Статистических решений теория

часть математической статистики (См. Математическая статистика) и игр теории (См. Игр теория), позволяющая единым образом охватить такие разнообразные задачи, как Статистическая проверка гипотез, построение статистических оценок (См. Статистические оценки) параметров и доверительных границ (См. Доверительные границы) для них, Планирование эксперимента и др. В основе С. р. т. лежит предположение, что распределение вероятностей F наблюдаемой случайной величины X_F принадлежит некоторому априори данному множеству ℑ. Основная задача С. р. т. состоит в отыскании наилучшего статистического решения или решающего правила (функции) d = d(x), позволяющего по результатам наблюдений х над Х судить об истинном (но неизвестном) распределении F. Для сравнения достоинств различных решающих правил вводят в рассмотрение функцию потерь W[F, d(x)], представляющую убыток от принятия решения d(x) (из заданного множества D), когда истинное распределение есть F.Естественно было бы считать решающее правило d* = d*(x) наилучшим, если средний риск r(F, d*)= M_FW[F, d(X)] (M_F — усреднение по распределению F)не превышает r(F, d) для любого F ∈ ℑ и любого решающего правила d = d(x). Однако такое «равномерно наилучшее» решающее правило в большинстве задач отсутствует, в связи с чем наибольший интерес в С. р. т. представляет отыскание т. н. минимаксных и бейесовских решений. Решение

Решение n на множестве ℑ), если для всех решающих правил d

,

где

между минимаксными и бейесовскими решениями существует тесная связь, заключающаяся в том, что в весьма широких предположениях о данных задачи минимаксное решение является бейесовским относительно «наименее благоприятного» априорного распределения π.

Лит.: Вальд А., Статистические решающие функции, в сборнике: Позиционные игры, М., 1967: Леман Э., Проверка статистических гипотез, пер. с англ., М., 1964.

А. Н. Ширяев.

общая теория проведения статистич. наблюдений, их обработки и использования. При более широком толковании термина С. р. т. - теория выбора оптимального недетерминированного поведения в условиях неопределенности.

Предметом математич. статистики являются обратные задачи теории вероятностей. Имеется нек-рое случайное явление Ф, описываемое качественно измеримым пространством всех мыслимых его исходом (аи количественно - распределением . вероятностей исходов. Статистику описание Ф известно только качественно, а относительно Ру него до опытов имеется лишь неполная информация типа где - известное ему семейство вероятностных законов. Проведя одно или несколько наблюдений Ф и обработав полученный материал, статистик должен сделать выводы о законе Ри выбрать наиболее выгодное поведение (в частности, он может решить, что собранного материала недостаточно и что надо продолжить серию наблюдений, прежде чем делать окончательные выводы), В классич. задачах математич. статистики число наблюдений (объем выборки) фиксировалось и отыскивались оптимальные оценки неизвестного закона Р. Современная общая концепция статистич. решения принадлежит А. Вальду (A. Wuld, см. [2])..Принимают, что каждый эксперимент имеет стоимость, за к-рую надо уплачивать, а за ошибочное решение статистик также несет потери - с него взыскивается соответствующий ошибке лштраф