Момент инерции

(Moment d'inertie, Trägheitsmoment, Moment of inertia) — понятие это введено в науку Эйлером, хотя уже Гюйгенс раньше пользовался выражением того же рода, не давая ему особого названия: один из путей, приводящий к его определению, следующий. Положим, что каждая частица системы имеет массу т и все они движутся прямолинейно, со скоростью v, общей для всех частиц как по величине, так и по направлению; тогда живая сила W такой системы выразится уравнением:

W = 1/2∑mv²= 1/2Mv²,

так как сумма масс всех частиц системы равна М, массе всей системы. Когда же твердое тело или вообще неизменяемая система вращается около неподвижной оси, дело сложнее: одна угловая скорость, w, будет общая для всех частичек системы, линейные же скорости каждой из них будут иметь мерой произведение ее кратчайшего расстояния r от общей оси вращения на общую угловую скорость w. Для такого случая живая сила всей системы будет

W₁= 1/2∑mr₂∙w₂= 1/2Jw².

Здесь величина: J = ∑mr2, так наз. "М. инерции" относительно данной оси, заменяет коэффициент М, так наз. массу в выражении живой силы при прямолинейном движении с общей скоростью v, и служит мерой инерции при вращательном движении. Выражения такого же вида получаются и при рассмотрении иных вопросов: например в учении о сопротивлении строительных материалов излому (см.); поэтому-то определение М. инерции для тел разной формы неоднократно занимало математиков. Так как сумма масс всех частиц тела всегда равна его массе М, то М. инерции часто находят удобным выражать в виде произведения массы тела М на квадрат некоторой чисто геометрической величины К линейного измерения [измерение же М. ин. будет (l², m, t⁰) в системе абсолютных мер]

∑mv²= MK², или: K²= (∑mr²)/M.

Когда тело однородно и форма его определена геометрически, вычисление М. инерции становится задачей интегрального исчисления:

масса частицы становится dm, дифференциалом массы тела, а тройной интеграл распространяется на все это тело. Если сравнивать М. инерции одного и того же тела около осей, проходящих через разные его точки, но параллельных одному и тому же направлению, то наименьшим окажется М. инерции около оси, проходящей через центр тяжести. Действительно, для произвольно выбранной частицы тела, имеющей массу т, расстояния r' и r от выбранной оси и от оси, ей параллельной, проходящей через центр тяжести, образуют с расстоянием этих осей, d, косоугольный треугольник высотою h, представляющей расстояние рассматриваемой точки от общей плоскости осей, проходящей по условию через центр тяжести. По известной теореме: r'²= r²+ d²— 2hd, откуда: ∑mr'²= ∑mr²mr²+ d²∑m — 2d∑hm. Но ∑m = M, массе тела, d величина постоянная, ∑mr'²= J', ∑mr²= J, a ∑hm = 0, так как именно этим условием и определяется положение центра тяжести тела. Поэтому, подставляя, получим:

J'= J + Md².

Так как величина Md²всегда положительная, то J' всегда больше J, момента инерции около оси, проходящей через центр тяжести. Пуансо предложил довольно сложное построение, дающее наглядное представление об изменениях М. инерции, когда ось меняет свое направление, продолжая проходить через одну и ту же точку тела. Пользуясь методом аналитической геометрии, будем определять наклон этой оси ее углами λ, μ, ν с прямоугольными осями координат, имеющими начало в рассматриваемой точке и составляющими одно целое с телом. Квадрат расстояния r от этой оси некоторой произвольно выбранной точки, определяемой координатами x, у, z, выразится разностью квадрата ее расстояния от начала координат и квадрата проекции этого расстояния на направление оси вращения, т. е.:

r²= x²+ y²+ z²— (xcosλ + ycosμ + zcosν)²

тогда момент инерции всего тела, J = ∑mr², выразится уравнением такого вида: ∑mr²= Acos²λ + Bcos²μ + Ccos²ν — 2αcosμcosν — 2βcosνcosλ — 2γcosλcosμ, где A = ∑m(y²+ z²), B = ∑m(z²+ x²), C = ∑m(x²+ y²), α = ∑myz, β = ∑mzx, γ = ∑mxy. Подставим теперь вместо ∑mr²новую переменную, положив:

∑mv²= 1/u³

и представим, что длина и отложена вдоль оси вращения от начала координат в положительную сторону; тогда ucosλ = ξ; ucosμ = η, ucosν = ζ будут выражать координаты некоторой точки, составляющей конец этой длины. После такой подстановки уравнение наше получит вид:

1 = Aξ²+ Bη²+ Cξ²— 2αηζ — 2βζξ — 2γξη.

