Многочлен

см. Полином.

полином, выражение вида

Ax^ky^l…..w^m + Bxⁿy^p…..w^q + …… + Dx^rt^s…..w^t,

где х, у, ..., w — переменные, а А, В, ..., D (коэффициенты М.) и k, l, ..., t (показатели степеней — целые неотрицательные числа) — постоянные. Отдельные слагаемые видаАх^ky^l…..w^mназываются членами М. Порядок членов, а также порядок множителей в каждом члене можно менять произвольно; точно так же можно вводить или опускать члены с нулевыми коэффициентами, а в каждом отдельном члене — степени с нулевыми показателями. В случае, когда М. имеет один, два или три члена, его называют одночленом, двучленом или трёхчленом. Два члена М. называются подобными, если в них показатели степеней при одинаковых переменных попарно равны. Подобные между собой члены

А'х^ky^l…..w^m, B'x^ky^l…..w^m, ….., D'x^ky^l…..w^m

можно заменить одним (приведение подобных членов). Два М. называются равными, если после приведения подобных все члены с отличными от нуля коэффициентами оказываются попарно одинаковыми (но, может быть, записанными в разном порядке), а также если все коэффициенты этих М. оказываются равными нулю. В последнем случае М. называется тождественным нулём и обозначают знаком 0. М. от одного переменного х можно всегда записать в виде

P(x) = a₀xⁿ+ a₁x^n-1 + ... + a_n-1x + a_n,

где a₀, a₁,..., a_n — коэффициенты.

Сумму показателей степеней какого-либо члена М. называют степенью этого члена. Если М. не тождественный нуль, то среди членов с отличными от нуля коэффициентами (предполагается, что все подобные члены приведены) имеются один или несколько наибольшей степени; эту наибольшую степень называют степенью М. Тождественный нуль не имеет степени. М. нулевой степени сводится к одному члену А (постоянному, не равному нулю). Примеры: xyz + х + у + z есть многочлен третьей степени, 2x + у — z + 1 есть многочлен первой степени (линейный М.), 5x²— 2x² — 3х² не имеет степени, т. к. это тождественный нуль. М., все члены которого одинаковой степени, называется однородным М., или формой (См. Форма); формы первой, второй и третьей степеней называются линейными, квадратичными, кубичными, а по числу переменных (два, три) двоичными (бинарными), тройничными (тернарными) (например, x² + y² + z² — ху — yz — xz есть тройничная квадратичная форма).

Относительно коэффициентов М. предполагается, что они принадлежат определённому полю (см. Поле алгебраическое), например полю рациональных, действительных или комплексных чисел. Выполняя над М. действия сложения, вычитания и умножения на основании переместительного, сочетательного и распределительного законов, получают снова М. Таким образом, совокупность всех М. с коэффициентами из данного поля образует кольцо (см. Кольцо алгебраическое) — кольцо многочленов над данным полем; это кольцо не имеет делителей нуля, т. е. произведение М., не равных 0, не может дать 0.

Если для двух многочленов Р(х) и Q(x) можно найти такой многочлен R(x), что Р = QR, то говорят, что Р делится на Q; Q называется делителем, a R — частным. Если Р не делится на Q, то можно найти такие многочлены Р(х) и S(x), что Р = QR + S, причём степень S(x) меньше степени Q(x).

Посредством повторного применения этой операции можно находить наибольший общий делитель Р и Q, т. е. такой делитель Р и Q, который делится на любой общий делитель этих многочленов (см. Евклида алгоритм). М., который можно представить в виде произведения М. низших степеней с коэффициентами из данного поля, называется приводимым (в данном поле), в противном случае — неприводимым. Неприводимые М. играют в кольце М. роль, сходную с простыми числами в теории целых чисел. Так, например, верна теорема: если произведение PQ делится на неприводимый многочлен R, a P на R не делится, то тогда Q должно делиться на R. Каждый М. степени, большей нуля, разлагается в данном поле в произведение неприводимых множителей единственным образом (с точностью до множителей нулевой степени). Например, многочлен x⁴ + 1, неприводимый в поле рациональных чисел, разлагается на два множителя

в поле действительных чисел и на четыре множителя х разлагается в поле действительных чисел на множители первой и второй степени, в поле комплексных чисел — на множители первой степени (основная теорема алгебры). Для двух и большего числа переменных этого уже нельзя утверждать; например, многочлен x³ + yz² + z³ неприводим в любом числовом поле.

