Матрица

вогнутая часть формы, в которой пластическое тело формуется давлением (см. Медальерное дело). В частности медная пластинка с углубленным отпечатком, служащая для получения типографского шрифта; см. Словолитное дело. М. (в красильном деле) называется деревянная пластинка с вырезанным на ней рельефом какого-нибудь узора, служащая для отливки металлических набивных форм.

I

Ма́трица (нем. Matrize, от латинского matrix — матка, источник, начало)

в полиграфии,

1) сменный элемент литейной формы с углублённым (иногда фотографическим) изображением буквы или знака, используемый при отливке типографских литер или шрифтовых строк. М. — металлический брусок, на одной из граней которого выштамповано (путём вдавливания пуансона) или выгравировано очко буквы или знака. При заполнении жидким сплавом полости литейной формы и очка на М., прижатой к форме, образуются типографские литеры или шрифтовые строки с рельефной печатной поверхностью. В зависимости от типа машины, на которой производится отливка литер или строк, различают шрифтолитейные, строкоотливные и буквоотливные М.

Шрифтолитейная М. — стальной брусок прямоугольного сечения с углублённым изображением одной буквы или знака. Комплект шрифтолитейных М. позволяет отливать на шрифтолитейной машине все литеры одного шрифта, используемые для ручного набора.

В строкоотливной наборной машине (см. Линотип) из отдельных М., хранящихся в магазине, составляется матричная строка, устанавливаемая перед щелью литейной формы. После заполнения формы сплавом образуется цельнометаллическая шрифтовая строка.

В буквоотливной наборной машине (см. Монотип) комплект М. собран в матричной рамке. При отливке необходимая М. устанавливается над щелью отливной формы. В отличие от строкоотливной шрифтовая строка на буквоотливной наборной машине образуется из отдельных литер. Монотипная М. снабжена отверстием для нанизывания на стержень матричной рамки и коническим углублением для точной установки и прижима М. к литейной форме.

В фотонаборных машинах (См. Фотонаборная машина) используются М., в которых углублённые изображения знаков заменены фотографическими.

2) Углублённый оттиск с рельефной печатной формы на пластичном материале (картоне, пластмассе и т. д.), используемый для получения стереотипных копий печатной формы (см. Матрицирование, Стереотипия).

Г. С. Ершов.

Ма́трица

в математике, система элементов a_ij (чисел, функций или иных величин, над которыми можно производить алгебраические операции), расположенных в виде прямоугольной схемы. Если схема имеет m строк и n столбцов, то говорят о (m × n)-матрице. Обозначения:

или

Короче:

М., состоящая из одной строки, называется строкой, из одного столбца — столбцом. Если m = n, то М. называется квадратной, а число n — её порядком. Квадратная М., у которой отличны от нуля лишь диагональные элементы α_i = α_ii называется диагональной и обозначается diag(α₁, ..., α_n). Если все α_i = α, получают скалярную М. При α = 1 М. называется единичной и обозначается Е. М., все элементы которой равны нулю, называется нулевой.

Переставив в М. строки со столбцами, получают транспонированную М. A’, или A^T. Если элементы М. заменяют на комплексно-сопряжённые, получают комплексно-сопряжённую М. А. Если элементы транспонированной М. A’ заменяют на комплексно-сопряжённые, то получают М. А*, называется сопряжённой с А. Определитель квадратной М. А обозначается ∣A∣ или det A. Минором k-го порядка М. А называется определитель k-го порядка, составленный из элементов, находящихся на пересечении некоторых k строк и k столбцов М. A в их естественном расположении. Рангом М. А называется максимальный порядок отличных от нуля миноров матрицы.

