Математическое ожидание

математи́ческое ожида́ние

среднее значение, понятие теории вероятностей, важнейшая характеристика распределения значений случайной величины X. В простейшем случае, когда Х может принимать лишь конечное число значений x₁, х₂, ..., х_n с вероятностями p₁, р₂, ..., р_n. Математическим ожиданием величины Х называется выражение:.

* * *

МАТЕМАТИ́ЧЕСКОЕ ОЖИДА́НИЕ, среднее значение, понятие теории вероятностей, важнейшая характеристика распределения значений случайной величины Х. В простейшем случае, когда Х может принимать лишь конечное число значений x₁, x₂,..., x_n с вероятностями p₁, p₂,..., p_n, математическим ожиданием величины Х называется выражение:

ЕХ = x₁p₁ + x₂p₂ +... + x_np_n.

случайной величины есть ее числовая характеристика. Если случайная величина X имеет функцию распределения F(x), то ее М. о. будет:. Если распределение X дискретно, то М.о.: , где x₁, х₂,... — возможные значения дискретной случайной величины X; p₁, p₂,...— соответствующие им вероятности; n — пробегает некоторое множество индексов N. М. о. может не существовать, если ряд расходится. Напр., если х_п = п, n = 1,2,..., то а . Если X — непрерывная случайная величина с плотностью распределения f (х), то Основные свойства М. о.: 1) Еc = с, если с — постоянная величина; 2) Е(Х + У) = ЕХ + ХУ, где X, У — случайные величины; 3) Е(ХУ) = ЕХ ·ЕУ, если X, У — независимые случайные величины. На практике пользуются оценкой. М. о., называемой выборочным средним. Правильность определения оценки М. о. имеет большое значение, особенно при подсчете запасов.

среднее значение, случайной величины - числовая характеристика распределения вероятностей случайной величины. Самым общим образом М. о. случайной величины Х(w),определяется как интеграл Лебега по отношению к вероятностной мере в исходном вероятностном пространстве

М. о. может быть вычислено и как интеграл Лебега от хпо распределению вероятностей Р _Х величины X:

где - множество всех возможных значений X. М. о. функций от случайной величины Xвыражается через распределение Р _Х:напр., если X - случайная величина со значениями в и f(x) - однозначная бо-релевская функция х, то

Если F(x) - функция распределения X, то М. о. представимо интегралом Лебега - Стилтьеса (или Римана - Стилтьеса)

при этом интегрируемость Xв смысле (*) равносильна конечности интеграла

В частных случаях, если Xимеет дискретное распределение с возможными значениями х _k, k=1, 2,..., и соответствующими вероятностями то

если Xимеет абсолютно непрерывное распределение с плотностью вероятности р(х), то

при этом существование М. о. равносильно абсолютной сходимости соответствующего ряда или интеграла. Основные свойства М. о.:

а)

б) ЕС=С для любого действительного С:

в)

для любых действительных a и b;

г)

если сходится ряд

д) для выпуклых функции g(x).

е) любая ограниченная случайная величина имеет конечное М. о. Кроме того,

ж)

для взаимно независимых случайных величин X₁,..., Х _п.

Естественным образом можно определить понятие случайной величины с бесконечным М. о. Типичным примером служат времена возвращения в нек-рых случайных блужданиях (см., напр., Бернулли блуждание).

С помощью М. о. определяются многие числовые и функциональные характеристики распределения (как М. о. соответствующих функций от случайной величины), напр, производящая функция, характеристическая функция, моменты любого порядка, в частности дисперсия, ковариация.

М. о. есть характеристика расположения значений случайной величины (среднее значение ее распределения). В этом качестве М. о. служит нек-рым "типичным" параметром распределения и его роль аналогична роли статич. момента - координаты центра тяжести распределения массы - в механике. От прочих характеристик расположения, с помощью к-рых распределение описывается в общих чертах,- медиан, мод, М. о. отличается тем большим значением, к-рое оно и соответствующая ему характеристика рассеяния - дисперсия - имеют в предельных теоремах теории вероятностей. С наибольшей полнотой смысл М. о. раскрывается больших чисел законом (см. также Чебышева неравенство )и больших чисел усиленным законом. В частности, для последовательности взаимно независимых и одинаково распределенных случайных величин с конечными М. о.при для любого

и, более того,

с вероятностью единица.

Понятие М. о. как ожидаемого значения случайной величины впервые наметилось в 18 в. в связи с теорией азартных игр. Первоначально термин "М. о." был введен как ожидаемый выигрыш игрока, равный для возможных выигрышей и соответствующих вероятностей Особые заслуги в обобщении и использовании понятия М. о. в современном его значении имеет П. Л. Чебышев.

Лит.:[1] Колмогоров А. Н., Основные понятия теории вероятностей, 2 изд., М., 1974; [2] Феллер В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, пер. с англ., 2 изд., тт. 1-2, М., 1967; [3] Лоэв М., Теория вероятностей, пер. с англ., М., 1962; [4] Крамер Г., Математические методы статистики, пер. с англ., 2 изд., М., 1975. А. В. Прохоров.

среднее значение, - одна из важнейших хар-к распределения вероятностей случайной величины. Для случайной величины X, принимающей значения х₁, x_t,... с вероятностями р₁, p₂, .... М. о. определяется ф-лой EX = x₁p₁+x₂p₂ +.... М. о. аналогично понятию центра масс в механике.

expectancy, mathematical expectation, expectation, expectation value

* * *

mathematical expectation

speranza matematica

среднее значение, понятие теории вероятностей, важнейшая характеристика распределения значений случайной величины X. В простейшем случае, когда X может принимать лишь конечное число значений х₁, х₂,..., х_п с вероятностями р₁, р₂,..., р_п М. о. величины X наз. выражение:

EX = х₁р₁ + x₂p₂ +...+ х_пр_п.

- англ. expected value; нем. Erwartung mathematische. Стохастическая средняя или центр рассеивания случайной величины.

Для дискретной случайной величины Х, принимающей значения xi с вероятностями pi, математическое ожидание, если оно существует, задается

формулой, где суммирование ведется по всем

значениям xi, которые может принимать случайная величина Х.

Для непрерывной случайной величины Х, имеющей плотность f(x),

математическое ожидание, если оно существует, определяется формулой, где интеграл берется по всему интервалу (интервалам)

изменения Х.

-англ. expected value; нем. Erwartung mathematische. Стохастическая средняя или центр рассеивания случайной величины.

- среднее арифметическое переменной по генеральной совокупности. От репрезентативной выборки "ожидается", что вычисленное по ней среднее арифметическое x совпадет с М.О., с точностью до случайной ошибки выборки. Однако в большинстве случаев М.О. неизвестно, его оценивают по результатам выборочного исследования, используя для этого среднее арифметическое (м.о. не равно x) в качестве несмещенной, состоятельной и эффективной точечной оценки ( Статистическое оценивание), либо доверительный интервал.

О.В. Терещенко

Математическое ожидание - среднее значение случайной величины. Математическое ожидание является детерминированной величиной. Среднее арифметическое значение из реализаций случайной величины представляет собой оценку математического ожидания. Среднее арифметическое значение является случайным, но с увеличением количества реализаций оно стремится к математическому ожиданию

Источник: "АНАЛИЗ ПОВОЗРАСТНЫХ РИСКОВ СМЕРТНОСТИ НАСЕЛЕНИЯ. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ"

(утв. Минздравом России 22.01.2001 № 11-3/25-09)