Многоугольник

В элементарной геометрии М. называется фигура, ограниченная прямыми линиями, называемыми сторонами. Точки, в которых стороны пересекаются, называются вершинами. Число вершин равняется числу сторон. Смотря по этому числу, М. называются: треугольниками, четырехугольниками и т. д. Прямые, соединяющие не соседние вершины М., называются диагоналями. Сумма внутренних углов М. равна двум прямым углам, повторенным. столько раз, сколько М. имеет углов без двух. Если стороны М. равны между собою и углы равны между собою, то такой М. называется правильным. М., все вершины которого лежат на окружности, называется вписанным. М., все стороны которого касательны к окружности, называется по отношению к этой окружности описанным. Сумма сторон М. называется его периметром. Перпендикуляр, опущенный из центра вписанного круга на одну из сторон правильного М., называется апофемою. Площадь правильного М. равна половине произведения периметра на апофему. В высшей геометрии простым п-угольником называется группа n точек плоскости и n прямых, соединяющих эти точки в данной последовательности. Полным п-угольником называется группа n точек плоскости со всеми прямыми, соединяющими эти точки. Другими словами: полный n-угольник состоит из простого n-угольника и из всех его диагоналей. Число сторон полного n угольника

равно [n(n—1)]/2.

Н. Делоне.

замкнутая ломаная линия. Подробнее, М. — линия, которая получается, если взять n любых точек A₁, A₂, ..., A_n и соединить прямолинейным отрезком каждую из них с последующей, а последнюю — с первой (см. рис. 1, а). Точки A₁, A₂, ..., A_n называются вершинами М., а отрезки A₁A₂, А₂А₃, ..., A_n-1A_n, A_nA₁ — его сторонами. Далее рассматриваются только плоские М. (т. е. предполагается, что М. лежит в одной плоскости). М. может сам себя пересекать (см. рис. 1, б), причём точки самопересечения могут не быть его вершинами.

Существуют и другие точки зрения на то, что считать М. Многоугольником можно называть связную часть плоскости, вся граница которой состоит из конечного числа прямолинейных отрезков, называемых сторонами многоугольника. М. в этом смысле может быть и многосвязной частью плоскости (см. рис. 1, г), т. е. такой М. может иметь «многоугольные дыры». Рассматриваются также бесконечные М. — части плоскости, ограниченные конечным числом прямолинейных отрезков и конечным числом полупрямых.

Дальнейшее изложение опирается на данное выше первое определение М. Если М. не пересекает сам себя (см., например, рис. 1, а и б), то он разделяет совокупность всех точек плоскости, на нем не лежащих, на две части — конечную (внутреннюю) и бесконечную (внешнюю) в том смысле, что если две точки принадлежат одной из этих частей, то их можно соединить друг с другом ломаной, не пересекающей М., а если разным частям, то нельзя. Несмотря на совершенную очевидность этого обстоятельства, строгий его вывод из аксиом геометрии довольно труден (т. н. теорема Жордана для М.). Внутренняя по отношению к М. часть плоскости имеет определённую площадь. Если М. — самопересекающийся, то он разрезает плоскость на определённое число кусков, из которых один бесконечный (называемый внешним по отношению к М.), а остальные конечные односвязные (называются внутренними), причём граница каждого из них есть некоторый самонепересекающийся М., стороны которого есть целые стороны или части сторон, а вершины — вершины или точки самопересечения данного М. Если каждой стороне М. приписать направление, т. е. указать, какую из двух определяющих её вершин мы будем считать её началом, а какую — концом, и притом так, чтобы начало каждой стороны было концом предыдущей, то получится замкнутый многоугольный путь, или ориентированный М. Площадь области, ограниченной самопересекающимся ориентированным М., считается положительной, если контур М. обходит эту область против часовой стрелки, т. е. внутренность М. остаётся слева от идущего по этому пути, и отрицательной — в противоположном случае. Пусть М. — самопересекающийся и ориентированный; если из точки, лежащей во внешней по отношению к нему части плоскости, провести прямолинейный отрезок к точке, лежащей внутри одного из внутренних его кусков, и М. пересекает этот отрезок р раз слева направо и q раз справа налево, то число р — q (целое положительное, отрицательное или нуль) не зависит от выбора внешней точки и называется коэффициентом этого куска. Сумма обычных площадей этих кусков, помноженных на их коэффициенты, считается «площадью» рассматриваемого замкнутого пути (ориентированного М.). Так определяемая «площадь замкнутого пути» играет большую роль в теории математических приборов (планиметр и др.); она получается там обычно в виде интеграла ydx (в декартовых координатах х, у), где конец радиус-вектора ρ или ординаты y один раз обегает этот путь.

