Случайная величина

Большая Советская энциклопедия

в теории вероятностей, величина, принимающая в зависимости от случая те или иные значения с определёнными вероятностями (См. Вероятность). Так, число очков, выпадающее на верхней грани игральной кости, представляет собой С. в., принимающую значения 1, 2, 3, 4, 5, 6 с вероятностью ¹/₆ каждое. Если С. в. Х принимает конечную или бесконечную последовательность различных значений, то её Распределениевероятностей (закон распределения) задаётся указанием этих значений:

x₁, x₂,..., x_n,...

и соответствующих им вероятностей:

p₁, p₂,..., p_n....

С. в. указанного типа называются дискретными. В других случаях распределение вероятностей задаётся указанием для каждого отрезка Δ = [а, b] вероятности Р_х(а, b)неравенства а≤х <> Особенно часто встречаются С. в., для которых существует такая функция p_x(x)(Плотность вероятности), что

С. в. этого типа называются непрерывными.

Ряд общих свойств распределения вероятностей С. в. достаточно полно описывается небольшим количеством числовых характеристик. Наиболее употребительными среди этих последних являются Математическое ожиданиеЕХ С. в. Хи её ДисперсияDX. Менее употребительны Медиана, Мода, квантили (См. Квантиль) и т. п. См. также Вероятностей теория.

Лит.: Гнеденко Б. В., Курс теории вероятностей, 5 изд., М., 1969; Крамер Г., Случайные величины и распределения вероятностей, пер. с англ., М., 1947.

Большой энциклопедический словарь

СЛУЧАЙНАЯ величина (в теории вероятностей) - величина, принимающая в зависимости от случайного исхода испытания те или иные значения с определенными вероятностями. Так, число очков, выпадающее на верхней грани игральной кости, представляет собой случайную величину, принимающую значения 1, 2, 3, 4, 5, 6 с вероятностью 1/6 каждое. Если случайная величина принимает конечную или бесконечную последовательность различных значений, то ее распределение вероятностей (закон распределения) задается указанием этих значений и соответствующих им вероятностей.

Большой англо-русский и русско-английский словарь

сущ. variate

Англо-русский словарь технических терминов

random quantity, chance variable, random variable, stochastic variable

Физическая энциклопедия

СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА

- одно из осн. понятий теории вероятностей;величина, значения к-рой зависят от случая, причём определены вероятностивсех её значений. Примерами являются число выпадений решки при 10-кратномслучайном бросании монеты или расстояние, на к-рое случайно движущаясяброуновская частица отошла от своего начального положения за время t.

В вероятностей теории для описания случайного явления принятаслед, схема: вводится подходящее «вероятностное» пространство (пространствоэлементарных событий)- множество всех «мыслимых» случаев - реализаций этого явления, и каждомуподмножеству этих случаев (событию) приписывается неотрицательное число Р(А) - вероятность события А. Так, в случае 10 независимых бросаний монеты вероятностноепространство состоит из 2¹⁰ последовательностей ,где каждое -герб или решка (исход i-гo бросания монеты), i =1,..., 10; вероятностькаждого события ,состоящего из N разл. последовательностей w_k Р(А)= N*2^-10. Вероятностное пространство, описывающееброуновское движение частицы, состоит из всех мыслимых траекторий этогодвижения; правило, по к-рому вводятся вероятности событий Р(А )изэтого пространства, довольно сложно (см., напр., [3]).

Тепепь можно более етрого определить С. в.как числовую ф-цию на вероятностном пространстве .В наиб. простом случае, когда принимаетлишь дискретное множество (конечное или счётное) значений х ₁,..., x_n набор вероятностей наз. распределением вероятностей значений С. в. (или, короче, распределением ).В случае, когда принимает значения из произвольного «непрерывного» числового множества(так, что вероятность каждого отд. значения ,как правило, равна нулю), распределение задаётсяс помощью т. <н. функции распределения

При этом в случае дискретного множества значений

Если рассматривается одновременно неск. С. в. (напр., число всех решек в последовательности и число двух последовательных выпадений решки, три координаты x(t),y(t), z(t )броуновской частицы в момент времени t), то вводятих совместную ф-цию распределения