Если в нем ξ, η и ζ переменные, т. е. если предположить, что наклон оси вращения принимает последовательно все возможные величины, то оно будет изображать поверхность некоторого эллипсоида с вершиною в начале координат, а длина каждого полудиаметра этого эллипсоида, будучи обратно пропорциональна соответственному М. инерции тела, дает меру этой величины для оси того же наклона. В аналитической геометрии доказывается, что всякий эллипсоид имеет три взаимно перпендикулярные главные оси, одну наибольшую, другую наименьшую; третья в общем случае будет отличаться от первых двух, а для эллипсоида вращения будет равна одной из них. Главные оси эллипсоида инерции называются "главными осями инерции" тела. Если начало координат совпадает с центром тяжести, то эллипсоиду инерции придают название "центрального". Уравнение эллипсоида инерции принимает наипростейший вид, когда оси координат совпадают с главными осями инерции тела; тогда в полярных координатах, называя его главные полуоси а, b, с, будем иметь

1/u²= (cos²λ)/a²+ (cos²μ)/b²+ (cos²ν)/c²

или

1 = x²/a²+ y²/b²+ z²/c²в прямоугольных координатах. На основании этих двух теорем можно вычислить М. инерции тела около произвольно выбранной оси, если известны его М. инерции около главных осей центрального эллипсоида инерции. Вот эти величины, вычисленные для случаев часто встречающихся (причем во всех случаях М обозначает массу тела, K — его радиус вращения, J = MK²— М. инерции, ρ — плотность, а ось проходит через центр тяжести). Для тяжелой прямой длиной l, образующей угол α с осью вращения, проходящей через ее середину:

J = 1/12(Ml²sin²α).

Эллипсоид инерции в этом случае будет эллипсоидом вращения с бесконечной длинной главной осью, направленной вдоль самой линии, т. е. для α = 0, J = 0. Для цилиндра дл. l и радиуса r: М= ρ2πlr².

Около продольной оси: J = mr².

Около поперечной оси: J = M[(1/12)l²+ (1/4)r²].

Для прямоугольного параллелепипеда с ребрами a, b, с : М= ρabc.

Около оси α: J = (1/12)M(a²+ b²).

Для шара радиуса r: M = ρ(4/3)πr², J = (2/5)Mr².

Для эллипсоида с полуосями а, b, с: M = ρ(3/4)πabc.

Около оси a: J = (1/5)M(b²+ с²).

Для конуса высоты h и радиуса основания r:

M = (1/3)ρπr²h.

Для оси продольной J = (3/10)Mr².

Для оси, параллельной основанию: J = M[r²+ (1/4)h²] (центр тяжести лежит на 1/4h, считая от основания).

Для цилиндрической трубки высоты l с внутренним радиусом r₂, наружным r₁и полагая: 1/2(r₁+ r₂) = r, r₁— r₂= b

M = ρπl[(r₁)²— (r₂)²] = ρ2πrbl.

Для продольной оси: J = (1/2)M[(r₁)²+ (r₂)²] = M[r²+ (1/4)b²].

Для поперечной оси:

J = (1/2)M[(1/12)l²+ (1/4)(r₁)²+ (1/4)(r₂)²] = M[(1/12)l²+ (1/2)r²+ (1/8)b²].

Для "тора" (круглого кольца, образующегося от вращения кружка радиуса r, которого центр описывает круг радиуса R около оси, заключающейся в его плоскости)

M = ρ2π²Rr².

Для оси, нормальной к плоскости кольца:

J = M[(1/2)R²+ (3/4)r²].

Для оси поперечной: J = M[(1/2)R²+ (5/8)r²].

М. инерции тела, которого форма не может быть удобно определена геометрически, можно определить опытом. Для этого надо заставить его качаться наподобие маятника около горизонтальной оси, определить продолжительность его колебания Т и расстояние а между осью и центром тяжести (см.). Известно, что для простого маятника (см.) длиною l время колебания при ускорении силы тяжести g будет:

T = √(l/g), или T = π√(ml²/mgl),

если назовем m массу тяжелой частицы маятника. Но в числителе величина ml²не что иное, как М. инерции этой частицы около оси вращения, а в знаменателе mgl означает произведение mq, веса частицы, на ее расстояние от оси вращения, так наз. "статический" момент. Когда же твердое тело совершает маятникообразные колебания продолжительности T, одни лишь частицы его, расположенные на прямой, проведенной на расстоянии l параллельно оси и в одной с нею вертикальной плоскости, во время покоя тела будут совершать это движение под влиянием одной своей тяжести mg. Каждая из остальных его частиц будет качаться так, как будто на нее действует сила q, равнодействующая из ее веса mg и внутренних замедляющих или ускоряющих сил, зависящих от связи этой частицы с остальными. Но все частицы тела совершают свои колебания одновременно, значит:

l/g = ml²/mgl = ml′²/ql′ = ml″²/ql″ =... = (∑ml²)/(∑ql).

