Бесконечно удалённые элементы

в математике, элементы (называемые точками, прямыми, плоскостями), которыми пополняется евклидова плоскость или евклидово пространство для интерпретации некоторых разделов математики (проективная геометрия, теория функций комплексного переменного и др.).

Происхождение термина «Б. у. э.» легче всего проследить на следующем примере. Рассмотрим в евклидовой плоскости α ее параллельные прямые а и а'(рис., 1)и прямую b, пересекающую их соответственно в точках М и М'. Будем поворачивать прямую b вокруг точки М' в направлении, указанном на рис. стрелкой, до совпадения с прямой а'. Очевидно, по мере приближения прямой b к a'точка М пересечения прямых aи bбудет удаляться в бесконечность. Этот процесс достаточно отчетливо поясняет часто употребляемое выражение: «параллельные прямые пересекаются в бесконечно удалённой точке».

Указанные наглядные соображения лежат в основе интерпретации двумерной проективной геометрии на евклидовой плоскости α. Для этой цели плоскость α пополняется бесконечно удалёнными точками и одной бесконечно удалённой прямой следующим образом. Уславливаются рассматривать параллельные прямые как пересекающиеся в бесконечно удалённой точке. Тогда прямая а', параллельная прямой а (рис., 2), пересекается с ней в некоторой точке, но только эта точка не является обыкновенной, а представляет собой новый объект — бесконечно удалённую точку прямой а. Уславливаются, что все прямые, параллельные прямой а, имеют одну общую бесконечно удалённую точку А, а бесконечно удалённые точки непараллельных прямых считаются различными. Т. о., евклидова плоскость пополняется бесконечным числом бесконечно удалённых точек. Совокупность всех этих бесконечно удалённых точек плоскости се называют бесконечно удалённой прямой.

Плоскость α, пополненная т. о. бесконечно удалёнными точками и бесконечно удалённой прямой, представляет собой т. н. проективную плоскость (См. Проективная плоскость). Её свойства отличаются от свойств евклидовой плоскости (например, на проективной плоскости пересекаются любые две прямые).

Евклидову плоскость можно пополнять Б. у. э. и др. способами. Так, при изображении комплексных чисел на евклидовой плоскости, последняя пополняется одной бесконечно удалённой точкой, которая отвечает одному бесконечно большому комплексному числу.

Лит.: Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 4 изд., М., 1961.

Э. Г. Позняк.

Бесконечно удалённые элементы.

points at infinity

несобственные элементы,- элементы (точки, прямые, плоскости и т. д.), возникающие при расширении нек-рого аффинного пространства до компактного пространства. Б. у. э. являются одной из форм проявления в различных математич. теориях "актуальной" бесконечности. При этом неразрывная связь бесконечного и конечного проявляется в том, что Б. у. э. имеют смысл лишь постольку, поскольку они рассматриваются при нек-рой конкретной компактификации данного "конечного" пространства. Ниже описываются виды Б. у. э., возникающие при наиболее часто применяемых способах компактификации евклидовых конечномерных пространств.

1) Введением Б. у. э. (точек ) числовая прямая пополняется до компактной расширенной числовой прямой гомеоморфной отрезку. Другой способ компактификации состоит в погружении в действительную проективную прямую , гомеоморфную окружности (см. Проективное пространство);при этом пополняется одной единственной бесконечно удаленной точкой .

2) Добавлением одной единственной бесконечно удаленной точки конечная комплексная плоскость пополняется до компактной расширенной комплексной плоскости гомеоморфной комплексной проективной прямой или Римана сфере (единичной сфере в евклидовом пространстве ).

3) Добавлением одной единственной бесконечно удаленной точки n-мерное действительное числовое пространство пополняется до компактного расширенного числового пространства гомеоморфного сфере этот гомеоморфизм наглядно демонстрируется стереографической проекцией. Другой способ компактификации состоит в погружении в n-мерное действительное проективное пространство . При эти две компактификации не гомео-морфны.

Например, параллельным прямым в проективной плоскости соответствует одна и та же бесконечно удаленная точка, непараллельным прямым - различные бесконечно удаленные точки. Все бесконечно удаленные точки плоскости составляют бесконечно удаленную прямую. Аналогично, в проективном пространстве P₃(R) каждая плоскость дополнена бесконечно удаленной прямой. Все бесконечно удаленные точки и бесконечно удаленные прямые в составляют бесконечно удаленную плоскость. Вообще, в все Б. у. э. размерности составляют бесконечно удаленную -мерную гиперплоскость.

4) Компактификация комплексного n-ме. <рного числового пространства также возможна посредством погружения в комплексное n-мерное проективное пространство . В также все Б. у. э. размерности составляют комплексную мерную бесконечно удаленную гиперплоскость. Другой способ компактификации состоит в расширении до расширенного комплексного пространства представляющего собой топологич. произведение n пространств При пространства и не гомеоморфны. Бесконечно удаленными точками пространства являются те наборы в к-рых хотя бы одна координата . Множество всех бесконечно удаленных точек пространства естественно разбивается на пмножеств

причем каждое имеет размерность . Точка принадлежит всем . При рассмотрении действительных функций в применима также одноточечная компактификация , гомеоморфная или сфере .

Лит.:[1] Вурбаки Н., Общая топология. Топологические группы. Числа и связанные с ними группы и пространства, пер. с франц., М., 1969; [2] Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 5 изд., М., 1971;[3]Хартсхорн Р., Основы проективной геометрии, пер. с англ., М., 1970; [4] Фукс Б. А., Введение в теорию аналитических функций многих комплексных переменных, М., 1962; [5] Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ, 2 изд., ч. 1-2, М., 1976. Е. Д. Соломениев.