Вычет

1) в теории чисел. Число а называется вычетом числа b по модулю m, если разность а — b делится на m (a, b, m > 0 — целые числа). Например, число 24 есть В. числа 3 по модулю 7, так как 24—3 делится на 7. Совокупностьm целых чисел, каждое из которых является В. одного и только одного из чисел 0, 1,..., m — 1, называется полной системой В. по модулю m. Например, числа 1, 6, 11, 16, 21, 26 образуют полную систему В. по модулю 6. Число а называется вычетом степени n (n ≥ 2 — целое) по модулю m, если существует целое число х, такое, что разность xⁿ — a делится на m. В противном случае а называется невычетом степени n. Например, 2 и 3, соответственно, вычет и невычет второй степени (квадратичные) по модулю 7.

Лит.: Виноградов И. М., Основы теории чисел, 7 изд. М., 1965.

А. А. Карацуба.

2) В теории аналитических функций вычетом однозначной аналитической функции f (z) относительно её изолированной особой точки z₀ называется коэффициент при (z — z₀)^-1 в разложении этой функции в ряд по степеням разности (z — z₀) (Лорана ряд) в окрестности точки z₀. Обозначение: выч f (z) [или res f (z)].

z = z₀ z = z₀

Если γ — окружность достаточно малого радиуса с центром в точке z₀ (такая, что внутри неё функция f(z) не имеет особых точек, отличных от z₀), то

Важное значение вычетов вытекает из следующей теоремы. Пусть f(z) — однозначная аналитическая функция в области D, за исключением изолированных особых точек, Г — простая замкнутая спрямляемая кривая, принадлежащая области D вместе со своей внутренностью и не проходящая через особые точки функции f(z); если z₁,..., z_n — все особые точки f(z), лежащие внутри Г, то

Поскольку вычеты вычисляются сравнительно просто, эта теорема является эффективным средством для нахождения интегралов.

Лит. см. при статье Аналитические функции.

А. А. Гончар.

1. вы́чет;
2. вы́четы;
3. вы́чета;
4. вы́четов;
5. вы́чету;
6. вы́четам;
7. вы́чет;
8. вы́четы;
9. вы́четом;
10. вы́четами;
11. вы́чете;
12. вы́четах.

ВЫЧЕТ, вычетный, см. вычитывать.

ВЫ́ЧЕТ, -а, муж.

1. см. вычесть.

2. Вычтенная, удержанная сумма. Небольшие вычеты.

• За вычетом кого (чего), предл. с род. за исключением, кроме кого-чего-н. Явились все за вычетом заболевших.

-а, м.

1.

Действие по глаг. вычесть—вычитать (во 2 знач.).

Мне ответили, что я буду жить в квартире при самом институте и что за нее не будет производиться вычета из содержания. М. Павлов, Воспоминания металлурга.

2.

Сумма, удержанная, вычтенная из денег, предназначенных к выдаче.

за вычетом

за исключением.

ВЫ́ЧЕТ, вычета, муж.

1. Действие по гл. вычесть-вычитать во 2 знач. Произвести вычет из зарплаты.

2. Вычтенная, удержанная при вычете сумма денег. Вычет составляет двадцать рублей. Большой вычет.

м.

1.

процесс действия по гл. вычесть I

2.

Результат такого действия.

муж. deduction;
(из зарплаты и т. п.) мн. takeout он зарабатывает двести рублей в месяц за вычетом налогов ≈ he earns two hundred roubles a month less taxes за вычетомм. deduction;
налоговые ~ы tax deductions;
~ы из прибыли deductions from income;
за ~ом (рд.) exclusive (of), minus (smth.), allowing (for).

deduct, deduction, residue матем.

m.residue, remainder; за вычетом, except; other than; allowing for

вычет м Abzug m 1a* за вычетом десяти рублей abzüglich zehn Rubel, nach Abzug von zehn Rubeln

м

Abzug m (умл.)

за вычетом десяти рублей — abzüglich zehn Rubel, nach Abzug von zehn Rubeln

м.