Если переменным х, у, ..., w придать определённые числовые значения (например, действительные или комплексные), то М. также получит определённое числовое значение. Отсюда следует, что каждый М. можно рассматривать как функцию соответствующих переменных. Эта функция непрерывна и дифференцируема при любых значениях переменных; её можно характеризовать как целую рациональную функцию, т. е. функцию, получающуюся из переменных и некоторых постоянных (коэффициентов) посредством выполненных в определённом порядке действий сложения, вычитания и умножения. Целые рациональные функции входят в более широкий класс рациональных функций (См. Рациональная функция), где к перечисленным действиям присоединяется деление: любую рациональную функцию можно представить в виде частного двух М. Наконец, рациональные функции содержатся в классе алгебраических функций (См. Алгебраическая функция).

К числу важнейших свойств М. относится то, что любую непрерывную функцию можно с произвольно малой ошибкой заменить М. (теорема Вейерштрасса; точная её формулировка требует, чтобы данная функция была непрерывна на каком-либо ограниченном, замкнутом множестве точек, например на отрезке числовой оси). Этот факт, доказываемый средствами математического анализа, даёт возможность приближённо выражать М. любую связь между величинами, изучаемую в каком-либо вопросе естествознания и техники. Способы такого выражения исследуются в специальных разделах математики (см. Приближение и интерполирование функций, Наименьших квадратов метод).

В элементарной алгебре многочленом иногда называются такие алгебраические выражения, в которых последним действием является сложение или вычитание, например

Лит. : Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 9 изд., М., 1968; Мишина А. П., Проскуряков И. В., Высшая алгебра, 2 изд., М., 1965.

А. И. Маркушевич.

1. многочле́н;
2. многочле́ны;
3. многочле́на;
4. многочле́нов;
5. многочле́ну;
6. многочле́нам;
7. многочле́н;
8. многочле́ны;
9. многочле́ном;
10. многочле́нами;
11. многочле́не;
12. многочле́нах.

МНОГОЧЛЕ́Н, -а, муж. Алгебраическое выражение, представляющее сумму или разность нескольких одночленов.

| прил. многочленный, -ая, -ое.

-а, м. мат.

Алгебраическое выражение, представляющее сумму или

разность нескольких одночленов; полином.

МНОГОЧЛЕ́Н, многочленна, муж. (мат.). Алгебраическое выражение, представляющее сумму или разность нескольких одночленов.

м.

Алгебраическое выражение, представляющее собою сумму нескольких одночленов.

МНОГОЧЛЕН (полином) - алгебраическая сумма конечного числа одночленов, т. е. выражений вида Axkyl ...wm где x, y, ..., w -переменные, А (коэффициент многочлена) и k, l, ..., m (показатели степеней - целые неотрицат. числа) - постоянные. Многочлен от одного переменного x всегда можно записать в виде аохn + а1хn-1 + ... + аn-1х + аn.

МНОГОЧЛЕН, сумма конечного числа одночленов.

муж.;
мат. multinomial, polynomialм. мат. multinomial, polynomial.

multinomial, polynomial

m.polynomial

многочлен м мат. Polynom n 1a

м мат.

Polynom n

м. мат.

polynôme m

м. мат.

polinomio m, multinomio m

МНОГОЧЛЕН (полином), сумма одночленов, которые являются произведениями, состоящими из числового множителя (коэффициента) и одной или нескольких букв, каждая из которых взята с тем или иным показателем степени. В общем виде, многочлен имеет форму P_n(x)=а_nхⁿ+a_n-1x^n-1+а_n-2х^n-2+....+а₂х²+a₁х+а₀, где а₀....а_n-1, а_n - КОЭФФИЦИЕНТЫ многочлена. Степенью многочлена является самый высокий показатель степени в этой сумме с ненулевым коэффициентом. Например, Р₄(х)=2x⁴-3x³+x²+х+5 является многочленом со степенью четыре. В этом примере значения многочлена при х=0; 1 и 2 равны Р₄(0)=5, Р₄(1)=6, Р₄(2)=19 соответственно. Многочлен может быть представлен графически, путем отметки значения у=Р_n(х) на графике в соответствии со значениями х.

МНОГОЧЛЕ́Н -а; м. Матем. Алгебраическое выражение, представляющее сумму или разность нескольких одночленов; полино́м.

◁ Многочле́нный, -ая, -ое. М-ое выражение. М-ая формула.

* * *

(полином), алгебраическая сумма конечного числа одночленов, т. е. выражений вида Ax^ky^l...ω^m, где x, y,..., ω — переменные, A (коэффициент многочлена) и k, l, ..., m (показатели степеней — целые неотрицательные числа) — постоянные. Многочлен от одного переменного х всегда можно записать в видеa₀xⁿ + a₁x^n–1 + ... + a_n–1x + a_n.

