Интерполирование

в математике — один из важнейших способов приближенного вычисления. Задача И. заключается в том, чтобы по данным величинам некоторой функции для известных значений переменных независимых (аргументов) найти величину функции для произвольного (обыкновенно промежуточного) значения этих переменных независимых. Этой задачей занимались Валлис, Ньютон, Эйлер и другие математики. Найти формулу И. значит заменить искомую функцию более простой, обыкновенно многочленом, причем коэффициенты и степени этого многочлена подбираются так, чтобы значение его для данного значения переменных независимых совпадало с заданными значениями искомой функции. Формулы И. представляют выражения, в которых искомая функция представляется при помощи данных величин функции и их последовательных разностей. В нижеследующей таблице в первом столбце стоят последовательные аргументы (значения независимой переменной), во втором — соответствующие величины функции, а в следующих — последовательные разности, так что b "' = а " — а "', b " = а' — а "... с " = b " — b "'...

Для вычисления величины функции а для аргумента Т + nh, где n

Формула Ньютона.

a = a_o+ {(b' + b₁)/2 — 1/6[(d' + d₁)/2] +... }n + {c_o/2 — e_o/24 +... }n²+ {1/6[(d' + d₁)/2] —... }n³+...

Формула Бесселя.

a = a_o+ nb₁+ [n(n — 1)/1.2].[(c_o+ c₁)/2] + [n(n — 1)(n — 1/2)/1.2.3]d₁+ [(n + 1).n(n — 1)(n — 2)/1.2.3.4].[(e_o+ e₁)/2] +...

Формула Стирлинга.

a = a_o+ [(b' + b₁)/2]n + c_o(n²/1.2) + [(d' + d₁)/2].[(n — 1)n(n + 1)/1.2.3] + e_o[(n — 1)n²(n + 1)/1.2.3.4] +...

Числовой пример. Даны склонения Луны для отдельных моментов, следующих через 12 часов, и требуется найти склонение Луны для 2 янв. в 15 час. среднего времени.

Для 15 ч. 2-го января n = ¼, и потому, употребив одну из вышеприведенных формул И., получится а = 12°58'59,4 ".

Простейший случай И. встречается при подыскивании логарифмов чисел, которые в таблицах даются лишь для известных последовательных значений аргумента. В этом случае аргументы настолько сближены, что действительное значение имеют только первые разности; прочие разности равны нулю, и потому все вышеприведенные формулы обращаются в a = a_o+ nb, т. е. И. сводится к решению простой пропорции.

При помощи И. производится и нахождение аргумента для данного промежуточного значения функции, т. е. решается и обратная задача. В этом случае одну из формул И. нужно решить относительно неизвестной n. Так как коэффициенты у различных степеней n весьма быстро уменьшаются, то вычисление производится последовательными приближениями, причем для первого приближения принимается n = (a — a₀)/b. При вычислении по таблицам чисел по данному логарифму это первое приближение есть уже окончательное решение.

Если аргументы не представляют арифметической прогрессии и величины функции даны для нескольких произвольных значений аргументов х₁, х₂.....х_п, то величина функции для всякого другого значения аргумента x вычисляется по формуле Лагранжа:

F(x) = U₁{[(x — x₂)(x — x₃)... (x — x_n)]/[(x — x₂)(x₁— x₃)... (x₁— x_n)]} + U₂{[(x — x₁)(x — x₃)... (x — x_n)]/[(x₂— x₁)(x₂— x₃)... (x₂— x_n)]} +... + U_n{[(x — x₁)(x — x₂)... (x — x_n-1)]/[(x_n— x₁)(x_n— x₂)... (x_n— x_n-1)]} +...

где U₁= F(x₁), U₂= F(x₂)... U_n= F(x_n).

Употребление этой формулы встречается при И. наблюдений.

Геометрическое значение И. заключается в проведении параболы высших степеней через ряд данных точек на плоскости. Чем число данных точек больше, тем проведенная через них парабола ближе к неизвестной кривой. Если положение точек определено лишь с известной степенью приближения (напр. из наблюдений), то от интерполяционной кривой требуется иногда не то, чтобы она прошла через все данные точки, а чтобы она заняла некоторое среднее положение, по возможности меньше уклоняясь в ту или другую сторону от этих точек.