Здесь ∑ml²и есть искомый М. инерции, равный МК², а стоящая в знаменателе сумма ∑ql = Mga, весу тела, помноженному на расстояние a его центра тяжести от оси вращения, потому что сумма всех моментов внутренних сил равна нулю, так как они не могут привести тело в движение вследствие равенства действия и противодействия. Итак:

T = π√(MK²/Mga) = π√(K²/ga) = π√(l/g)

откуда l = K²/a, K²= la,

т. е. искомый квадрат радиуса вращения равен произведению длины простого маятника, совершающего колебание в то же время, что и наблюдаемое тело, на расстояние его центра тяжести от оси вращения. При магнитных измерениях М. инерции часто определяют по качаниям, совершаемым под влиянием сил магнитного поля.

В. Л.

величина, характеризующая распределение масс в теле и являющаяся наряду с массой мерой инертности тела при непоступательном движении. В механике различают М. и. осевые и центробежные. Осевым М. и. тела относительно оси z называется величина, определяемая равенством:

где m_i — массы точек тела, h_i — их расстояния от оси z, ρ — массовая плотность, V — объём тела. Величина I_z является мерой инертности тела при его вращении вокруг оси (см. Вращательное движение). Осевой М. и. можно также выразить через линейную величину k, называемую радиусом инерции, по формуле I_z = Mk², где М — масса тела. Размерность М. и. — L²M; единицы измерения — кг․м² или г․см².

Центробежным М. и. относительно системы прямоугольных осей х, у, z, проведённых в точке О, называют величины, определяемые равенствами:

или же соответствующими объёмными интегралами. Эти величины являются характеристиками динамической неуравновешенности масс. Например, при вращении тела вокруг оси z от значений I_xz и I_yz зависят силы давления на подшипники, в которых закреплена ось.

М. и. относительно параллельных осей z и z'связаны соотношением

I_z = I_z' + М d² (3)

где z' — ось, проходящая через центр масс тела, a d — расстояние между осями (теорема Гюйгенса).

М. и. относительно любой, проходящей через начало координат О оси Ol с направляющими косинусами α, β, γ находится по формуле:

l_ol = I_x α² + I_y β² + I_z γ² — 2I_xy αβ — 2I_yz βγ — 2I_zxγα. (4)

Зная шесть величин I_x, I_y, I_z, I_xy, I_yх, I_zx, можно последовательно, используя формулы (4) и (3), вычислить всю совокупность М. и. тела относительно любых осей. Эти шесть величин определяют т. н. тензор инерции тела. Через каждую точку тела можно провести 3 такие взаимно-перпендикулярные оси, называемые главными осями инерции, для которых I_xy = I_yz = I_zx = 0. Тогда М. и. тела относительно любой оси можно определить, зная главные оси инерции и М. и. относительно этих осей.

М. и. тел сложной конфигурации обычно определяют экспериментально. Понятием о М. и. широко пользуются при решении многих задач механики и техники.

Лит.: Краткий физико-технический справочник, под общ. ред. К. П. Яковлева, т. 2, М., 1960, с. 94—101; Фаворин М. В., Моменты инерции тел. Справочник, М., 1970; Гернет М. М., Ратобыльский В. Ф., Определение моментов инерции, М., 1969; см. также лит. при ст. Механика.

С. М. Тарг.

МОМЕНТ ИНЕРЦИИ - величина, характеризующая распределение масс в теле и являющаяся наряду с массой мерой инертности тела при непоступат. движении. Различают осевые и центробежные моменты инерции. Осевой момент инерции равен сумме произведений масс mi всех элементов тела на квадраты их расстояний hi от оси z, относительно которой он вычисляется, т. е. Центробежным моментом инерции относительно системы прямоугольных осей x, y, z называются величины(или соответствующие объемные интегралы). Они характеризуют динамическую неуравновешенность масс.

МОМЕНТ ИНЕРЦИИ, мера инертности твердых тел при вращательном движении (подобно тому как масса является мерой инертности при поступательном движении). При заданной массе тела момент инерции зависит как от распределения этой массы по объему тела, так и от положения и направления оси вращения. В общем случае момент инерции неоднородных тел сложной формы определяется экспериментально.

moment of inertia

(сечения) moment of inertia, second moment of area

МОМЕНТ ИНЕРЦИИ

величина, характеризующая распределение масс в теле и являющаяся наряду с массой мерой инертности тела при непоступат. движении. В механике различают М. и. осевые и центробежные. Осевым М. и. тела относительно оси z наз. величина, определяемая равенством:

где mi — массы точек тела, hi — их расстояния от оси z, a r — массовая плотность, V — объём тела. Величина Iz явл. мерой инертности тела при его вращении вокруг оси (см. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ). Осевой М. и. можно также выразить через линейную величину r, наз. радиусом инерции, по формуле

Iz=Mr2,

где М — масса тела.

