Симплекс

(от лат. simplex — простой)

(математический), простейший выпуклый многогранник данного числа измерений n. При n = 3 трёхмерный С. представляет собой произвольный, в том числе неправильный, тетраэдр. Под двумерным С. понимают произвольный треугольник, а под одномерным — отрезок. Нульмерный С. есть просто одна точка.

n-мерный С. имеет n + 1 вершин, не принадлежащих ни к какому (n — 1)-мерному подпространству того евклидова пространства (с числом измерений n или больше), в котором лежит данный С. Обратно, всякие n + 1 точек евклидова n-мерного пространства R^m,m ≥ n,не лежащие ни в каком подпространстве менее n измерений, однозначно определяют n-mepный С. с вершинами в заданных точках e₀, e₁,..., e_n, он может быть определён как выпуклое замыкание совокупности заданных n + 1 точек, т. е. как пересечение всех выпуклых тел пространства R^m, содержащих эти точки. Если в пространстве R^m дана система декартовых координат x₁,х₂,...,х_т, в которой вершина e_i, i = 0, 1,..., n, имеет координаты x₁⁽ⁱ⁾, x₂⁽ⁱ⁾,..., x_m ⁽ⁱ⁾, то С. с вершинами e₀, e₁,..., e_m состоит из всех точек пространства, координаты которых имеют вид:

, k = 1,2,..., m, где μ⁽⁰⁾, μ⁽¹⁾,..., μ⁽ⁿ⁾ — произвольные неотрицательные числа, дающие в сумме 1. По аналогии со случаем n≤З можно сказать, что все точки С. с данными вершинами получаются, если в эти вершины поместить произвольные неотрицательные массы (из которых по крайней мере одна отлична от нуля) и взять центр тяжести этих масс (дополнительное требование, чтобы сумма всех масс равнялась 1, исключает лишь случай, когда все массы — нулевые).

Любые r + 1 вершин, 0 ≤ r ≤ n — 1, взятые из числа данных n + 1 вершин n-мерного С., определяют некоторый r-мерный С. — r-мерную грань данного С. Нульмерные грани С. суть его вершины, одномерные грани называются ребрами.

Лит.: Александров П. С., Комбинаторная топология, М. — Л., 1947; Понтрягин Л. С., Основы комбинаторной топологии, М. — Л., 1947, с. 23—31.

1. си́мплекс;
2. си́мплексы;
3. си́мплекса;
4. си́мплексов;
5. си́мплексу;
6. си́мплексам;
7. си́мплекс;
8. си́мплексы;
9. си́мплексом;
10. си́мплексами;
11. си́мплексе;
12. си́мплексах.

simplexsimplex

simplex матем.

m.simplex

- топологическое пространство| А|, точками к-рого служат неотрицательные функции , определенные на конечном множестве Аи удовлетворяющие условию . Топология в| А| полагается индуцированной из - пространства всех функций из Ав . Действительное число j(а) наз. а-й барицентрической координатой точки j, размерностью симплекса| А| наз. число car dA-1. В случае, когда Аявляется линейно независимым подмножеством евклидова пространства, симплекс| А| гомеоморфен выпуклой оболочке множества А(гомеоморфизм задается соответствием ). В связи с этим выпуклая оболочка линейно независимого подмножества евклидова пространства наз. евклидовым С.

Для любого отображения конечных множеств формула , определяет непрерывное отображение , являющееся для евклидовых С. аффинным (неоднородным линейным) отображением, продолжающим отображение f. Этим задается функтор из категории конечных множеств в категорию топологич. пространств. Если и - соответствующее вложение, то|i| - гомеоморфизм на замкнутое подмножество, наз. гранью симплекса| А| и обычно отождествляемое с|В|. Нульмерные грани наз. вершинами (как правило, вершины отождествляются с элементами множества А).

Топологическим упорядоченным С. наз. топологич. пространство X, для к-рого задан гомеоморфизм , где Dⁿ - стандартный симплекс. Образ граней Dⁿ при гомеоморфизме hназ. гранью топологического упорядоченного симплекса X. Отображение топологических упорядоченных симплексов Xи Yназ. линейным, если оно имеет вид , где kи h - заданные гомеоморфизмы, F - произвольное отображение вида|f|.

Топологическим С. (размерности n) наз. топологич. пространство X, наделенное (n+1)! гомеоморфизмами (то есть (n+1)! структурами топологического упорядоченного С.), отличающимися на гомеоморфизмы вида|f|, где f - произвольная перестановка вершин. Аналогично, отображение топологического С. наз. линейным, если оно является линейным отображением соответствующих топологических упорядоченных С.

С. наз. также элементы симплициальных множеств и отмеченные подмножества симплициальных схем.

А. В. Хохлов.

- re-мерный многогранник, являющийся выпуклой оболочкой n+1 точек (вершин С.), к-рые не лежат в ( п-1)-мерной плоскости. При n=0, 1, 2, 3 С.- точка, отрезок, треугольник, тетраэдр. Грани С. суть С. меньшей размерности. Два С. одинаковой размерности аффинно эквивалентны. Каждой точке С. соответствует единственный способ распределения единичной массы между вершинами С. так, чтобы центр тяжести был в данной точке С. Это используется при введении в С. барицентрич. координат, а также служит источником обобщения понятия С. для бесконечномерного случая (см. Шоке симплекс). С. может приписываться одна из двух ориентации, что индуцирует определенную ориентацию его (n-1)-мерных граней. В. А. Залгаллер.

simplex матем.

* * *

simplex

пра́вильный си́мплекс (в линейном программировании, планировании эксперимента) — regular simplex

м.

1) матем. simplesso m

2) связь simplex m

матем., техн.

си́мплекс

- вырожденный симплекс

- тривиальный симплекс

матем., техн.

си́мплекс

- вырожденный симплекс

- тривиальный симплекс

матем.; техн. си́мплекс