Перегиба точка

точка М плоской кривой, обладающая следующими свойствами: в точке М кривая имеет единственную касательную; в достаточно малой окрестности точки М кривая расположена внутри одной пары вертикальных углов, образуемых касательной (См. Касательная) и Нормалью. Примером П. т. является точка (0, 0) кривой у = x³.Пусть кривая задана уравнением y = f(x), где функция f(x) имеет непрерывную вторую производную f’'(x).Если точка с координатами [х₀, f(x₀)] является П. т., то f "(x) = 0 (отсюда следует, что в П. т. Кривизна линии равна нулю); обратное утверждение неверно. Например, последнее равенство выполняется для кривой у = x⁴ в точке (0, 0), хотя эта точка не является П. т. Полное исследование вопроса, будет ли данная точка кривой П. т., требует привлечения производных более высоких порядков (если они существуют) или других дополнительных рассмотрений. (см. рис.)

Рис. к ст. Перегиба точка.

ПЕРЕГИБА точка - точка М плоской кривой, в которой кривая имеет единственную касательную, а в достаточно малой окрестности этой точки кривая расположена внутри одной пары вертикальных углов, образуемых касательной и нормалью.

переги́ба то́чка

точка М плоской кривой, в которой кривая имеет единственную касательную, а в достаточно малой окрестности этой точки кривая расположена внутри одной пары вертикальных углов, образуемых касательной и нормалью.

* * *

ПЕРЕГИ́БА ТО́ЧКА, точка M плоской кривой, в которой кривая имеет единственную касательную, а в достаточно малой окрестности этой точки кривая расположена внутри одной пары вертикальных углов, образуемых касательной и нормалью.

точка Мплоской кривой, обладающая следующими свойствами: в точке Мкривая имеет единственную касательную, в достаточно малой окрестности точки Мкривая расположена внутри одной пары вертикальных углов, образуемых касательной и нормалью (см. рис.1).

Пусть функция f(х).определена в нек-рой окрестности точки х ₀ и непрерывна в этой точке. Точка х ₀ наз. точкой перегиба функции f(x), если она является одновременно концом интервала строгой выпуклости вверх и концом интервала строгой выпуклости вниз. В этом случае точка (x₀; f(x₀)).наз. точкой перегиба графика функции, т. е. график функции f(x).в точке ( х ₀; f(x₀))."перегибается" через касательную к нему в этой точке: при х<х ₀ касательная лежит под графиком f(x), а при х>х ₀ - над графиком f(х).(или наоборот) (см. рис. 2).

Необходимое условие существования П. т.: если функция f(x), дважды дифференцируемая в нек-рой окрестности точки х ₀, имеет в х ₀ П. т., то f "(x₀)=0. Достаточное условие существования П. т.: если функция f(x).в нек-рой окрестности точки х k раз непрерывно дифференцируема, причем kнечетно и , и f⁽ⁿ⁾ (х ₀)=0 при n=2,3,...,k-1, а , то функция f(x).имеет в x₀ П. т.

Лит.:[1] Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 2 изд., ч. 2, М., 1980; [2] Кудрявцев Л. Д., Курс математического анализа, т. 1, М., 1981.

точка М плоской кривой, в к-рой кривая имеет единств. касательную, а в достаточно малой окрестности этой точки (см. рис.) кривая расположена внутри одной пары вертикальных углов, образуемых касательной и нормалью.