Сумма внутренних углов любого самонепересекающегося М. с n сторонами равна (n — 2)180°. М. называется выпуклым (см. рис. 1, а), если никакая сторона М., будучи неограниченно продолженной, не разрезает М. на две части. Выпуклый М. можно охарактеризовать также следующим свойством: прямолинейный отрезок, соединяющий любые две точки плоскости, лежащие внутри М., не пересекает М. Всякий выпуклый М. — самонепересекающийся, но не наоборот. Например, на рис. 1, б изображен самонепересекающийся М., который не является выпуклым, т. к. отрезок PQ, соединяющий некоторые его внутренние точки, пересекает М.

Важнейшие М.: треугольники, в частности прямоугольные, равнобедренные, равносторонние (правильные); четырёхугольники, в частности трапеции, параллелограммы, ромбы, прямоугольники, квадраты. Выпуклый М. называется правильным, если все его стороны равны и все внутренние углы равны. В древности умели по стороне или радиусу описанного круга строить при помощи циркуля и линейки правильные М. только в том случае, если число сторон М. равно m = 3 · 2ⁿ, 4 · 2ⁿ,5 · 2ⁿ, 3 · 5 · 2ⁿ, где n — любое положительное число или нуль. Немецкий математик К. Гаусс в 1801 показал, что можно построить при помощи циркуля и линейки правильный М., когда число его сторон имеет вид: m = 2ⁿ · p₁ · p₂ · ... · p_k, где p₁, p₂, ... p_k — различные простые числа вида s — целое положительное число). До сих пор известны только пять таких р: 3, 5, 17, 257, 65537. Из теории Галуа (см. Галуа теория) следует, что никаких других правильных М., кроме указанных Гауссом, построить при помощи циркуля и линейки нельзя. Т. о., построение возможно при m = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15 16, 17, 20, 24, 32, 34, ... и невозможно при m = 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 33, ...

В приведённой ниже таблице указаны радиус описанной окружности, радиус вписанной окружности и площадь правильного n-yгольника (для n = 3, 4, 5, 6, 8, 10), сторона которого равна k.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

| n      | Радиус описанной    | Радиус вписанной        | Площадь           |

| | окружности      | окружности    |          |

|----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

| 3      |  |    |    |

|----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

| 4      |  |    |    |

|----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

| 5      |  |    |    |

|----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

| 6      | k      |    |    |

|----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

| 8      |  |    |    |

|----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

| 10    |  |    |    |

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Начиная с пятиугольника существуют также невыпуклые (самопересекающиеся, или звездчатые) правильные М., т. е. такие, у которых все стороны равны и каждая следующая из сторон повёрнута в одном и том же направлении и на один и тот же угол по отношению к предыдущей. Все вершины такого М. также лежат на одной окружности. Такова, например, пятиконечная звезда. На рис. 2 даны все правильные (как выпуклые, так и невыпуклые) М. от треугольника до семиугольника.

Лит. см. при ст. Многогранник.

Рис. 1 к ст. Многоугольник.

Рис. 2 к ст. Многоугольник.