Действия над матрицами. Произведением прямоугольной (m × n)-матрицы А на число ее называют М., элементы которой получены из элементов a_ij умножением на число α:

Сумма определяется для прямоугольных М. одинакового строения, и элементы суммы равны суммам соответствующих слагаемых, то есть

Умножение М. определяется только для прямоугольных М. таких, что число столбцов первого множителя равно числу строк второго. Произведением (m × р)-матрицы А на (р × n)-матрицу В будет (m × n)-матрица С с элементами

c_ij = a_i1b_1j + a_i2b_2j + ... + a_ipb_pj,

i = 1, ..., m, j = 1, ..., n.

Введённые три действия над М. обладают свойствами, близкими к свойствам действий над числами. Исключением является отсутствие коммутативного закона при умножении М.: равенство AB = BA может не выполняться. Матрицы А и В называются перестановочными, еслиAB = BA. Кроме того, произведение двух М. может равняться нулевой М., хотя каждый сомножитель отличен от нулевой. Справедливы правила:

Определитель произведения двух квадратных М. равен произведению определителей перемножаемых М.

Часто удобно разбивать М. на клетки, являющиеся М. меньших размеров, проводя разделительные линии через всю М. слева направо или сверху вниз. При умножении такой так называемой клеточной М. на число, нужно умножить все её клетки на то же число. При надлежащем согласовании разбиений действия сложения и умножения клеточных М. осуществляются так, как будто вместо клеток стоят числа.

Квадратная М. А = (a_ij) называется неособенной, или невырожденной, если её определитель не равен нулю; в противном случае М. называется особенной (вырожденной). М. А^-1 называется обратной к квадратной М. А, если AA^-1 = E, при этом А есть необходимое и достаточное условие существования обратной М., которая при этом оказывается единственной и перестановочной с исходной М. Верна формула: (AB)^-1 = B^-1A^-1.

Большой интерес приобретает обобщённая обратная (или псевдообратная) М. А⁺, определяемая как для любой прямоугольной М., так и для особенной квадратной. Эта М. определяется из четырёх равенств:

AA⁺A = A, А⁺АА⁺ = А, AA⁺ = (AA⁺)*, А⁺А = (А⁺А)*.

Квадратные матрицы. СтепеньюAⁿ М. А называется произведение n сомножителей, равных А. Выражение видаα₀Аⁿ + α₁A^n-1 + ... + α_nE, где α₀, α₁, ..., α_n — числа, называется значением полинома α₀tⁿ + α_it^n-1 + ... + α_nE от квадратной М. А. Правила действий над полиномами от данной М. А ничем не отличаются от правил действий над алгебраическими многочленами. Можно рассматривать и аналитические функции от М. В частности, если

есть сходящийся на всей комплексной плоскости ряд (например, А, его сумму естественно считать равнойf(A). Если же рядf(t) сходится в некотором конечном круге сходимости, то f(A) задаётся этим рядом для достаточно «малых» М.

Аналитические функции от М. играют большую роль в теории дифференциальных уравнений. Так, система обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, записанных в матричных обозначениях в виде

(здесь Х — столбец из неизвестных функций), имеет решениех = e^AtC, где С — столбец из произвольных постоянных.

Ненулевой столбец Х такой, чтоAX = λХ, называется собственным вектором М. А. В этом равенстве коэффициент λ может быть лишь одним из корней многочлена

который называется характеристическим многочленом М. А. Эти корни называются собственными значениями, или характеристическими числами, М. А. Коэффициенты характеристического многочлена выражаются через суммы некоторых миноров М. А. В частности, p₁ = a₁₁ + ... + a_1n = SpA (след A), f) есть характеристический многочлен М. А, то φ(A) = 0, так что М. А является «корнем» своего характеристического многочлена.

М. А называется подобной М. В, если существует такая неособенная М. С, что В = С^-1AС. Легко проверяется, что подобные М. имеют одинаковые характеристические многочлены.