Для функций от двух и более аргументов формулы И. значительно сложнее. Когда приходится пользоваться таблицами с двумя входами, то на практике прибегают к двум последовательным И. сперва по одному, а затем по другому аргументу.

В практических приложениях определение значения функции для аргумента, лежащего не между данными, а вне их, известно под названием экстраполирования и совершается по правилам И. с той лишь разницей, что некоторые разности приходится вычислять, считая число их ограниченным. Числовые результаты экстраполирования всегда менее благонадежны, чем результаты И. Литература см. Исчисление конечных разностей.

B. Витковский.

ср.

1.

процесс действия по несов. гл. интерполировать

2.

Результат такого действия.

сущ. interpolation

interpolation

m.interpolation

в вычислительной математике - способ приближенного или точного нахождения какой-либо величины по известным отдельным значениям этой же или других величин, связанных с ней. На основе И. построен ряд приближенных методов решения математич. задач.

Наибольшее значение в вычислительной математике имеет задача построения способов интерполирования функций. Интерполяция функционалов и операторов также широко используется при построении приближенных методов.

Приближенное представление и вычисление функций. И. функций рассматривается как один из способов их приближения. И. функции f(x)на отрезке [ а, b]по значениям ее в узлах x_k сетки означает построение другой функции L_n(x)=L_n(f; x )такой, что L _п( х _k)=f(x_k), k=0,1,..., п. В более общей постановке задача И. функции f(x). состоит в построении L_n(x)не только из условия совпадения значений функций L_n(x)и f(х)на сетке D_n, но и из требования совпадения в отдельных узлах их производных до какого-то порядка или нек-рых других соотношений, связывающих f(х)и L _п (х).

Обычно L_n(x)строится в виде

где {j_i(x)}- некоторая заранее выбранная система линейно независимых функций. Такое И. наз. линейным относительно системы {j_i(x)}, a L_n(x)- интерполяционным полиномом по системе

Выбор системы {j_i(x)}определяется свойством того класса функций, для приближения к-рых предназначаются интерполяционные формулы. Напр., для приближения 2p-периодических функций на [0, 2p] за {j_i(x)}естественно взять тригонометрическую систему функций, для приближения на полуоси [0, беск.) ограниченных или возрастающих функций - систему рациональных или показательных функций, учитывающих поведение приближаемых функций на бесконечности и т. Д.

Чаще всего используется алгебраич. И.: j_i(x)=х ⁱ, простейший вариант которого - линейное интерполирование с двумя узлами И. x_k и x_k+1- определяется формулой

Алгебраическое И. более высокого порядка в задаче приближения функций на всем отрезке [ а, b]применяется на практике сравнительно редко. Обычно ограничиваются линейным И. по формуле (1) или квадратичным интерполированием с тремя узлами на частичных отрезках сетки по формуле

Имеются различные варианты записи алгебраич. интерполяционных многочленов (см. Интерполяционная формула).

Находит все большее применение И. сплайнами (см. Интерполяционный сплайн).

На практике чаще всего используются параболические или кубические сплайны. Интерполяционным кубическим сплайном дефекта 1 для функции f(x)относительно сетки D_n наз. функцию S₃(x)=S₃(f; х), являющуюся многочленом третьей степени на каждом из отрезков [x_k-1, x_k], принадлежащую классу дважды непрерывно-дифференцируемых функций и удовлетворяющую условиям

При таком определении имеется еще два свободных параметра, для нахождения к-рых налагаются дополнительные краевые условия:i=l,2;S'₃(a)= а _п и или нек-рые другие.

Как непосредственно для задачи приближения функций, так и при решении других задач используются сплайны, к-рые в точках сетки D_n совпадают не только со значениями функций f(x), но и со значениями производных этой функции до нек-рого порядка.

Часто при обработке эмпирических данных {y_k} коэффициенты а _i в L_n(x)определяются, исходя из требования минимизации суммы

Такое построение функции L_n(x)наз. интерполированием по методу наименьших квадратов.

И. функций многих переменных имеет ряд принципиальных и вычислительных трудностей. Напр., в случае алгебраич. И. интерполяционный многочлен Лагранжа фиксированной степени, вообще говоря, не существует для произвольной системы различных узлов И. В частности, для функций двух переменных f(x, у )такой многочлен L_n(x, у )суммарной степени не выше и может быть построен по узлам (х _k, y_k )лишь при условии, что эти узлы не лежат на алгебраич. кривой порядка п.

