Симметрические функции

Функция от n переменных х₁, x₂,..., х_nназ. симметрическою, если она не меняется при всевозможных перестановках этих переменных. Например: x₁²x₂+ x₁²x₃+ х₂²x₁+ x₂²x₃+ x₃²x₁+ x₃²x₂есть С. функция, так как она не меняется при всех перестановках букв х₁, x₂и x₃. Эта функция вполне определяется одним членом х₁²x₂и потому для краткости обозначается через Σx₁²x₂. Подобным же образом С. функции от x₁, x₂, x₃и х₄

Σx₁²x₂²= x₁²x₂²+ x₁²x₃²+ x₁²x₄²+ x₂²x₃²+ x₂²x₄²+ x₃²x₄².

С. функции называются элементарными, если каждая из переменных входит только в первой степени. В случае n переменных все элементарные С. функции суть

Σx₁= с₁, Σx₁x₂= c₂, Σx₁x₂x₃= c₃,..., х₁x₂...x_n= с_n.

Здесь введены буквы c₁, c₂,..., с_nдля обозначения этих функций.

Если x₁, x₂,..., x_nкорни уравнения f(x) = xⁿ+ p₁x^n—1+ p₂x^n—2+... + p_n—1x + P_n= 0, то

c₁= —p₁, c₂= p₂, c₃= —p₃,..., c_n=(—1)ⁿp_n.

Всякая целая С. функция от x₁, x₂,..., х_nесть целая функция от с₁, c₂,..., с_n.

Вычислить С. функцию значит выразить ее через элементарные С. функции. Для вычисления С. функции. S_m= Σx₁^mслужат следующие формулы Ньютона

s₁— с₁= 0

s₂— c₁s₁+ 2с₂=0

s₃— c₁s₂+ c₂s₁— 3c₃= 0

s_n— с₁s_n—1+ c₂s_n—2—... + (—1)ⁿncⁿ= 0

s_n+k— c₁s_n+k—1+ c₂s_n+k—2—.... . + (—1)ⁿc_ns_k= 0.

Для вычисления С. функции более сложного вида могут служить формулы

Σx₁^αx₂^α= 1/2[(s_α)²— s_2α]

Σx₁^αx₂^β= s_αs_β— s_α+β, α не = β

Σx₁^αx₂^αx₃^α= 1/6[s_α³— 3s_2αs_α+ 2s_3α]

Σx₁^αx₂^αx₃^β= 1/2(s_α²s_β— s_2αs_β— 2s_α+βs_α+ 2s_2α+β

Σx₁^βx₂^βx₃^γ= s_αs_βs_γ— s_α+βs_γ— s_α+γs_β— s_β+γs_α+ 2s_α+β+γ.

Здесь числа α, β и γ различны между собой. В курсах высшей алгебры Serret, Salmon, Weber и др. можно найти различные приемы для вычисления С. функций. При помощи С. функций решаются различные вопросы: рациональные функции от корня уравнения приводятся к целому виду; составляется уравнение, которому удовлетворяет данная функция от корней; исключаются переменные из системы уравнений и т. д.

Д. С.

функции нескольких переменных, не изменяющиеся при любых перестановках переменных, например

,

где суммы распространены на комбинации неравных между собой чисел k,l,...; они имеют первую степень относительно каждого из переменных. Согласно формулам Виета, x₁,x₂,..., x_n являются корнями уравнения:

xⁿ - f₁x^n-1 + f₂x^n-2 -···+ (- 1) ⁿf_n = 0.

Согласно основной теореме теории С. ф., любой с. м. представляется как многочлен от э. с. м., и притом только единственным образом: F(x₁,x₂.,...,x_n)= G(f₁,f₂,..., f_n); если все коэффициенты в F целые, то и коэффициенты в G целые. Иными словами, всякий с. м. от корней уравнения выражается целым рациональным образом через его коэффициенты; например,

.

Другим важным классом С. ф. являются степенные суммы

.

Они связаны с э. с. м. формулами Ньютона

s_i - f₁s_l-1 + f₂s_l-2 + ··· + (— 1) ^lf_l = 0,

и

s_n+l -f₁s_n+l-1 + ··· +(-1) ⁿ f_ns_l = 0,

,

позволяющими последовательно выражать f_k через s_rn и обратно.

Функция называется кососимметрической, или знакопеременной, если она не изменяется при чётных перестановках x₁,x₂,...,x_n и меняет знак при нечётных перестановках. Такие функции рационально выражаются через f₁, f₂,...,f_n и разностное произведение (см. Дискриминант) D = П_к<>(x_k— x_l), квадрат которого является С. ф. и потому рационально выражается через f₁, f₂,..., f_n.

Лит.: Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 10 изд., М., 1971.