1. многоуго́льник;
2. многоуго́льники;
3. многоуго́льника;
4. многоуго́льников;
5. многоуго́льнику;
6. многоуго́льникам;
7. многоуго́льник;
8. многоуго́льники;
9. многоуго́льником;
10. многоуго́льниками;
11. многоуго́льнике;
12. многоуго́льниках.

МНОГОУГО́ЛЬНИК, -а, муж. В математике: геометрическая фигура, ограниченная замкнутой ломаной линией.

-а, м.

Геометрическая фигура, ограниченная ломаной линией, звенья которой образуют более четырех углов.

Правильный многоугольник.

МНОГОУГО́ЛЬНИК, многоугольника, муж. (мат.). Плоская фигура, ограниченная тремя, четырьмя и т.д. прямыми линиями.

м.

Геометрическая фигура, ограниченная замкнутой ломаной линией, звенья которой образуют более четырёх углов.

МНОГОУГОЛЬНИК (на плоскости) - геометрическая фигура, ограниченная замкнутой ломаной линией, звенья которой называются сторонами многоугольника, а их концы - вершинами многоугольника. По числу вершин различают треугольники, четырехугольники и т. д. Многоугольник называется выпуклым, если он весь лежит по одну сторону от прямой, несущей любую из его сторон, и невыпуклым - в противном случае. Многоугольник называется правильным, если все его стороны и углы равны.

муж.;
мат. polygonмногоугольн|ик - м. мат. polygon;
~ый мат. polygonal.

mesh circuit, polygon

m.polygon

многоугольник м мат. Vieleck n 1a

м мат.

Vieleck n

м. геом.

polygone m

м. мат.

polígono m

м. мат.

poligono

МНОГОУГОЛЬНИК, плоская геометрическая фигура с тремя или более сторонами, пересекающимися в трех или более точках (вершинах). Они называются в соответствии с числом сторон или вершин: ТРЕУГОЛЬНИК (трехсторонний); ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК (четырехсторонний); ПЯТИУГОЛЬНИК (пятисторонний) и т.д. Многоугольник называют правильным, если все его стороны и углы равны.

Многоугольник Многоугольники — эго плоские многоугольные фигуры, сгороны и углы которых могут быть равны или неравны, в зависимости от чего они имеют симметричную или асимметричную форму. Самой простой фигурой является равносторонний треугольник (А,), у которого все сгороны и все углы равны У равнобедренного треугольника (А2) две стороны равны,в то время.как у неправильного треугольника (А,) все стороны имеют разную длину. Самым простым четырехугольником (В[)является квадрат, четырехугольник с равными сторонами и равными внутренними углами. У прямоугольника (В,) противолежащие стороны, а также все внутренние углы равны. У параллелограмма (В3) противолежащие стороны равны и параллельны, и также равны противолежащие внутренние углы, У трапеции (В4) только две параллельных стороны. У правильного пятиугольника (С) имеется пять равных сторон и углов,а у правильного шестиугольника (D) — шесть.

МНОГОУГО́ЛЬНИК -а; м. Геометрическая фигура, ограниченная ломаной линией, звенья которой образуют более четырёх углов. Правильный м. Сторона многоугольника.

* * *

(на плоскости), геометрическая фигура, ограниченная замкнутой ломаной линией, звенья которой называются сторонами многоугольника, а их концы — вершинами многоугольника. По числу вершин различают треугольники, четырёхугольники и т. д. Многоугольник называется выпуклым, если он весь лежит по одну сторону от прямой, несущей любую из его сторон, и невыпуклым — в противном случае. Многоугольник называется правильным, если все его стороны и углы равны. На рис. а, б и в изображены правильные треугольник, четырёхугольник, пятиугольник, на рис. г — невыпуклый многоугольник.