Исчисление матриц. М. — полезный аппарат для исследования многих задач теоретической и прикладной математики. Одной из важнейших задач является задача нахождения решения систем линейных алгебраических уравнений. В матричных обозначениях такие системы записываются в виде

AX = F,

где A есть М. коэффициентов, Х — искомое решение, записанное в виде столбца из n элементов, F — столбец свободных членов из m элементов. Если А — квадратная неособенная М., то система имеет единственное решениеХ = A ^-1F. Если A прямоугольная (m ×n-матрица ранга k, то решение может не существовать или быть не единственным. В случае несуществования решения имеет смысл обобщённое решение, дающее минимум сумме квадратов невязок (см. Наименьших квадратов метод). При отсутствии единственности точного или обобщённого решения часто выбирают нормальное решение, то есть решение с наименьшей суммой квадратов компонент. Нормальное обобщённое решение находится по формуле Х = A + F. Наиболее важен случай переопределённой системы: k = n <>m. В этом случае обобщённое решение единственно. Приk = m <>n (недоопределённая система) точных решений бесконечно много и формула даёт нормальное решение.

Не менее важной для многочисленных приложений (в теории дифференциальных уравнений, в теории малых колебаний, в квантовой механике и т. д.) является задача решения полной или частичной проблемы собственных значений. Здесь ищутся все или часть собственных значений М. и принадлежащие им собственные или корневые (некоторые обобщения собственных) векторы. К этой задаче близко примыкает и обобщённая проблема собственных значений, в которой ищутся числа и векторы такие, чтоAX = λBX (А и В — заданные М.), и многие родственные проблемы.

С полной проблемой непосредственно связана также задача о приведении преобразованиями подобия квадратной М. к каноническjй форме. Такой формой будет diag (λ₁, ..., λ_n), если М. имеет n различных собственных значений λ₁, ..., λ_n, или форма Жордана [см. Нормальная (жорданова) форма матрицы (См. Нормальная форма матриц)] в общем случае.

Ввиду большой практической важности поставленных задач для их численного решения имеется большое число различных методов. Наряду с нахождением численного решения важно оценивать качество найденного решения и исследовать устойчивость решаемой задачи.

Матрицы специального типа. Существует большое число различных типов М. в зависимости от выполнения различных соотношений между элементами.

Некоторые типы естественно возникают в приложениях. Приведённая таблица даёт ряд важных типов квадратных М.

Следует отметить также ленточные М. — такие М., ненулевые элементы которых могут располагаться на главной диагонали и на диагоналях, соседних с главной, например, двухдиагональные и трёхдиагональные М. Не менее важны специальные типы М., употребляемых в качестве вспомогательных. Это элементарные М. — М., отличающиеся от единичной одним элементом; М. вращения и отражения.

Имеются унитарные аналоги М. вращения и отражения; правые (левые) треугольные М. — М., у которых равны нулю элементы под (над) главной диагональю; правые (левые) почти треугольные М. (М. типа Хессенберга) — М., у которых равны нулю элементы под (над) диагональю, соседней снизу (сверху) с главной.

Преобразование матриц. Численные методы решения систем линейных уравнений основываются обычно на преобразовании систем посредством цепочки левых умножений на подходящие вспомогательные М. с тем, чтобы перейти к легко решаемой системе. В качестве вспомогательных для вещественных М. употребляются элементарные М., М. вращения или М. отражения. Система с неособенной М. приводится либо к системе с треугольной М., либо с ортогональной. В теоретическом аспекте это равносильно представлению М. коэффициентов в виде произведения двух треугольных М. (при выполнении некоторых дополнительных условий) или в виде произведения треугольной на ортогональную (в том или другом порядке).

Для переопределённой системы умножением слева на цепочку М. вращения или отражения можно прийти к системе с треугольной М. порядка n, решение которой даёт обобщённое решение исходной системы.

Для решения проблемы собственных значений, раньше чем применять наиболее эффективные итерационные методы, целесообразно подобно преобразовать М. общего вида к М. типа Хессенберга или к трёх диагональной в случае симметрии. Этого можно добиться за счёт цепочки подобных преобразований элементарными М., М. вращения или М. отражения.

