друга. Именно, обе области G₁ и G₂ каким-либо образом конформно и однолистно отображают на D(пли на Р)с помощью нек-рых функций w=f₁(z) и w=f₂(z) соответственно, после чего задача об отображении G₁ на G₂ с нек-рыми условиями нормировки сводится к задаче о дробно-линейном отображении w=L(z) круга D(соответственно полуплоскости Р)на себя с выполнением соответствующих условий нормировки. Если функция Lнайдена, то f(z) = f₂^-1 (L(f₁(z)))решает исходную задачу. Ввиду этого обстоятельства ниже приводятся лишь однолистные К. о. различных областей на единичный круг Dили на верхнюю полуплоскость Рбез каких-либо условий нормировки.

1) Горизонтальную полосу {z=x+iy:0<y<p} на верхнюю полуплоскость отображает функция w=e^z=e^x(cos у-isin у). Эта функция каждую горизонталь у=с переводит в луч Arg w=c;каждый вертикальный отрезок {x+iy: х=d,} - в дугу {w:|w| = e^d,}.

2) Вертикальную полосу {x+iy:}на круг Dотображает функция w= tg z. При этом вертикаль х=с,переходит в "меридиан" - дугу окружности с концами iн -i, проходящую через точку w=tg с, а горизонтальный отрезок {х+ iy: х y=d},переходит в "параллель" - дугу окружности, ортогональную "меридианам", соединяющую левую часть единичной окружности с ее правой частью и проходящую через точку z=ith d.

3) Полуполоса отображается на Рфункцией w=sin z. При этом горизонтальные отрезки переходят в дуги эллипсов с фокусами - 1, +1, а вертикальные - в дуги гипербол с темп же фокусами.

4) Угол V_a={z:0<arg z<a}, на угол V_b = {z: 0<arg z<b}, (V_p=Р), отображает функция

- однозначная аналитическая ветвь функции w=z^b/a. При этом луч arg z=c переходит в луч arg w=bc/a, дуга окружности|z|=d- в дугу окружности|w|=db/a.

5) Внутренность или внешность двуугольника с вершинами аи bобразованного двумя дугами окружностей или дугой окружности и отрезком прямой, имеющими общие концы в этих точках, может быть отображена на Рследующим образом. Сначала дробно-линейным преобразованием w₁= (z-a)/(z-b) отображают данную область на угол Vс вершиной в О, затем поворотом на нек-рый угол у переводят Vв нек-рый угол V_a (см. п. 4), после чего пользуются преобразованием п. 4 с b=p.

6) Внешность эллипса с фокусным расстоянием отображается однозначной аналитической ветвью функции (см. Жуковского функция)

выделяемой условием|w|<1, на круг|w|<c/(a+b), а второй ее ветвью, выделяемой условием|w|>1, -на область|w|> (a+b)/c. Эти же ветви отображают расширенную плоскость С с удаленным отрезком [- с, с]соответственно на внутренность н внешность единичной окружности|z| = l. Внутренность эллипса нельзя отобразить на Dили Рпосредством композиции элементарных функций; это отображение осуществляется посредством композиции элементарных функций и эллиптич. синуса sn z.

7) Часть G плоскости С, заключенная между ветвями гиперболы с фокусным расстоянием с=отображается на Рфункций

где однозначная аналитич. ветвь функции в области Gвыделяется условием Im t>0,

Внутренность правой ветви этой гиперболы отображается на верхнюю полуплоскость однозначной ветвью аналитич. функции

где arch z, означает (единственное) решение уравнения ch w=z, принадлежащее полосе {z: 0<Im z<p} с присоединенной действительной положительной полуосью.

8) Внешность параболы у ²=2рх отображается на Роднозначной аналитич. ветвью функции

выделяемой условием Im w>0, т. е. функцией

где значения квадратного корня берутся положительные. Внутренность этой параболы отображает на Роднозначная аналитич. функция

где

9) Прямоугольник Q= {х+iy: - а<х<а,0<y<b} отображается на Рс помощью эллиптич. синуса, а Ротображается на Qодной из однозначных аналитич. ветвей функции

где kзависит от отношения a/b, а с - от величины а/К,

Лит.:[1] Лаврентьев М. А., Шабат Б. В., Методы теории функций комплексного переменного, 4 изд., М., 1973; [2] Голузин Г. М., Геометрическая теория функций комплексного переменного, 2 изд., М., 1966; [3] Келдыш М. В., "Успехи матем. наук", 1939, т. 6, с. 90-119; [4] Привалов И. И., Граничные свойства аналитических функций, 2 изд., М.-Л., 1950; [5] Лаврентьев М. А., Конформные отображения с приложениями к некоторым вопросам механики, М.- Л., 1946; [6]Коппенфельс В., Штальман Ф., Практика конформных отображений, пер. с нем., М., 1963; [7] Лаврик В. И., Савенков В. Н., Справочник по конформным отображениям, К., 1970; L8] Фильчакова В. П., Конформные отображения областей специального типа, К., 1972; [9] Каратеодори К., Конформное отображение, пер. с англ., М.- Л., 1934; [10] Бицадзе А. В., Основы теории аналитических функций комплексного переменного, 2 изд., М., 1972; [И] Лаврентьев М. А., Шабат Б. В., Проблемы гидродинамики и их математические модели, 2 изд., М 1977.

Е. П. Долженпо.