Другой подход к И. функций многих переменных f(x_x,..., х _т )состоит в том, что сначала интерполируется функция по переменной х ₁ при фиксированных х _k,/с=2, 3,..., т, потом по следующей переменной при фиксированных остальных х _k и т. д. При таком способе построения интерполяционный алгебраич. многочлен L_n1...nm(x₁,..., х _т )для функции f(x₁ ,..., х _т )с узлами

имеет вид j= 1, 2,..., т,

где

Интерполяционные сплайны для функций многих переменных определяются на многомерной сетке при соответствующих изменениях по аналогии с одномерным случаем. И. функций используется для замены сложно вычисляемой функции другой, вычисляемой быстрее; для приближенного восстановления функции на всей области задания по значениям ее в отдельных точках; для получения сглаживающих функций., описывающих плавный процесс. Такого рода задачи имеют как самостоятельное значение, так и возникают в качестве вспомогательных при решении более сложных задач во многих областях науки и техники. И. функций применяется также для приближенного нахождения предельных значений функций, в задачах ускорения сходимости последовательностей и рядов и в других вопросах.

Численное решение нелинейных уравнений и систем. Общие идеи построения интерполяционных методов решения уравнения f(x)=0 и систем уравнений f_i(x₁, x₂,..., х _т) = 0, i=1, 2,..., т, одни и те же. Трудности задачи И. функций многих переменных особенно сказываются при исследовании и практич. использовании такого рода методов для большого числа уравнений. В основу получения интерполяционных методов решения уравнения f(x)=0 положена замена функции f(х)ее интерполяционным полиномом L _п (х)и последующим решением уравнения L_n(x)-0. Корни уравнения L_n(x)=0 берутся за приближенные решения уравнения f(х) = 0. Интерполяционный полином L_n(x)используется также при построении итерационных методов решения уравнения f(x) = 0.

Напр., взяв за х _п+1 корень линейного интерполяционного алгебраич. многочлена, построенного по значениям f(x_n )и f'( х _п )в узле х _п, или по значениям f(x_n-1) и f(x_n )в узлах х _п-1 и x_n приходят соответственно к методам Ньютона и секущих:

где f(x_n-1, х _п)- разделенная разность функции f(x)для узлов x_n-1 и х _п. При выполнении нек-рых условий последовательность значений х _п будет стремиться при

к решению уравнения f(x)=0. Другой подход к построению методов решения уравнения f(x)=0 основан на И. обратной функции х=g(y). Пусть в качестве интерполяционной формулы для функции x=g(y)взят интерполяционный алгебраич. многочлен Лагранжа

Предполагается, что обратная функция существует в окрестности искомого корня уравнения f(х)=0 и составлена таблица значений x_k и y_k =f(x_k), k=0, 1,..., п. За следующее приближенное значение x_k+1 принимается значение интерполяционного многочлена в нуле:

Численное интегрирование. Аппарат И. функций лежит в основе построения многих квадратурных и кубатурных формул. Такого рода формулы строятся путем замены интегрируемой функции на всей области или на ее составных частях интерполяционными полиномами того или иного вида и последующим интегрированием этих полиномов.

Напр., квадратурные формулы наивысшей алгебраич. степени точности, так наз. Гаусса квадратурные формулы

где р(х)- знакопостоянная весовая функция, получаются в результате замены функции f(x)интерполяционным алгебраич. многочленом, построенным по корням x_k ортогонального относительно веса р(х)многочлена степени п.

Если разделить весь отрезок интегрирования [ а, b]на четное число правных частей длины и на каждом сдвоенном частичном отрезке заменить f(х)ее квадратичным интерполяционным многочленом с узлами в крайних и средней точках, то придем к составной Симпсона формуле

где f_k=f(a+kh), k=0,1,..., п.

Можно взять за основу и интерполяционные сплайны какой-то фиксированной степени. Изложенная выше схема построения формул для приближенного вычисления интегралов применима и в многомерном случае.

Численное дифференцирование. Формулы численного дифференцирования получаются в результате дифференцирования интерполяционных формул. При этом, как правило, заранее известна нек-рая априорная информация о дифференцируемой функции, касающаяся ее гладкости.