Историческая справка. Понятие М. было введено в работах У. Гамильтонаи А. Кэли в середине 19 века. Основы теории созданы К. Вейерштрассом и Ф. Фробениусом (2-я половина 19 века и начало 20 века). И. А. Лаппо-Данилевский разработал теорию аналитических функций от многих матричных аргументов и применил эту теорию к исследованию систем дифференциальных уравнений с аналитическими коэффициентами. Матричные обозначения получили распространение в современной математике и её приложениях. Исчисление М. развивается в направлении построения эффективных алгоритмов для численного решения основных задач.

Лит.: Смирнов В. И., Курс высшей математики, 9 изд., т. 3, ч. 1, М., 1967; Мальцев А. И., Основы линейной алгебры, 3 изд., М., 1970; Гантмахер Ф. Р., Теория матриц, 3 изд., М., 1967; Уилкинсон Дж. Х., Алгебраическая проблема собственных значений, перевод с английского, М., 1970; Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н., Вычислительные методы линейной алгебры, 2 изд., М. — Л., 1963; Воеводин В. В., Численные методы алгебры. Теория и алгорифмы, М., 1966; Лаппо-Данилевский И. А., Применение функций от матриц к теории линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, М., 1957; Фрезер Р. А., Дункан В., Коллар А., Теория матриц и её приложения к дифференциальным уравнениям и динамике, перевод с английского, М., 1950; Вазов В., Форсайт Дж., Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных, перевод с английского, М., 1963.

В. Н. Фаддеева.

1. ма́трица;
2. ма́трицы;
3. ма́трицы;
4. ма́триц;
5. ма́трице;
6. ма́трицам;
7. ма́трицу;
8. ма́трицы;
9. ма́трицей;
10. ма́трицею;
11. ма́трицами;
12. ма́трице;
13. ма́трицах.

жен. изложница, льяло, льяк, гнездо, форма для отливки печатальных букв. Матрицовый или матричный, относящийся к матрице.

МА́ТРИЦА, -ы, жен. (спец.).

1. Зеркальная копия печатной формы, служащая для отливки стереотипов. Картонная, пластмассовая, свинцовая м.

2. Таблица каких-н. математических элементов, состоящая из строк и столбцов.

3. В нек-рых инструментах: деталь для обработки металла давлением.

| прил. матричный, -ая, -ое. М. пресс. М. цех.

-ы, ж.

1. тех.

Углубленная металлическая форма, применяемая при обработке металла давлением, при отливке типографских литер и пр.

Линотипная матрица.

2. типогр.

Обратная (углубленная) копия, снимаемая с набора на картоне, свинце, пластмассе и т. п. для отливки стереотипов, с которых производится печатание.

3. мат.

Система каких-л. математических величин, расположенных в виде прямоугольной схемы.

[От лат. matrix, matricis — матка]

МА́ТРИЦА, матрицы, жен. (нем. Matrize) (тех.).

1. Пластинка с выдавленными, вырезанными обратными знаками или изображениями чего-нибудь, служащая формой для отливки или штамповки. С матриц отливают типографские литеры. Матрицы употребляются при чеканке монеты.

2. Бумажная форма, являющаяся обратной копией набора и служащая для отливки стереотипа (тип.). Печатать что-нибудь с матриц.

I

Углубленная металлическая форма, применяемая при отливке металла под давлением, при отливке типографских литер и т.п. (в технике).

II

Обратная - углубленная - копия, снимаемая с набора на картоне, свинце, пластмассе и т.п., для отливки стереотипов, с которых производится печатание (в полиграфии).

III

1.

Система каких-либо математических величин, расположенных в виде прямоугольной схемы (в математике).

2.

Общая схема, основа чего-либо.

МАТРИЦА - в металлообработке - инструмент со сквозным отверстием (реже углублением), используемый при штамповке, прессовании и волочении для выдавливания, свертки или протягивания заготовки.