* * *

МНОГОЧЛЕ́Н (полином), алгебраическая сумма конечного числа одночленов, т. е. выражений вида

Ax^ky^l...w^m

где x, y,..., w -переменные, А (коэффициент многочлена) и k, l,..., m (показатели степеней — целые неотрицат. числа) — постоянные. Многочлен от одного переменного x всегда можно записать в виде а_охⁿ + а₁х^n-1 +... + а_n-1х + а_n.

полином,- выражение вида

где - переменные, а А, В,..., D (коэффициент ы М.) и x, y,..., w (показатели степеней - целые неотрицательные числа) - постоянные. Отдельные слагаемые вида

наз. членами М. Порядок членов, а также порядок множителей в каждом члене можно менять произвольно; тёчно так же можно вводить или опускать члены с нулевыми коэффициентами, а в каждом отдельном члене - степени с нулевыми показателями. В случае, когда М. имеет один, два или три члена, его наз. одночленом, двучленом или трехчленом.

Относительно коэффициентов М. предполагается, что они принадлежат нек-рому полю, напр, полю рациональных, действительных или комплексных чисел.

Два члена М. наз. подобными, если в них показатели степеней при одинаковых переменных попарно равны. Подобные между собой члены

можно заменить одним

(приведение подобных членов). Два М. наз. равными, если после приведения подобных все члены с отличными от нуля коэффициентами оказываются попарно одинаковыми (но, может быть, записанными в разном порядке), а также если все коэффициенты этих М. оказываются равными нулю. В последнем случае М. наз. тождественным нулем и обозначают знаком 0.

Сумму показателей степеней какого-либо члена М. наз. степенью этого члена. Если М. не тождественный нуль, то среди членов с отличными от нуля коэффициентами (предполагается, что все подобные члены приведены) имеются один или несколько наибольшей степени; эту наибольшую степень наз. степенью М. Тождественный нуль не имеет степени. М. нулевой степени сводится к одному члену А(постоянному, не равному нулю).

М. от переменных х ₁, х₂,..., х _п наз. симметрическим многочленом, если он не меняется ни при какой перестановке неизвестных. М., все члены к-рого одинаковой степени, наз. однородным многочленом, или формой; формы первой, второй и третьей степеней наз. линейными, квадратичными, кубическими, а по числу переменных (два, три)-двоичными (бинарными), тройничными (тернарными) (напр., есть тройничная квадратичная форма).

Степенью многочлена по отношению к одному из переменных наз. наивысший показатель, с к-рым.x_i входит в члены этого М. (эта степень может быть и нулевой). Из двух членов М. тот считается выше (Относительно данной нумерации переменных), у к-рого показатель при х _1. больше, а если эти показатели равны, то тот, у к-рого показатели при больше, и т. д. Если все члены М. расположены в таком порядке, что каждый следующий член ниже предыдущего, то говорят, что члены этого М. расположены лексикографически. Тот член, к-рый при этом стоит на первом месте, наз. высшим членом многочлена. М. от одного переменного, члены к-рого расположены в лексико-графич. порядке, имеет вид

где - коэффициенты.

Корнем многочлена от одного неизвестного над полем кназ. решение алгебраического уравнения

Корни М. связаны с его коэффициентами формулами Впета (см. Виета теорема).

Совокупность всевозможных различных М. от ппеременных с коэффициентами из данного поля образует кольцо относительно естественным образом определяемых операций сложения и умножения. Рассматриваются также кольца М. от бесконечного множества переменных. Многочленов кольца являются ассоциативно-коммутативными кольцами без делителей нуля (т. е. произведение М., не равных 0, не может дать 0).

Если для двух многочленов Ри Qможно найти такой многочлен В, что то говорят, что Рделится на Q; Q наз. делителем, а В- частным. Если Рне делится на Q, но оба М. содержат одно и то же переменное, напр, х, и степень Рпо отношению к хесть п, а степень Qесть , то можно найти такие многочлены р, R и S, что pP=QR+S, причем рсовсем не содержит х, а в Sпеременное хсодержится в степени ниже т. В случае, когда хявляется единственным переменным, можно рсчитать равным 1; тогда операцию отыскания Ви Sпо Ри Qназ. делением с остатком; деление с остатком можно производить с помощью Горнера схемы.

Посредством повторного применения этой операции можно находить наибольший общий делитель Ри Q, т. е. такой делитель Ри Q, к-рый делится на любой общий делитель этих М. (см. Евклида алгоритм). Два М., наибольший общий делитель к-рых равен 1, наз. взаимно простыми.