1)déduction f, décompte m, défalcation f

2)(удержанная сумма) retenue f, prélèvement m

за вычетом чего-либо — déduction faite de..., avec déduction de...

большие вычеты — grandes déductions

м.

1)descuento m, deducción f

2)(удержанная сумма) retención f

•
•

за вы́четом — excluyendo, descontando, una vez deducido(s)

м.

1)мат. sottrazione f

2)(удержанная сумма) ritenuta f, trattenuta f, ritenzione f(удержание); detrazione f, scomputo, defalco, prelevamento; ritenuta(из зарплаты)

•

-за вычетом

补偿物, 扣除, 扣留

ВЫ́ЧЕТ -а; м.

1. к Вы́честь - вычита́ть (2 зн.).

2. Сумма, удержанная, вычтенная из денег, предназначенных к выдаче.

◊ За вы́четом. За исключением.

* * *

в теории чисел. Число а называется вычетом числа b по модулю m, если разность а-b делится на m (а, b, m > 0 — целые числа). В противном случае а называется невычетом. Например, число 24 есть вычет числа 3 (а число 25 — невычет) по модулю 7, так как 24-3 = 21 делится на 7 (а 25-3 = 22 не делится на 7). См. также Степенной вычет.

* * *

ВЫ́ЧЕТ в теории чисел. Число a называется вычетом числа b по модулю m, если разность a-b делится на m (a, b, m >0 — целые числа). В противном случае a называется невычетом. Напр., число 24 есть вычет числа 3 (а число 25 — невычет) по модулю 7, т. к. 24—3=21 делится на 7 (а 25—3=22 не делится на 7). См. также Степенной вычет(см. СТЕПЕННОЙ ВЫЧЕТ).

аналитической функции f(z) одного комплексного переменного в конечной изолированной особой точке аоднозначного характера - коэффициент при в разложении Лорана функции f(z) (см. Лорана ряд).в окрестности точки а, или равный ему интеграл

где - окружность достаточно малого радиуса с центром в точке а. В. обозначается (либо Выч. ).

Теория вычетов опирается на Коши интегральную теорему. Основной в теории В. является следующая теорема о вычетах. Пусть /(z) - однозначная аналитич. функция всюду в односвяз-ной области G, кроме изолированных особых точек; тогда интеграл от f(z) по любой простой замкнутой спрямляемой кривой g, лежащей в области G и не проходящей через особые точки функции f(z), вычисляется но формуле

где - особые точки функции , попавшие внутрь .

Вычет функции в бесконечно удаленной точке для функции , однозначной и аналитической в окрестности этой точки, определяется формулой

где - окружность достаточно большого радиуса, ориентированная по часовой стрелке, а - коэффициент при в разложении Лорана функции в окрестности этой точки.

Из теоремы о В. вытекает теорема о полной сумме вычетов: если f(z)- однозначная аналитич. функция в расширенной комплексной плоскости, кроме конечного числа особых точек, то сумма всех В. функции , включая В. в бесконечно удаленной точке, равна нулю.

Таким образом, вычисление интегралов от аналитич. функций по замкнутым кривым (контурных интегралов) сводится к вычислению В., к-рые находятся особенно просто в случае конечных полюсов. Пусть - полюс порядка тфункции , тогда

При m=1 (простой полюс) эта формула принимает вид

если регулярны в окрестности точки а, причем для точка аесть простой нуль, то

.

Применение теоремы о В. к логарифмич. производной приводит к важной теореме о логарифмическом вычете: если функция мероморфна в односвязной области G, а простая замкнутая кривая лежит в Gи не проходит через нули и полюсы функции , то

где N - число нулей, Р - число полюсов функции внутри с учетом их кратностей. Выражение в левой части этой формулы наз. логарифмическим вычетом функции относительно кривой (см. также Аргумента принцип).

В. применяются к вычислению нек-рых определенных интегралов от действительных функций, таких, напр., как

где -рациональная функция от непрерывная при - непрерывная функция при где - мнимая часть z, и аналитическая при кроме конечного числа особых точек. При этом подстановкой сводится к контурному интегралу

т. е. к вычислению В.;

если

если f (z) удовлетворяет условиям Жордана леммы.