Размерность М. и.— L2M; а единицы — кг
• м2 или г
• см2. Центробежным М. и. относительно системы прямоугольных осей х, у, z, проведённых в точке О, наз. величины, определяемые равенствами:

или же соответствующими объёмными интегралами. Эти величины явл. характеристиками динамич. неуравновешенности тел. Напр., при вращении тела вокруг оси z от значений Ixz и Iyz зависят силы давления на подшипники, в к-рых закреплена ось. М. п. относительно параллельных осей z и z' связаны соотношением:

lz=l'z + Md2 (3)

где z' — ось, проходящая через центр масс тела, а d — расстояние между осями.

М. и. относительно любой проходящей через начало координат О оси О1 с направляющими косинусами a, b, g находится по ф-ле:

IOl=Ixa2+Iyb2+Izg2-2Ixyab-2Iyzbg-2Izxga. (4)

Зная шесть величин Ix, Iy Iz, Iху, Iyz, Izx, можно последовательно, используя ф-лы (4) и (3), вычислить всю совокупность М. и. тела относительно любых осей. Эти шесть величин определяют т. н. тензор инерции тела. Через каждую точку тела можно провести три такие взаимно-перпендикулярные оси, наз. главными осями инерции, для к-рых Ixy=Iyz=Izx=0

Тогда, зная главные оси инерции и М. п. относительно этих осей, можно определить М. и. тела относительно любой оси.

М. п. тел сложной конфигурации обычно определяют экспериментально. Понятием о М. и. широко пользуются при решении многих задач механики и техники,

МОМЕНТ ИНЕРЦИИ (обозначение I), для вращающегося тела - сумма произведений, полученных путем умножения масс точек вращающегося тела на квадраты их расстояний от оси вращения. Нахождение этого распределения массы важно при определении силы, необходимой, чтобы привести тело во вращение.

моме́нт ине́рции

величина, характеризующая распределение масс в теле и являющаяся наряду с массой мерой инертности тела при непоступательном движении. Различают осевые и центробежные моменты инерции. Осевой момент инерции равен сумме произведений масс m_i всех элементов тела на квадраты их расстояний h_i от оси z, относительно которой он вычисляется, т. е. . Центробежным моментом инерции относительно системы прямоугольных осей х, у, z называются величины I_xy = Σm_ix_iy_i, I_yz = Σm_iy_iz_i, I_zx = Σm_iz_ix_i (или соответствующие объёмные интегралы). Они характеризуют динамическую неуравновешенность масс.

* * *

МОМЕ́НТ ИНЕ́РЦИИ, величина, характеризующая распределение масс в теле и являющаяся наряду с массой мерой инертности(см. ИНЕРТНОСТЬ (в механике)) тела при непоступат. движении. Различают осевые и центробежные моменты инерции. Осевой момент инерции равен сумме произведений масс m_i всех элементов тела на квадраты их расстояний h_i от оси z, относительно которой он вычисляется, т. е.

Центробежным моментом инерции относительно системы прямоугольных осей x, y, z называются величины

(или соответствующие объемные интегралы). Они характеризуют динамическую неуравновешенность масс.

тела относительно оси - величина, являющаяся мерой инертности тела во вращат. движении вокруг этой оси. М. и. J равен сумме произведений элементарных масс dm всех малых частей тела на квадраты их расстояний r до рассматриваемой оси:

Величина корень из (J/m )наз. радиусом инерция тела относительно соответствующей оси. М. и. тела J относительно произвольной оси связан с М. и. этого тела J_с относительно осн. параллельной рассматриваемой и проходящей через центр масс тела, соотношением: J = J_с + md², где т - масса тела, а d - расстояние между осями. Единица М. и. (в СИ) - кг*м².

(сечения) moment of inertia, second moment of area

* * *

moment of inertia

momento di inerzia [del second'ordine]

моме́нт іне́рції

моме́нт іне́рції

величина, характеризующая распределение масс в теле и являющаяся наряду с массой мерой инертности тела при непоступат. движении. Различают осевые и центробежные М. и. Осевой М. и. равен сумме произведений масс те; всех элементов тела на квадраты их расстояний hi от оси z, относительно к-рой он вычисляется, т.е. I_z = Em_i h_i². Центробежным М. и. относительно системы прямоуг. осей х, у, z наз. величины I_ху = Еm_i x_i y_i, I_yz = E m_iy_iz_i, I_zx = Em_i z_i x_i (или соотв. объёмные интегралы). Они характеризуют динамич. неуравновешенность масс.