С. в.наз. независимыми, когда эта ф-ция распадается на произведение вероятностейотд. С. в. Ср. значение (матем. ожидание)С. в., принимающей значения из дискретного множества чисел x₁,...,x_n, определяется ф-лой

В общем случае, когда С. в. принимает «непрерывное» множество значений, <полагают

где - т. <н. интеграл Стилтьеса (см. [1]). Дисперсия С. <в. определяется как

Осн. рабочий (неформальный) принцип теории вероятностей состоит в том, <что все сведения о «статистич. свойствах» С. в. можно целиком извлечь изеё ф-ции распределения (а в случае неск. С. в. - из их совместной ф-циираспределения), не обращаясь к деталям явной зависимости от случая
Лит.:1) Гнеденко Б. В., Курс теории вероятностей, 6 изд., М.,1988; 2) Ф е л л е р В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, <т. 1, пер. с англ., [3 изд.], М., 1984; 3) Г и х м а н И. И., СкороходА. В., Введение в теорию случайных процессов, 2 изд., М., 1977. Р. А. <Минлос.

Энциклопедический словарь

случа́йная величина́

(в теории вероятностей), величина, принимающая в зависимости от случайного исхода испытания те или иные значения с определенными вероятностями. Так, число очков, выпадающее на верхние грани игральной кости, представляет собой случайную величину, принимающую значения 1, 2, 3, 4, 5, 6 с вероятностью ¹/₆ каждое. Если случайная величина принимает конечную или бесконечную последовательность различных значений, то её распределение вероятностей (закон распределения) задаётся указанием этих значений и соответствующих им вероятностей.

* * *
СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА

СЛУЧА́ЙНАЯ ВЕЛИЧИНА́ (в теории вероятностей), величина, принимающая в зависимости от случайного исхода испытания те или иные значения с определенными вероятностями. Так, число очков, выпадающее на верхней грани игральной кости, представляет собой случайную величину, принимающую значения 1, 2, 3, 4, 5, 6 с вероятностью ¹/₆ каждое. Если случайная величина принимает конечную или бесконечную последовательность различных значений, то ее распределение вероятностей (закон распределения) задается указанием этих значений и соответствующих им вероятностей.

Начала современного естествознания

(в теории вероятностей) — величина, принимающая в зависимости от случайного исхода испытания те или иные значения с определенными вероятностями. Под испытанием понимается общее название для таких понятий, как наблюдение, опыт, измерение и т. п., предполагается, что испытание можно повторять неограниченное число раз.

Математическая энциклопедия

одно из основных понятий теории вероятностей. Роль понятий С. в. и ее математического ожидания впервые ясно оценил П. Л. Чебышев (1867, см. [1]) Понимание того факта, что понятие С. в. есть частный случай общего понятия функции, пришло значительно позднее. Полное и свободное от всяких излишних ограничений изложение основ теории вероятностей на основе теории меры дано А. Н. Колмогоровым (1933, см. [2]); оно сделало совершенно очевидным, что С. в. есть ни что иное, как измеримая функция на каком-либо вероятностном пространстве. Это обстоятельство весьма важно учитывать даже при первоначальном изложении теории вероятностей. В учебной литературе эта точка зрения последовательно проведена впервые У. Феллером (см. предисловие к [3], где изложение строится на понятии пространства элементарных событий и подчеркивается, что лишь в этом случае представление о С. в. становится содержательным).

Пусть - вероятностное пространство. Однозначную действительную функцию , определенную на , наз. случайной величиной, если при любом действительном хмножество входит в класс . Пусть X - какая-либо С. в. и - класс тех , для к-рых это будет -алгебра. Класс всех борелевских подмножеств числовой прямой R₁ во всяком случае содержится в . Меру Р _Х,определенную на равенством , наз. распределением вероятностей С. в. X. Эта мера однозначно определяется по распределения функции С. в. X, т. е. по функции

Значения вероятностей (т. е. значения меры, служащей продолжением распределения Р _Х на -алгебру ) по функции распределения FX однозначно, вообще говоря, не определяются (достаточным для такой однозначности является т. н. условие совершенности меры Р, см. Совершенная мера, а также [4]). Указанное обстоятельство надо постоянно иметь в виду (напр., при доказательстве того, что распределение С. в. однозначно определяется по его характеристической функции).