В. находят многочисленные и важные применения в вопросах аналитич. родолжения, разложения мероморфных функций на простейшие дроби, суммирования степенных рядов, асимптотич. оценок и во многих др. вопросах анализа и его приложений (см.|1] - [4]).

Теория В. одного переменного разработана в основном О. Коши (A. Cauchy) в 1825 - 29. Ряд результатов, относящихся к обобщениям теории В. и ее приложениям, был получен Ш. Эрмитом (Ch. Hermite, теорема о сумме В. двоякопериодической функции), П. Лораном (P. Laurent), Ю. В. Сохоцким, Э. Линделёфом и др.

На римановой поверхности рассматриваются В. не аналитич. функций, а аналитических дифференциалов (см. [5]). Вычет аналитического дифференциала в окрестности его изолированной особой точки определяется как коэффициент при в разложении Лорана функции где - униформизирующий параметр в окрестности этой точки. При этом интеграл от dZ но любой замкнутой кривой на римановой поверхности выражается через В. дифференциала dZ и через его циклические периоды (интегралы от dZ по каноническим разрезам]. На рпмановы поверхности распространяется теорема о полной сумме В.: сумма всех В. мероморфного дифференциала на компактной римановой поверхности равна нулю.

Теория вычетов аналитических функций многих комплексных переменных базируется на интегральных теоремах Стокса и Коши - Пуанкаре, позволяющих заменять интеграл от замкнутой формы по одному циклу интегралом от этой формы по другому циклу, гомологичному первому. Начало теории В. функции многих переменных положил А. Пуанкаре [6], к-рый в 1887 впервые обобщил интегральную теорему Коши и понятие В. на функции двух комплексных переменных, показав, в частности, что интеграл от рациональной функции двух комплексных переменных по двумерному циклу, не проходящему через особенности подинтегральной функции, сводится к периодам абелевых интегралов, и применил двойные В. для обоснования двумерного аналога Лагранжа ряда.

Ж. Лере (J. Leray, см. [7], а также [4], [8]) разработал общую теорию В. на комплексном аналитич. многообразии X. Теория вычетов Лере, в частности, описывает метод вычисления интегралов по нек-рым циклам на Xот замкнутых внешних дифференциальных форм, имеющих особенности на аналитич. одмногообразиях. Вводится понятие вычет-формы, обобщающее понятие В. аналитич. функции одного переменного; получаемая при этом формула В. позволяет свести вычисление интеграла от формы w, имеющей на комплексном аналитич. одмногообразии Sполярную особенность 1-го порядка, по нек-рому циклу в к вычислению интеграла на 1 меньшей размерности от вычет-формы по циклу на S. Для вычисления интегралов от замкнутых форм, имеющих на Sпроизвольные особенности, важны понятие вычет-класса (см. Вычет-форма).и т е-орема Лере, согласно к-рой для любой замкнутой формы найдется когомологичная ей форма шД, имеющая на Sполярную особенность 1-го порядка. Для формы , имеющей особенность на нескольких подмногообразиях , используются кратные вычет-форма

вычет-класс

вычет-класс и формула В.

где - кратный оператор - цикл в

Имеется другой подход к теории В. функций многих комплексных переменных - метод выделения базы гомологии, опирающийся на идею Э. Мартинелли (Е. Martinelli) применения Александера двойственности (см. [9]). Пусть f (z), - голоморфная функция в области , а есть n-мерный цикл в G. Если - база n-мерных гомологии области Gи

- разложение апо этой базе, то обобщение теоремы о В. имеет вид

где

есть n-мерный аналог В. и наз. вычетом функции f (z) относительно базисного циклa s_v. В отличие от случая одной переменной, значительную трудность представляет отыскание как базы гомологии , так и коэффициентов разложения опо базе. В ряде случаев (напр., когда , где Р - многочлен) эти задачи позволяет решить двойственность Александера и Понтрягина. При этом коэффициенты находятся как коэффициенты зацепления цикла с циклами на множестве (компактифицированном определенным образом), двойственными циклам . Вычеты в нек-рых случаях находятся как соответствующие коэффициенты разложения Лорана функции .