Пусть L_n(x)- интерполяционный полином нек-рого вида для функции f(x),a R_n(x)- остаток интерполяционной формулы:

Если в равенстве

пренебречь величиной R _п⁽ⁱ⁾ (х), то это приведет к формуле для приближенного вычисления i-й производной функции f(x):

Формулы численного дифференцирования, в основе к-рых лежит И., получаются из приближенного равенства (3) в зависимости от выбора интерполяционного полинома L_n(x). При численном дифференцировании используются, как правило, приближенные значения функции в узлах; погрешность формул численного дифференцирования зависит не только от способа И. и шага И., но и от ошибки используемых значений функции в узлах. Напр., в случае линейного И. (1):

причем для остатка R'₁(x)имеет место представление:

Если f(x_k+1) и f(х _k )известны соответственно с погрешностями e_k+1 и то погрешность формулы (4) будет содержать еще член (e_k+1-e_k)/h, к-рый с уменьшением шага hвозрастает. При использовании формул численного дифференцирования шаг И. должен согласовываться с погрешностью значений функции. Поэтому на практике нередки случаи, когда известная с нек-рой погрешностью на густой сетке функция используется в данной задаче не во всех точках, а на более редкой сетке.

Численное решение интегральных уравнений. Неизвестная функция ,j(х)заменяется в интегральном уравнении какой-либо интерполяционной формулой (интерполяционным полиномом,, интерполяционным сплайном и т. д.) с узлами И. х _k, а приближенные значения для j( х _k )находятся из системы, полученной после подстановки вместо независимой переменной хузлов И. x_k.

Напр., для линейного интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода

можно воспользоваться лагранжевым представлением интерполяционного многочлена:

где R_n(x)- остаток И.,

Замена функции j(х)в (5) ее интерполяционным многочленом L_n(x)и хна х _i, приводит к линейной системе уравнении

для нахождения приближенных значений j_i решения j(x)уравнения (5) в узлах x_i. В случае нелинейных интегральных уравнений приближенные значения j_i находятся соответственно из нелинейной системы.

Численное решение дифференциальных уравнений. Построение численных методов решения дифференциальных уравнений состоит в замене производных искомых функций интерполяционными формулами численного дифференцирования, а в ряде случаев и заменой интерполяционными формулами других функций и выражений, входящих в уравнения.

Пусть имеются формулы численного дифференцирования

для равноотстоящих узлов x_k= х ₀+kh, получаемые соответственно дифференцированием формул линейной и квадратичной И. (1) и (2). Тогда для обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка

при нек-рых дополнительных условиях получается с учетом (6) уравнение в конечных разностях

из к-рого вместе с уравнениями, полученными из дополнительных условий, находятся приближенные значения y_k решения у(х)в узлах х _k.

Сведение дифференциальных уравнений с частными производными к соответствующим уравнениям в конечных разностях производится часто также с использованием формул численного дифференцирования.

Интерполяционный метод применим для решения дифференциальных уравнений, записанных в интегральной форме. Напр., для нахождения приближенного решения задачи Коши

в точках x_k = x₀+kh, k= 0, 1,..., используются разностные формулы типа

получаемые заменой функции под знаком интеграла в равенстве

интерполяционным полиномом и последующим интегрированием. В частности, таким образом получены формулы Адамса для уравнения 1-го порядка (7) формулы Стёрмера для уравнений 2-го порядка и т. д.

Такой подход позволяет, строить вычислительные алгоритмы для широкого класса дифференциальных уравнений в том числе и для уравнений в частных производных. Исследование разрешимости, точности и устойчивости решения возникающих конечно разностных уравнений представляет собой основную и наиболее трудную часть теории численного решения дифференциальных уравнений.

Интерполирование операторов и некоторые общие подходы к построению численных методов. Построение численных методов решения математич. задач, записанных в виде у=Ах, где элементы хи у принадлежат нек-рым множествам Xи Y, а А- заданный оператор, состоит в замене множеств Xи Y и оператора Аили только нек-рых из этих трех объектов другими, удобными для вычислительных целей. При этом замена должна быть сделана так, чтобы решение новой задачи состоящей в нахождении или было в каком-то смысле близко к решению первоначальной задачи. Один из способов замены оператора Аего приближением состоит в использовании интерполирования операторов. Имеются различные формулировки задачи И" операторов. Линейный интерполяционный оператор L₁(F; x )для данного оператора записывается в виде

rge х ₀ и х ₁ - узлы И., F(x₀, x₁)- оператор разделенной разности 1-го порядка, определяемый как линейный оператор, удовлетворяющий условию

