Ковариантность и контравариантность

[от латинского co (cum) — совместно, сообща, contra — напротив, наоборот и vario — изменяюсь], понятия, играющие важную роль в линейной алгебре и тензорном исчислении. Пусть две системы n переменных x₁, x₂,..., x_n и y₁, y₂,..., y_n (чисел или векторов) подвергаются линейным однородным преобразованиям так, что каждому преобразованию х₁, x₂,..., x_n отвечает определённое преобразование y₁, y₂,..., y_n. Если преобразованию

(1)

переменных x_i соответствует преобразование

переменных y_i, то системы x_i и y_i называют ковариантными (одинаково преобразующимися), или когредиентными. Если преобразованию x_i, определённому формулой (1), соответствует преобразование переменных y_i, задаваемое формулой

то системы x_i и y_i называют контравариантными (противоположно преобразующимися), или контрагредиентными.

Обобщением этих понятий являются понятия ковариантных и контравариантных тензоров (см. Тензорное исчисление).

КОВАРИАНТНОСТЬ И КОНТРАВАРИАНТНОСТЬ

- понятия линейной алгебры и тензорного анализа, характеризующие способы преобразования компонент тензора при преобразованиях координат Ковариантные компоненты преобразуются как градиент, , а контравариантные - как дифференциал, (по повторяющимся индексам подразумевается суммирование). Происхождение терминов связано с тем, что при линейных преобразованиях базиса в евклидовом (и псевдоевклидовом) пространстве, , ковариантные компоненты преобразуются одинаково с базисом, а контравариантные - с помощью матрицы b, обратной к транспонированной матрице . Напр., для ковариантного вектора (ниж. индексы) , а для контравариантного (верх. индексы) Переход от ковариантных к контравариантным компонентам совершается с помощью метрич. тензора; напр., . Ко- и контравариантные компоненты совпадают лишь для декартова базиса в евклидовом пространстве. С. <В. <Молодцов