Трансцендентные функции

Говорят, что у есть Т. функция от x, если зависимость между у и x не может быть выражена уравнением вида

Ax^αy^ß+ A₁x^α1y^ß1+... + А_nх^αny^ßn= 0, где А, А₁, А₂,... A_nданные числа, а показатели α, ß, а₁, ß₁, α₂, ß₂... α_n, ß_nцелые положительные числа или некоторые из них равны нулю. К Т. функциям принадлежат функции логарифмические, тригонометрические, круговые, эллиптические и др.

Д. С.

аналитические функции, не являющиеся алгебраическими (см. Алгебраические функции (См. Алгебраическая функция)). Простейшими примерами Т. ф. служат Показательная функция, Тригонометрические функции, Логарифмическая функция. Если Т. ф. рассматривать как функции комплексного переменного, то характерным признаком их является наличие хотя бы одной особенности, отличной от полюсов и точек ветвления конечного порядка (см. Особая точка). Так, например, e^z; cosz и sinz имеют существенно особую точку z = ∞, lnz — точки ветвления бесконечного порядка при z = 0 и z = ∞. Основания общей теории Т. ф. даёт теория аналитических функций (См. Аналитические функции). Специальные Т. ф. изучаются в соответствующих дисциплинах (теория гипергеометрических, эллиптических, бесселевых функций и т.д.).

Лит.: Уиттекер Э.-Т., Ватсон Дж. Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 1—2, М., 1969.