МАТРИЦА - в математике - прямоугольная таблица каких-либо элементов aik (чисел, математических выражений), состоящая из m строк и n столбцов:Если m=n, то матрица называется квадратной. Над матрицей можно производить действия по правилам матричной алгебры. Матрицы используются во многих разделах математики и физики, в частности при исследовании систем m линейных уравнений с n неизвестными.

МАТРИЦА (нем. Matrize - от лат. matrix - матка), в полиграфии -1) металлическая пластинка с углубленным прямым изображением буквы или знака, изготовленная штамповкой пуансоном или гравированием. Служит формой для отливки литер в шрифтолитейном и наборном производствах.2) Лист пластичного материала с углубленным изображением текста и рисунков, полученный прессованием с оригинальной формы высокой печати. Применяют при изготовлении стереотипов; хранится вместо набора (для целей переиздания, децентрализации печатания многотиражных изданий).3) Рельефная копия штампа (контр-штамп), используемая при конгревном тиснении.

Matrix — Матрица.

Непрерывная или основная фаза, в которой размещены другие составляющие части.

МАТРИЦА (немецкое Matrize, от латинского matrix - матка), 1) в металлообработке - инструмент со сквозным отверстием или углублением, используемый, например, при штамповке, прессовании. 2) В полиграфии - углубленная форма (обычно из латуни, бронзы) для отливки литер, механизированного набора или изготовления стереотипов.

МАТРИЦА (от латинского matrix - матка), прямоугольная таблица, состоящая из m строк и n столбцов элементов (чисел, математических выражений). Над матрицей можно производить действия: умножение на число, сложение, перемножение.

ма́три́ца Через нов.-в.-н. Мatrize из франц. matrice от лат. mātrīх "матка".

жен.
1) полигр.;
мат. matrix
2) тех. stencil;
die, mouldматриц|а - ж. matrix ( pl. -ices, -ixes);
~ировать несов. полигр. make* matrix(-moulds).

two-dimensional array, array, mother blank, die block, female core, die,(клепальной машины) dolly, master form, matrix, master полигр., mat, female mold, mold, nib, plane,(фонограммы) stamper, swage, table

f.matrix, array; матрица д. я двух переменных, two-variable matrix; матрица из магнитных сердечников, array of cores

матрица ж 1. полигр. Matrize f c, Mater f c 2. мат. Matrix f, pl Matrizen

ж

1)полигр. Matrize f, Mater f

2)мат. Matrix f, pl Matrizen

ж. полигр.

matrice f; flan m(картонная)

ж. тех., полигр.

matriz f

ж. спец.

matrice

МАТРИЦА

- прямоугольная таблица

состоящая из т строк и n столбцов; её паз. M. размера Элементами(первый индекс указывает номер строки, второй - номер столбца) M. могут быть числа, ф-ции пли др. величины, над к-рыми можно производить алгебраич. операции. M. также обозначают как Наряду с конечными M. рассматривают M. с бесконечным числом строк или столбцов.

M. размера наз. столбцом, а размера- строкой. M., все элементы к-рой равны нулю, наз. нулевой M. и обозначается О. M. размера наз. квадратной M. порядка п. У квадратной M. число строк равно числу столбцов. Квадратная M. наз. треугольной, если а _ij =0 при , "строго треугольной, если при , диагональной, если при . Диагональная M. обычно обозначается diag . Если все получают скалярную M. При M. наз. единичной и обозначается I или E. В квадратной M. диагональ, проведённая из верхнего левого угла в нижний правый угол, наз. гл. диагональю.

Квадратная M. наз. неособенной (невырожденной), если она имеет единств, обратную M., определяемую условиями . В противном случае А- особенная (вырожденная) M. Квадратная M. является неособенной в том и только в том случае, когда её определитель,del А, отличен от нуля. Понятие M. впервые появилось в сер. 19 в. в работах У. P. Гамильтона (W. R. Hamilton) и А. Кэли (A. Cayley).

Действия над матрицами. Суммой или разностью двух и наз. M.