Данное определение оператора разделенной разности в ряде случаев конкретизируется. С использованием линейного И. (8) "метод секущих" для уравнения F(x)=0 записывается в виде

тде F^-1(x_n-1, x_n)- оператор, обратный к F(x_n__x, x_n). Постановка задачи И. функционалов, представляющая интерес для теории приближенных методов такова. Пусть {y_i(x)}, i=0, 1,..., п,- некоторые фиксированные функционалы или классы функционалов, определенные на X. Функционал L_n[F; x]наз. интерполяционным функциональным многочленом для данного функционала F(x)и системы точек {x_k}из X, если выполняются соотношения

И. функционалов используется при построении приближенных методов вычисления континуальных интегралов, для нахождения экстремальных значений функционалов и ряда других задач.

Напр., приближенные интерполяционные формулы для вычисления континуальных интегралов имеют вид

при этом интеграл от интерполяционного полинома L_n[F; x]для нек-рых мер m может вычисляться точно или сводиться к конечномерным интегралам. Интерполяционный полином L₁[F; x], когда Xесть пространство непрерывных на отрезке [ а, b]функций С[ а, b], представляется в виде интеграла Стилтьеса

где x₀(t)и x₁(t)- узлы И., а функция

Если F(x)- постоянный или линейный функционал, то L_X[F; x]=F(x).

Применение И. к нахождению экстремальных значений функционалов может быть проиллюстрировано двумя интерполяционными аналогами метода градиента для нахождения локальной точки безусловного минимума функционала F(x), определенного на нек-ром гильбертовом пространстве. Первый из этих методов получается, если в градиентном методе заменить grad F(x_n )на F(x_n-1, x_n), т. е.

Второй метод использует градиент интерполяционного полинома. По приближениям x_n-2, x_n-1, х _п к экстремальной точке х* функционала F(x)строится квадратичный интерполяционный функционал

где F(x_n-2, х _n-1, х _п)- разделенная разность 2-го порядка функционала F(x)относительно узлов х _n-2, х _n-1 х _п, и новое приближение х _п+1 находится по формуле

Итерационные методы (9) и (10) используют соответственно два и три начальных приближения.

Применение И. функционалов и операторов для построения вычислительных алгоритмов решения конкретных задач основано на использовании интерполяционных формул с малой величиной погрешности. Такого рода формулы должны строиться для отдельных классов функционалов и операторов с учетом специфики этих классов.

Лит.:[1] Гончаров В. Л., Теория интерполирования и приближения функций, 2 изд., М., 1954; [2], Березин И. С., Жидков Н. П., Методы вычислений, т. 1-2, М., 1959-60; [3) Бахвалов Н. С, Численные методы, 2 изд., М., 1975; [4] Крылов В. I., Бобков В. В., Монастырный П. И., Вычислительные методы, т. 1 -2 М., 1976-77; [5] Стечкин С. Б., Субботин Ю. Н., Сплайны в вычислительной математике, М., 1976; [6] Самарский А. А., Введение в теорию разностных схем, М., 1971; [7] Янович Л. А., Приближенное вычисление континуальных интегралов по гауссовым мерам, Минск, 1976.

Л. <А. Янович

интерполяция,- в простейшем, классическом смысле - конструктивное восстановление (быть может, приближенное) функции определенного' класса по известным ее значениям или значениям ее производных в данных точках.

Пусть даны n+l точек сегмента D=[ а, b], причем и набор из n+1 чисел (не обязательно различных). Пусть известно, что нек-рая функция f(x) принадлежащая тому или иному фиксированному классу Кфункций, определенных во всяком случае на D (напр., где p _п - множество всех алгебраич. многочленов степени или удовлетворяет системе соотношений:

Точки x_k, в к-рых задаются значения f(x_k) = y_k, наз. узлами интерполяции, или полюсами интерполяции для f. Естественно возникли главным образом из потребностей приближенных вычислений следующие две задачи, к-рые и явились отправными моментами развития всей теории И. А именно, спрашивается, как, обладая перечисленными выше сведениями (А) относительно f, можно с определенной точностью получить информацию: 1) о поведении f(x)на интервалах (x_k-1, x_k), k=i,2,..., п, то есть между (лат. inter) полюсами x_k, к=0,1,..., п, и 2) вне (лат. extra) сегмента [ х ₀, x_n], содержащего все полюсы Упомянутые здесь лат. слова inter и extra привели соответственно к образованию терминов в случае 1) задачи интерполирования (или интерполяции) функции fи в случае 2) задачи экстраполирования (или экстраполяции) функции f, к-рые впоследствии слились в одну проблему интерполирования (А).