* * *

МНОГОУГО́ЛЬНИК (на плоскости), геометрическая фигура, ограниченная замкнутой ломаной линией, звенья которой называются сторонами многоугольника, а их концы — вершинами многоугольника. По числу вершин различают треугольники, четырехугольники и т. д. Многоугольник называется выпуклым, если он весь лежит по одну сторону от прямой, несущей любую из его сторон, и невыпуклым — в противном случае. Многоугольник называется правильным, если все его стороны и углы равны.

- 1) Замкнутая ломаная линия, именно: если - различные точки, никакие последовательные три из к-рых не лежат на одной прямой, то совокупность отрезков наз. многоугольником (см. рис. 1). М. могут быть пространственными или плоскими

(ниже рассматриваются плоские М.).

2) Связная (многосвязная) область, граница к-рой состоит из конечного числа отрезков и является замкнутой ломаной линией (или состоит из нескольких замкнутых ломаных, в этом случае М. иногда наз. многоугольной фигурой, см. рис. 2). Многоугольник в смысле первого определения наз. одномерным М., а в смысле второго определения - двумерным М.

Вершины ломаной линии (точки A_i )наз. вершинами М., отрезки - его сторонами. Две стороны, имеющие общую вершину, наз. смежными, а две вершины ломаной - концы одного отрезка ломаной - наз. смежными вершинами М. Если граница М. является простой ломаной линией, так что несмежные ее стороны не имеют общих точек (внутренних или концевых), то М. наз. простым. Если граница двумерного М. не является простой, то она наз. самопересекающейся (рис. 3) (самопересекающийся М. <в смысле первого определения). В этом случае М. является объединением простых М. Самопересекающаяся ломаная линия делит плоскость на определенное число куеков, один из к-рых - бесконечный. Если в качестве границы М. рассматриваются и лучи, то определяется бесконечный М., имеющий своей границей конечное число отрезков и лучей.

Всякий простой М. (или граница простого М.) делит плоскость на внутреннюю (конечную) и внешнюю (бесконечную) области (теорема Жордана). Простой М. может иметь весьма сложное строение границы. Для выяснения принадлежности какой-либо точки внешней или внутренней области достаточно провести из этой точки луч, не проходящий через вершины М.: если число пересечений луча с границей М. четное, то исследуемая точка лежит во внешней области, если нечетное - во внутренней.

Угол, образованный лучами, имеющими начало в нек-рой вершине М. и содержащими обе смежные стороны этой вершины, наз. внутренним углом (углом) М., если этот угол имеет непустое пересечение с внутренней областью М. и этому пересечению принадлежит рассматриваемая вершина М. (см. рис. 4). Сумма внутренних углов простого "-угольника равна 180° (п-2). Простой М. имеет хотя бы один внутренний угол, меньший развернутого.

Прямая, проходящая через две несмежные вершины М., наз. диагональной, а отрезок с концами в несмежных вершинах М. наз. диагональю М.

М. наз. ориентируемым, если можно указать порядок обхода его вершин так, что конец одной стороны является началом следующей. Границу М. в этом случае наз. многоугольным (ориентированным) замкнутым путем на плоскости. Ориентированный простой двумерный М. при обходе границы всегда остается либо только слева от границы, либо только справа от нее; области М. с самопересекающейся границей могут оказаться по разные стороны от нее.

Простой М. наз. правильным (метрически правильным), если все его углы конгруэнтны между собой как конгруэнтны и все стороны (имеют равные длины). Около правильного М. можно описать окружность и можно вписать окружность в правильный М. Радиус вписанной окружности является апофемой правильного М. Правильные М. с одинаковым числом сторон подобны друг другу. В приведенной таблице указаны радиус описанной окружности, радиус вписанной окружности и площадь нек-рых правильных многоугольников (а- длина стороны М.).

М. наз. выпуклым, если он располагается по одну сторону относительно прямой, содержащей любую сторону М. Выпуклый М.- всегда простой. Правильный М. является выпуклым. В выпуклом М. число диагоналей равно (п- число сторон), из каждой вершины можно провести п-3 диагоналей, к-рые делят М. на п-2 треугольников (рис. 5).