, где Произведением M ". на число a наз. M. с элементами ффaa_ij.

Перемножать две M. можно только тогда, когда число столбцов в 1-м сомножителе яавно числу строк во 2-м. Если M., aM., то M.

С с элементами наз. произведением M.

Ap Вp обозначается: . Если существуют оба произведения AB и BA (это, в частности, будет всегда, если А и В- квадратные M. одного и того же порядка), то, вообще говоря, В результате перемножения двух M. можно получить нулевую M., хотя ни одна из перемножаемых M. не является нулевой. Невырожденные M. порядка образуют группу относительно умножения, она наз. полной линейной группой

Определённые выше операции обладают след, свойствами:

Транспонированием M. размера наз. замена её строк столбцами (1-я строка заменяется на 1-й столбец, 2-я строка на 2-й столбец и т. д.), т. е. это переход к M. размера такой, что Комплексным сопряжением M.наз. переход к M.

где означает комплексное сопряжение.

Эрмитовым сопряжением M. размера наз. переход к M.

размера M.наз. эрмитово сопряжённой с M. А. Имеют место след, соотношения:

Квадратные матрицы. Квадратная M. А наз.: симметричной, если ; антисимметричной, если ; эрмитовой (самосопряжённой), если ; антиэрмитовой, если ; ортогональной, если ; унитарной, если I; унимодулярной, если . Для каждой M. А с комплексными элементами

есть симметричная, антисимметричная,- эрмитова и H₂ - антиэрмитова M.- разложение (единств.) данной M. в сумму симметричной и антисимметричной M.- разложение

(единств.) данной M. в сумму эрмитовой и антиэрмитовой M.

Существует т. н. полярное разложение

M. А в произведение эрмитовой M.и унитарной однозначно определяется условием , a M. U однозначно определяется в том и только в том случае, если А - невырожденная M. (это разложение аналогично представлению комплексного числа в ппде

M. А, для к-рой выполняется условие наз. нормальной M. M. А нормальна тогда и только тогда, когда её можно преобразовать в диагональную M. D унитарным преобразованием, т. е.

M. А наз. подобной M.если существует такая неособенная M. T (преобразующая M.), что ; А, я T должны быть M. одного и того же порядка. Переход от M. А к M.наз. преобразованием подобия. При каждом преобразовании подобия сохраняются инварианты матрицы. Две подобные M. имеют один и тот же ранг, один и тот же след, один и тот же определитель. Все подобные M. образуют класс подобных матриц, и важной задачей теории M. является выбор M. простейшего вида в этом классе - приведение M. к канонич. форме. Решение этой задачи тесно связано с нахождением собств. значений M. (см. ниже).

Любая M. подобна треугольной M., диагональные элементы к-рой - собств. значения M. Матрицу А можно преобразованием подобия с унитарной преобразующей матрицей T привести к диагональному виду в том и только в том случае, если А подобна нек-рой нормальной M. В этом случае диагональные элементы M.являются собств. значениями M. Эрмитовы и унитарные M. (а потому действительные и симметричные пли ортогональные M.) представляют собой частные случаи нормальных M., поэтому все они приводятся к диагональному виду.

Теория M. тесно связана с теорией линейных преобразований векторных пространств (см. Линейный оператор).

Собственными значениями (собств. числами, характеристич. числами) M. наз. корни характеристического уравнения матрицы . M. удовлетворяет своему характеристич. ур-нию. Если - собств. значение M. А порядка п, то существует ненулевой столбец (вектор-столбец) k такой, что . Этот вектор-столбец наз. собственным (характеристическим) вектором M. А, соответствующим собств. значению Спектром (собств. значений) M. А наз. множество всех её собств. значений. Собств. значения M. А обладают след, свойствами:

где Т rA = след M. А. Следовательно, если хотя бы одно собств. значение равно нулю, то M. является особенной (вырожденной).