Задача (А), понимаемая как задача точного восстановления функции, имеет единственное решение, напр, в классе К=p _п. Ее решением в p _п является интерполяционный многочлен Лагранжа

Однако, если f(x)принадлежит классу, в каком-то смысле "более обширному", чем p _п, то интерполяционная задача (А), вообще говоря, не имеет единственного решения. Тем не менее многочлен в нек-рой мере позволяет судить о поведении f(x) на Д, если считать, что

В связи с этим возникает потребность в оценке погрешности

для к-рая во многом зависит от того, какому классу функций Кпринадлежит f(x), другими словами, R^f_n(x). зависит от наперед известных свойств, к-рыми обладает f(x). Напр., если К=С ^п+1(D), то для задачи (А) остаточный член имеет вид

где a<x<b a

Здесь через a и b обозначены соответственно наименьшее и наибольшее из чисел х ₀, х _п и х. Приведенная формула остаточного члена принадлежит О. Коши (A. Cauchy, см. [3]). Величина во многом зависит от характера распределения и числа узлов интерполяции на А. При этом естественно предположить, что чем больше узлов интерполяции х _k будет взято и чем "равномерней" они будут расположены на Д, тем "точнее" будет выполняться соотношение (1). Эти соображения в свою очередь приводят к еще более важной интерполяционной задаче, тесно примыкающей к проблеме (А).

Пусть f(x)принадлежит классу функций К, определенных на Д, и таких, что при п-0,1,...

Предположим, что множество узлов интерполяции при счетно, и задана последовательность чисел Спрашивается, как по имеющимся данным

восстановить f(x)? Поставленная задача в общем случае далеко не всегда разрешима и требует ряда уточнений, но это будет сделано несколько позже, а сейчас укажем только абрис одного весьма естественного и важного подхода к решепию проблемы (Б). Обычно вначале решается "усеченная" задача (А):

в классе p_n. Пусть L_n^f(x)- интерполяционный полином, являющийся решением этой усеченной задачи и записанный, например, в виде многочлена Лагранжа. Затем рассматривается возможность осуществления в том или ином смысле предельного перехода при (что равносильно, в частности, исследованию вопроса о стремлении к нулю остаточного члена R_n^f(x)при в рассматриваемом смысле).

Приведенный эскиз схемы решения задачи (Б) лежит в основе теории сходимости (и расходимости) интерполяционных процессов;он является одним из основных методов решения задач интерполирования и имеет приложения не только в различных разделах чистой математики (напр., в теории чисел, см. [3]), но и в методах вычислений (см. Интерполирование в вычислительной математике, а также [1]).

В последующем, наряду с интерполяционными задачами рассмотренного здесь вида, определяемыми простейшими функционалами f(x_k), стали исследоваться и другие, в к-рых, напр., задаются значения производных f^(m)(x_k),m=0, 1,..., п _k, или иные более сложные функционалы. При их решении стали применяться интерполяционные процессы, в к-рых в роли отправного интерполирующего класса вместо класса p_n используются другие множества функций, напр, классы Т _п тригонометрич. полиномов степени классы рациональных функций n_mtn=p_m/q_n, где а и классы целых функций специального вида и т. д. См. также интерполяционная формула. Проблема И. в своей общей постановке заключается в следующем. Пусть Xи Y- два непустых множества; задано семейство отображений f_a: Если {у _a}, - некоторый заданный набор элементов (не обязательно различных) множества У, то естественно возникает задача об отыскании множества всех удовлетворяющих следующей системе равенств

Вообще говоря, не для всякого априори заданного набора элементов {y_a}, задача (В) обязана иметь решения х, Поэтому сформулированная проблема требует ряда уточнений своей постановки. Эти уточнения состоят в следующем.