Если С. в. X принимает конечное или счетное число попарно различных значений х ₁, х₂,..., х _п,... с вероятностями то ее распределение вероятностей (называемое в этом случае дискретным) задается формулой

Распределение С. в. X наз. непрерывным, если существует функция (плотностьвероятности) такая, что

для всякого интервала В(или, это то же самое, для любого борелевского множества В). В обычной терминологии математич. анализа это означает абсолютную непрерывность Р _Х по отношению к мере Лебега на R¹. Ряд общих свойств распределения вероятностей С. в. достаточно полно описывается небольшим количеством числовых характеристик.

При этом медиана и квантили имеют то преимущество, что они определены для любых распределений, хотя наиболее употребительны математическое ожидание и дисперсия DXС. в. X. См. также Вероятностей теория.

Комплексная С. в. Xопределяется парой действительных С. в. Х ₁ и Х ₂ по формуле

Упорядоченный набор (Х _1,..., X_s )С. в. можно рассматривать как случайный вектор со значениями в R ^s.

Обобщением понятия С. в. на бесконечномерный случай служит понятие случайного элемента.

Следует отметить, что в нек-рых задачах математич. анализа и теории чисел целесообразно рассматривать участвующие в их формулировках функции как С. в., определенные на подходящих вероятностных пространствах (см., напр., [5]).
Лит.:[1] Чебышев II. Л., О средних величинах, в кн.: Полн. собр. соч., т. 2, М.- Л., 1947; [2] Колмогоров А. Н., Основные понятия теории вероятностей, 2 изд., М., 1974: [3] Феллер В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, пер. с англ., 2 изд., т. 1, М., 1967; [4] Гнеденко Б. В., Колмогоров А. Н., Предельные распределения для сумм независимых случайных величин, М.- Л., 1949: [5] Кац М., Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории чисел, пер. с англ., М., 1963.

Ю. В. Прохоров.

Большой энциклопедический политехнический словарь

величина, к-рая в зависимости от случая принимает те или иные значения с определ. вероятностями. С. в. полностью характеризуется соответствующим распределением вероятностей. На практике при изучении С. в. часто используют математическое ожидание, дисперсию.

Русско-английский политехнический словарь

random quantity, chance variable, random variable, stochastic variable

* * *

random quantity

Dictionnaire technique russo-italien

valore aleatorio

Русско-украинский политехнический словарь

випадко́ва величина́

Русско-украинский политехнический словарь

випадко́ва величина́

Естествознание. Энциклопедический словарь

(в теории вероятностей), величина, принимающая в зависимости от случайного исхода испытания те или иные значения с определ. вероятностями. Так, число очков, выпадающее на верх. грани игральной кости, представляет собой С. в., принимающую значения 1, 2, 3, 4, 5, 6 с вероятностью 1/6 каждое. Если С. в. принимает конечную или бесконечную последовательность разл. значений, то её распределение вероятностей (закон распределения) задаётся указанием этих значений и соответствующих им вероятностей.

Словарь социологической статистики

Мы говорим о случайной величине X, когда у нас есть множество и функция, задающая вероятности совокупности подмножество этого множества. Множество называется множеством

значений случайной величины X, элементы – событиями; вероятность события А

обозначается Pr(A)

или P(A).

Случайная величина, которая может принимать только отдельные значения,

называется дискретной. Случайная величина, которая может принимать любые

значения из конечного или бесконечного интервала, называется непрерывной.

Термин случайная величина используют

чаще, когда речь идет о теоретических аспектах статистики. Когда же говорят об

анализе реальных данных, прикладной статистике, чаще пользуются термином переменная, добавляя при необходимости эпитет

"случайная".

Социология: Энциклопедия

- термин теории вероятностей и математической статистики, используемый для обозначения численной функции, определенной для всех объектов из генеральной совокупности. Аналог переменной для объекта из выборки.

О.В. Терещенко