Если M. А порядка n имеет n разл. собств. значений , то существует n независимых собств. векторов , соответствующих этим собств. значениям. Если А- действительная и симметричная M. и если

- вектор-строка, получающаяся транспонированием вектора-столбца . Если M. А - невырожденная, то собств. значениями M. являются а собств. векторами по-прежнему векторы Если- наиб. модуль h собств.

значений M. А порядка n, то при где c- произвольный вектор-столбец. Для действительной ортогональной M. Адля всех I. Если А- симметричная M. и не все собств. значения различны, всё равно можно найти h взаимно ортогональных собств. векторов. Если каждый такой вектор kj нормирован, т. е. умножен на ортогональна и Вообще,

если M. А порядка h имеет h разл. собств. значений к-рым соответствуют независимые собств. векторы , то преобразует

А в диагональную M.: . Если не все h собств. значений различны, то такое преобразование может оказаться невозможным.

Если H- эрмитова M. порядка п, то её собств. значения всегда действительны и всегда можно найти п собств. векторов таких, что

Унитарная M.преобразует Н к диагональному виду.

С каждой M. А порядка n связана квадратичная форма от n комплексных переменных образующих столбец х:

Эрмитова форма где H - эрмитова M., принимает только действит. значения; она наз. положительно определенной или неотрицательной, если или для каждого набора .

Аналитич. функцию матрицы A порядка n определяют при помощи ряда по степеням А.

Каждый такой ряд можно свести к многочлену га-й степени от А, т. к. M. А удовлетворяет своему характе-ристич. ур-нию. M. А наз. нильпотентной, если при нек-ром целом положительном k.

M. А тогда и только тогда нильпотентна, когда все её собств. значения равны нулю.

M., имеющую более чем одну строку и столбец, можно разбить на меньшие прямоугольные подматрицы (блоки), проведя между столбцами и (или) строками прямые линии. Две соответствующим образом разбитые M. А и В размера можно перемножить, пользуясь входящими в них подматрицами как элементами в обычной ф-лс произведения M.; получающиеся таким путём элементы произведения являются подматрицами M. AB размера M., разбитую на блоки, наз. клеточной (блочной) M. Прямым (внешним, кронекеровским) произведением М. А к В наз. блочная M. С= A х В, блоки к-рой имеют вид <В, С и D существуют произведения AC и BD, то

. Если M. А имеет вид

т. е. является диагональной M. с диагональными элементами в виде квадратных подматриц то такая M. наз. клеточно-диагональной. В этом случае ... Клеточно-диагональной M. является нормальная (жорданова) форма, к к-рой можно преобразованием подобия привести любую M. При этом в каждой диагональной клетке вдоль гл. диагонали повторяется одно и то же число, а параллельный ряд над гл. диагональю состоит из 1. Все остальные элементы в диагональных клетках равны нулю:

Важную роль играют M. в квантовой механике, где динамнч. наблюдаемым величинам сопоставляют эрмитовы M., собств. значения к-рых соответствуют экспериментально наблюдаемым значениям этих фпз. величин. При описании квантовомеханич. явлений, в к-рых участвуют частицы, обладающие спином, используют Паули матрицы и Дирака, матрицы. В квантовой теории поля, где существенны разл. группы симметрии, рассматривают матричные представления групп.

MH. задачи по обращению M., нахождению их собств. значений и т. д., возникающие в физ. исследованиях, решают с помощью ЭВМ.

Лит.: Мальцев А. И., Основы линейной алгебры, 4 изд., M., 1975; Гантмахер F. Р., Теория матриц, 4 изд., M., 1988; Мишина А. П., Проскуряков И. В., Высшая алгебра, 2 изд., M., 1965; Боревич 3. П., Определители и матрицы, 3 изд., M., 1988; Беллман Р., Введение в теорию матриц, пер. с англ., 2 изд., M., 1976; Маркус M., Mини X., Обзор по теории матриц и матричных неравенств, пер. с англ., M., 1972. С. И. Азаков.