I. Выяснить, каково множество Е=Е{Х; f_a). всех наборов {f_a}, для к-рых система уравнений (В) (быть может, бесконечная) имеет хотя бы одно решение х,Другими словами, требуется дать конструктивное описание множества Евсех допустимых наборов {у_a}, для заданного фиксированного семейства отображений {f_a}, для к-рых система (В) непротиворечива в X.

II. Пусть {y_a},- фиксированный допустимый набор элементов из Y.(т. е. принадлежащий множеству E из пункта I) задачи (В); требуется найти множество всех решений х,, системы (В).

При решении задач I и II особое значение имеют ответы на следующие вопросы более частного характера.

III. Каково подмножество X₁, на к-ром система уравнений (В) имеет единственное решение х. для каждого допустимого для Х ₁ набора {у_a}, {f_a, X₁}?

IV. Пусть Е ₁ - некоторое подмножество Е, определяемое обычно заданием лишь некоего ограничительного свойства. Требуется дать конструктивную характеристику множества решений х,системы (В) при условии, что правые части в (В) "пробегают" все Е ₁.

Задание множества X, Y и семейства отображений {fa},(fa :при ) в совокупности с сформулированными вопросами I и II. (и обычно присоединяемым к ним III, а иногда и IV) определяют интерполяционную задачу (В). Класс задач описанного вида иногда наз. классом прямых задач интерполирования.

Каждый в отдельности из перечисленных выше пунктов I, II, III и IV представляет и сам по себе научный интерес. Пункт I имеет "пограничный характер": им занимаются теория чисел, функциональный анализ, теория функций и др. Пусть, напр., хявляется действительным числом, и {х}- его дробная часть. Семейство отображений /Д: задается следующим образом: Y=[0,1), f_n(x)={xⁿ}, n= 1, 2,..., и рассматривается следующая конкретизация интерполяционной задачи (В):

Для нек-рых подмножеств X,пункт I задачи (2) в какой-то мере исследован, но в целом проблема (2) трудна: до сих пор (1978), напр., нет ответа на вопрос о распределении дробных долей {е ^п} степени числа е, что является весьма частным подвопросом пункта I задачи (2). Связь между вопросом I и проблемами базисности системы элементов в различных функциональных пространствах отмечались, напр., в [9].

Вопрос II самый старый в теории И., он лежит у истоков всей теории И. и связан с именами И. Ньютона (I. Newton), Ж. Лагранжа (J. Lagrange), H. Абеля (N. Abel), III. Эрмита (Ch. Hermite) и др. До 20 в. задачи

I, II и IV почти не рассматривались, а решение задачи

II, как правило, носило формальный характер. Пункт III тесно примыкает к пункту II, но представляет интерес еще и потому, что во многих задачах он эквивалентен проблеме полноты, а иногда и базисности различных систем элементов {fa},в соответствующих функциональных пространствах (полнота обычно устанавливается с помощью критерия С. Банаха (S. Banach), в к-ром доказана эквивалентность проблемы полноты нек-рой задаче единственности).

Важным примером исследований, относящихся к пункту IV, являются задачи, посвященные изучению классов функций, принимающих целые значения на заданном множестве точек (напр., F(n)или F(qⁿ), n= 0, 1, 2,..., являются целыми числами). Эта область особенно бурно развивалась после получения Д. Пойа (G. Polya) следующего результата: если целая функция F(z)экспоненциального типа s, s<ln 2, такова, что ее значения F(n), n=0,1,2,..., являются целыми числами, то F(z)- полином. Константа 1п2 в приведенной теореме точная, ибо функция F(z) = 2^z=e^{zln 2} является целой экспоненциального типа s=ln 2, отлична от многочлена и принимает в точках п = 0, 1, 2,... целые значения (см., напр., [5], [10]).

В том случае, когда в задаче (В) множество X является топологич. пространством и редуцированная в каком-то смысле задача (В) имеет сравнительно простое решение х*, одним из методов ее решения является интерполяционный процесс, при котором исследуется сходимость решений х* к решению хсистемы (В). О частном виде подобного рода процессов упоминалось выше. Однако во многих случаях задачи типа (В) эффективно решаются функциональными методами (см., напр., [10]).