М., к-рый можно представить в виде произведения М. низших степеней с коэффициентами из данного поля, наз. приводимым (в данном поле), в противном случае - неприводимым. Неприводимые М. играют в кольце М. роль, сходную с ролью простых чисел в кольце целых чисел. Напр., верна теорема: если произведение PQ делится на неприводимый многочлен В, а Р на Вне делится, то Qдолжен делиться на В. Каждый М., степени большей нуля, разлагается в данном поле в произведение неприводимых множителей единственным образом (с точностью до множителей нулейой степени). Напр., многочлен , неприводимый в поле рациональных чисел, разлагается на два множителя в поле действительных чисел и на четыре множителя в поле комплексных чисел. Вообще, каждый М. от одного переменного хразлагается в поле действительных чисел на множители первой и второй степени, в поле комплексных чисел - на множители первой степени (алгебры основная теорема). Для двух и большего числа переменных этого уже нельзя утверждать. Над любым полем кдля любого существуют М. от ппеременных, неприводимые в любом расширении поля к. Такие М. наз. абсолютно неприводимыми. Напр., многочлен неприводим в любом числовом поле.

Если переменным придать определенные числовые значения (напр., действительные или комплексные), то М. также получит определенное числовое значение. Таким образом, каждый М. можно рассматривать как функцию соответствующих переменных. Эта функция непрерывна и дифференцируема при любых значениях переменных; ее можно характеризовать как целую рациональную функцию, т. е. функцию, получающуюся из переменных и нек-рых постоянных (коэффициентов) посредством выполнения в определенном порядке действий сложения, вычитания и умножения. Целые рациональные функции входят в более широкий класс рациональных функций, где к перечисленным действиям: присоединяется деление: любую рациональную функцию можно представить в виде частного двух М. Наконец, рациональные функции содержатся в классе алгебраических функций.

К числу важнейших свойств М. относится то, что любую непрерывную функцию можно с произвольно малой ошибкой, заменить М. (см. Вейерштрасса теорема).

Специальные системы М.- ортогональные многочлены- используются в теории приближения как средство представления функций в виде рядов.

В элементарной алгебре М. иногда наз. такие ал-гебраич. выражения, в к-рых последним действием является сложение или вычитание.

Лит.:[1] Мишина А. П., Проскуряков И. В., Высшая алгебра. Линейная алгебра, многочлены, общая алгебра, 2 изд., М., 1965; [2] Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 11 изд., М., 1975; [3] Бурбаки Н., Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы, пер. с франц., М., 1965.

А. И. Маркушевич.

полином, -алгебр. сумма конечного числа одночленов, т. е. выражение вида

где х, у,..., w - переменные А, ..., L (коэфф. М.) и k, l,.... t (показатели степеней - целые неотрицат. числа) - постоянные. М. от одного переменного всегда можно записать в виде

multinomial, polynomial

* * *

polynomial

записа́ть [расположи́ть] многочле́н в поря́дке убыва́ния показа́телей сте́пени — arrange a polynomial in descending powers

разложи́ть многочле́н на мно́жители — factor a polynomial

скла́дывать многочле́ны на основа́нии сочета́тельного и перемести́тельного зако́нов — add (e. g., two ) polynomials by use of associative and commutative properties

многочле́н деле́ния кру́га — cyclotomic polynomial

кругово́й многочле́н — cyclotomic polynomial

неприводи́мый многочле́н — irreducible [prime] polynomial

нормиро́ванный многочле́н — monic polynomial

многочле́н от — x polynomial in x

многочле́н сте́пени n от … — a polynomial of degree n in …

* * *

polynomial

м.

polinomio m

многочлен с действительными коэффициентами — polinomio a coefficienti razionali

- интерполяционный многочлен

- многочлен Якоби

матем.

багаточле́н

псевдохарактеристи́ческий многочле́н — псевдохарактеристи́чний багаточле́н

- алгебраический многочлен

- якобиев многочлен

матем.

багаточле́н

псевдохарактеристи́ческий многочле́н — псевдохарактеристи́чний багаточле́н

- алгебраический многочлен

- якобиев многочлен

матем. полино́м

(полином), алгебр, сумма конечного числа одночленов, т. е. выражений вида Ax^ky^l... w^m, где х, у, ..., w - переменные, А (коэф. М.) и k, l,..., т (показатели степеней - целые неотрицат. числа) - постоянные. М. от одного переменного х всегда можно записать в виде