Многомерные аналоги логарифмич. В. (см. [4], [12]) выражают число общих нулей (с учетом их кратностей) системы голоморфных функций в области через интегралы:

где - нек-рый цикл в В. функций многих переменных нашли применения при изучении фейнмановских интегралов, в комбинаторном анализе (см. [11]) и в теории неявных функций (см. [12]).

Лит.:[1]Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 1, М., 1967; [2] Евграфов М. А., Аналитические функции, 2 изд., М., 1968; [3] Привалов И. И., Введение в теорию функций комплексного переменного, 11 изд., М., 1967; [4] Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ, М., 1969; [5] Спрингер Д., Введение в теорию римановых поверхностей, пер. с англ., М., 1960; [6] Роinсаre Н., "Acta math.", 1887, t. 9, 321-380; [7] Лере Ж., Дифференциальное и интегральное исчисления на комплексном аналитическом многообразии, пер. с франц., М., 1961; [8] Фукс Б. А., Введение в теорию аналитических функций многих переменных, М., 1962; [9] Южаков А. П., "Изв. ВУЗов. Матем.", 1964, М 5 (42), с. 149-61; [10] Gritfits P. A., "Ann. Math.", 1969, v. 90, № 3,p. 460-95; [11] Егорычев Г. П., Южаков А. П., "Сиб. матем. ж.", 1974, т. 15, № 5, 1049-60; [12] Южаков А. П., Элементы теории многомерных вычетов, Красноярск, 1975. А. П. Южаков.

целого числа апо модулю т- любое целое число b, сравнимое с а по модулю т(см. Сравнение). Пусть r - остаток от деления ана целое тогда В. b числа апо модулю тимеет вид где q- некоторое целое число. В., соответствующий , равен остатку rи наз. наименьшим неотрицательным вычетом числа а. Наименьший по абсолютной величине В. наз. абсолютно наименьшим вычетом числа а. Если если наконец, если тчетное и r=m/2, то за r можно принять любое из чисел т/2 и - m/2. Система, состоящая из тцелых чисел, каждое из к-рых является В. одного и только одного из чисел 0, 1,..., m-1, наз. полной системой вычетов по модулю m. Чаще всего в качестве полной системы В. употребляются наименьшие неотрицательные В. или же абсолютно наименьшие В. Вычетом степени ппо модулю т, - целое, наз. всякое целое число а, взаимно простое с т, для к-рого сравнение

разрешимо. Если же данное сравнение не разрешимо, то аназ. невычетом степени ппо модулю т. В частности, при п=2 вычеты или невычеты наз. квадратичными, при n=3 - кубическими, при п=4 - биквадратичными (см. также Степенной вычет).

Лит.:[1] Виноградов И. М., Основы теории чисел, 8 изд., М., 1972. С. <А. <Степанов.

deduct, deduction, residue матем.

* * *

1. мат., вчт. residue

2. (удержанная сумма) deduction

квадрати́ческий вы́чет — quadratic residue

логарифми́ческий вы́чет — logarithmic residue

наиме́ньший положи́тельный вы́чет — least positive residue

но́рменный вы́чет — norm residue

вы́чет по мо́дулю — representative (e. g., in a residue class )

вы́чет сте́пени n по мо́дулю m — a power residue of m of the n^th order

степенно́й вы́чет — power residue

вы́чет числа́ a по мо́дулю m — residue of a number a to the modulus m

* * *

off-reckoning

м.

1) матем. resto m

2)(удержанная сумма) somma f detratta

- квадратический вычет

- вычет функции

матем.

ли́шок, -шку

- вычет-форма

- степенной вычет

матем.

ли́шок, -шку

- вычет-форма

- степенной вычет

в теории чисел. Число а наз. вычетом числа b по модулю т, если разность а-b делится на т (а, b, т > 0 - целые числа). В противном случае а наз. невычетом. Напр., число 24 есть В. числа 3 (а число 25 - невычет) по модулю 7, т.к. 24-3 = 21 делится на 7 (а 25-3 = 22 не делится на 7). См. также Степенной вычет.