Помимо прямых интерполяционных проблем определенный интерес представляют обратные задачи интерполирования. Основное содержание исследований в этом направлении состоит в следующем. Заданы непустые множества Хи Y и нек-рый класс Fсемейств отображений {{f_a}, }, действующих из X в Y. Пусть М= {{y_a}, } - некоторая совокупность наборов {f_a} элементов из множества У. Задача состоит в нахождении необходимых и достаточных условий, к-рым должен удовлетворять подкласс F_M, для того, чтобы существовало семейство обладающее следующим свойством: множество совпадает с М(или или ), когда переменная хпробегает всю совокупность значений X. Выбор Fи Мтесно между собой связан. Поэтому в исследованиях, относящихся к разделу обратных задач И., обычно пара (F, М )естественным образом составляет единое целое. В качестве примера обратной задачи описанного здесь вида возьмем одну из формулировок из круга вопросов, примыкающих к известной интерполяционной проблеме Неванлинны - Пика. Пусть {z_k} - последовательность точек открытого единичного круга|z|<1 комплексной плоскости С. Каждой функции x(z)из класса (- класс функций, аналитических и ограниченных в круге|z|<1) ставится в соответствие последовательность ее значений в точках z_k:

Таким образом, задан нек-рый вид Fотображений Х=H°° в Y= С. Пусть в качестве Мберется пространство l°° (множество всех ограниченных последовательностей комплексных чисел c=(c₁, с ₂,...) с нормой

В рассматриваемом случае обратная задача конкретизируется следующим образом: требуется дать описание множества всех последовательностей точек {z_k} единичного круга|z|<l (т. е. класса отображений специального вида f_k(x) = x(z_k)), обладающих следующим свойством: оператор S(х)отображает все на Последовательности {z_k}, обладающие указанными качествами, наз. интерполяционными. Таким образом, множество всех интерполяционных последовательностей {z_k} и определяет в данной ситуации класс Ответ на поставленный вопрос дает теорема Карлесона: для того чтобы последовательность точек {z_k} открытого единичного круга|z|<1 была интерполяционной, необходимо и достаточно, чтобы существовало б>0 такое, что

(так наз. условие разделения). Обратные задачи И., типа решенной Л. Карлесоном (L. Carleson), рассматривались и для других классов функций и соответствующих пространств числовых последовательностей (см., напр., [9]; [12], [13], [14]). См. также Абеля- Гончарова проблема.

Лит.:[1] Березин И. С, Жидков Н. Й., Методы вычислений, т. 1, 3 изд., М., 1966, т. 2, 2 изд., М., 1962; [2] Гельфонд А. О., Исчисление конечных разностей, М.- Л., 1952; [3] Гончаров В. Л., Теория интерполирования и приближения функций, 2 изд., М., 1954; [4] Уолш Дж.-Л., Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в комплексной области, пер. с англ., М., 1961; [5] Бибербах Л., Аналитическое продолжение, пер. с нем., М., 1967; [6] Notlund N. Е., Vorlesungen uber Differenzenre-chnung, В., 1924; [7] eго же, Legons sur les series d'interpolation, P., 1926; [8] Whittaker J. M._; The interpolator

function theory, Camb., 1935; [9] Duren P. L., Theorie of H^p spaces, N.Y.-L., 1970; [10] Казьмин Ю. А., Методы интерполяции аналитических функций и их приложения, Докт. дисс, М., 1972; [И] Коробейник Ю. Ф. "Матем. сб.",

1975, т. 97, № 2, с. 193-229; т. 98, № 1, С. 3-26; [12] К абайла В., "Литов. матем. сб.", 1963, т. 3, № 1, с. 141-47; [13] Седлецкий А. М., "Докл. АН СССР", 1973, т. 208, №6, с. 1293-95; [14] Шведенко С. В., "Матем. заметки", 1977, т. 21, № 4, с. 503-08.

Ю. А. Казьмин.

interpolation

* * *

interpolating

интерполи́рование вперё́д — forward interpolating

интерполи́рование наза́д — backward interpolating

* * *

interpolating

с. матем.

interpolazione f(см. тж интерполяция)

матем., физ.

інтерполюва́ння

параболи́ческое интерполи́рование — параболі́чне інтерполюва́ння

тригонометри́ческое интерполи́рование — тригонометри́чне інтерполюва́ння

- двойное интерполирование

- регрессивное интерполирование

матем., физ.

інтерполюва́ння

параболи́ческое интерполи́рование — параболі́чне інтерполюва́ння

тригонометри́ческое интерполи́рование — тригонометри́чне інтерполюва́ння

- двойное интерполирование

- регрессивное интерполирование