Угол, смежный с внутренним углом выпуклого М., наз. внешним. Сумма внешних углов, взятых по одному при каждой вершине, выпуклого М. составляет полный угол (360°). Внешний угол наз. поворотом границы М. в вершине.

Самопересекающийся М., все стороны к-рого конгруэнтны и все углы конгруэнтны, наз. звездчатым (звездчато-правильным). Зпоздчатые М. существуют при числе сторон начиная с пяти, их можно рассматривать как определенную совокупность диагоналей правильного n-угольника.

Полуправильным наз. М., у к-рого конгруэнтны только все углы или конгруэнтны только все стороны. Пояуправильный М. с четным числом вершин наз. равноугольно-полуправ ильным, если у него все углы конгруэнтны, а стороны конгруэнтны через одну (простейший пример - прямоугольник). Всегда существует окружность, проходящая через все вершины равноугольно-полуправильного М. Существуют также две окружности, из к-рых каждая касается сторон равноугольно-полуправильного М. через одну. Полуправильный М. с четным числом вершин наз. равносторонне - полуправильным, если все его стороны конгруэнтны, а углы конгруэнтны через один (простейший пример - ромб). В равносторонне-полуправильный М. можно вписать окружность так, что она будет касаться всех его сторон; существуют две окружности, из к-рых каждая проходит через вершины этого М., взятые через одну. Построение равноугольно-полуправильных и равносторонне-полуправильных М. осуществляется с помощью правильных М.

Правильный М. может быть построен циркулем и линейкой в случае, если число его сторон где - целые простые различные числа вида - целое положительное число (теорема Гаусса). Известны пять чисел указанного вида: 3, 5, 17, 257, 65537. Никакие другие правильные М. не могут быть построены циркулем и линейкой. Таким образом, можно построить циркулем и линейкой правильные n-угольники, если n=3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 32, 34,..., и нельзя построить циркулем и линейкой, если n=7, 9, 11, 13, 14, 18, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 33,.... Задача построения правильного n -угольника эквивалентна задаче деления окружности на правных частей.

Построение звездчатых n-угольников осуществляется также с помощью деления окружности на равные части: если соединить отрезками делящие точки окружности через каждые рделений (р- целое число, взаимно-простое с п, р<n), то получается звездчатый n-угольник. Напр., при n=15 существуют 3 различные звездчатые 15-угольнпки. На рис. 6 изображены правильные и звездчатые М. для п=3, 4, 5, 6, 7.

В нек-рых разделах геометрии под сторонами М. понимают прямые, на к-рых лежат отрезки замкнутой ломаной линии. В этом случае М. наз. м н о г о с" т о-ройником. Возможны одновременно вписанные и описанные М. (вершины одного лежат на стороне другого) и даже одновременно описанные и вписанные сами в себя многосторонними (см.-, напр., Конфигурация).

Площадь любого М. может быть вычислена путем разложения на треугольники, квадраты и т. д. Площади ориентированного простого М. приписывается знак плюс, если при обходе границы внутренняя область остается слева, и минус, если область останется справа.

В случае, когда граница М. является многоугольным замкнутым самопересекающимся путем, делящим плоскость на куски, то площадь такого М. может быть определена с помощью т. н. коэффициента куска: если из нек-рой точки во внешней области М. провести отрезок в точку, лежащую внутри данного куска, и граница М. пересекает этот отрезок рраз слева направо и qраз справа налево, то р-q наз. коэффициентом куска. Этот коэффициент не зависит от выбора указанных двух точек. Площадью ориентированного М. (площадью многоугольного пути) в этом случае является сумма площадей каждого куска, умноженных на соответствующий коэффициент куска.

Если на плоскости введена декартова прямоугольная система координат , то площадь ориентированного М. вычисляется при помощи интеграла где у- ордината точек границы М., обходимой один раз. В полярных координатах площадь М. вычисляется при помощи интеграла где пробегает один раз границу М.

М. может быть криволинейны м, его граница состоит из конечного числа кусков кривых. Такие М. существуют и на кривых поверхностях. Если граница М. на поверхности состоит из кусков дуг геодезич. линий этой поверхности, то М. наз. геодезическим. В случае, когда М. ограничен отрезками асимптотич. линий поверхности, то М. наз. асимптотическим, и т. д. Для криволинейных М. определяется внутренний угол при вершине, к-рый связан с поворотом границы в вершине и составляет с ним развернутый угол (поверхности предполагаются регулярными). Простые М. на поверхности могут иметь всего две стороны и две вершины (напр., геодезич. двуугольник на сфере).

М. может быть определен и как нек-рый набор векторов, к-рые рассматриваются как радиус-векторы вершин М. (n- угольника), т. е. точка (вершина) сопоставляется с нек-рым вектором. Свойства n -угольника переводятся на язык векторной алгебры, что Открывает возможность применения алгебраич. методов в исследовании классов М. Определяется, в частности, сумма М., произведение М. на нек-рое число из коммутативного поля (характеристика к-рого взаимно проста с числом вершин М.), циклич. классы п-угольников, циклнч. отображения и их алгебра и т. п. На этом пути оказывается возможным устанавливать многие общие свойства n -угольников (см., напр., [3]).

М. определяется также и с помощью понятия выпуклой оболочки, к-рая является выпуклым М. Именно; фигура Ф наз. М., если ее можно разложить на выпуклые М.:

где - выпуклые М.

Лит.:[1] Перепелкин Д. П., Курс элементарной геометрии, ч. 1, ML.-Л., 1948; [2] Адамар Ж., Элементарная геометрия, пер. с франц., 4 изд., ч. 1, М., 1957; [3] Бах -ман Ф., Шмидт З.,п- Угольники, пер. с нем., М., 1973; [4] Энциклопедия элементарной математики, кн. 4 - Геометрия, М., 1963.

на плоскости - фигура, огранич. замкнутой ломаной линией, звенья к-рой наз. сторонами М., а их концы - вершинами М. По числу вершин различают треугольники, четырёхугольники и т. д.

mesh circuit, polygon

* * *

polygon, N-gon, n-gon, n-sided polygon

опи́сывать многоуго́льник — circumscribe a polygon

смыка́ть [замыка́ть] многоуго́льник — close a polygon

ве́кторный многоуго́льник — vector polygon

верё́вочный многоуго́льник — funicular [string] polygon

кругово́й многоуго́льник — arc polygon

опо́рный многоуго́льник мех. — support polygon

пра́вильный многоуго́льник — regular polygon

простра́нственный многоуго́льник — skew [space] polygon

многоуго́льник сил мех. — polygon of forces

многоуго́льник скоросте́й — velocity polygon

м.

poligono m

- векторный многоугольник

- многоугольник частот

матем., физ.

багатоку́тник

равнодополня́емые многоуго́льники — рівнодоповня́льні багатоку́тники

самопересека́ющийся многоуго́льник — самоперети́нний багатоку́тник

- вписанный многоугольник

- частотный многоугольник

матем., физ.

багатоку́тник

равнодополня́емые многоуго́льники — рівнодоповня́льні багатоку́тники

самопересека́ющийся многоуго́льник — самоперети́нний багатоку́тник

- вписанный многоугольник

- частотный многоугольник

(на плоскости), геом. фигура, ограниченная замкнутой ломаной линией, звенья к-рой наз. сторонами М., а их концы - вершинами М. По числу вершин различают треугольники, четырёхугольники и т. д. М. наз. выпуклым, если он весь лежит по одну сторону от прямой, несущей любую из его сторон, и невыпуклым - в противном случае. М. наз. правильным, если все его стороны и углы равны. На рис. а, 6 и в изображены правильные треугольник, четырёхугольник, пятиугольник, на рис. г - невыпуклый М.