Сферические функции

(Kugelfunctionen). — Выражение:

в котором α меньше единицы, a μ = Cosθ есть косинус некоторого угла θ, может быть разложено в следующий ряд, расположенный по возрастающим степеням а:

1 + аР₁+ а²Р₂+ а³P₃+... + aⁿP_n+...,

в котором Ρ с разными индексами суть следующие функции от μ:

P₁= μ, P₂= (1/2)(3μ²— 1)

P₃= (1/2)(5μ³— 3μ)...

и вообще Р_nможет быть представлено так:

Р_n= (1/2ⁿn!)(dⁿ/dμⁿ)(μ²— 1)ⁿ, где п! = 1.2.3...n.

Функции эти, введенные Лапласом при рассмотрении вопросов о притяжении, носят название С. функций. Полную теорию этих функций можно найти в книге Heine "Handbuch d. Kugelfunctionen", a в книгах Thomson and Tait ("Treatise on natural philosophy"), Lamb ("Hydrodynamics", 1895) и Cl. Maxwell, "Traité d'électricité et de magnétisme" (trad. p. Lui Séligmann) объяснено значение этих функций в теории потенциала, притяжения, электричества, магнетизма и в гидродинамике; там же полная и рациональная теория С. функций.

Д. Б.

специальные функции, применяемые для изучения физических явлений в пространственных областях, ограниченных сферическими поверхностями, и для решения физических задач, обладающих сферической симметрией. С. ф. являются решениями дифференциального уравнения

получающегося при разделении переменных в Лапласа уравнении (См. Лапласа уравнение) в сферических координатах r, θ, φ. Общий вид решения:

где a_m — постоянные, l и порядка m, определяемые равенством:

где Р_п —Лежандра многочлены.

С. ф. можно рассматривать как функции на поверхности единичной сферы. Функции

образуют полную ортонормированную систему на сфере, играющую ту же роль в разложении функций на сфере, что тригонометрическая система функций {e ^imφ}на окружности. Функции на сфере, не зависящие от координаты φ, разлагаются по зональным С. ф.:

С. ф. степени l

при вращении сферы линейно преобразуется по формуле:

(1)

(q^–1M —точка, в которую переходит точка М сферы при вращении q^–1). Коэффициенты l группы вращения сферы. Их называют также обобщёнными С. ф. Обобщённые С. ф. применяются при разложении векторных и тензорных полей на единичной сфере, решении некоторых задач теории упругости и т. д.

С формулой (1) связана теорема сложения для зональных С. ф.:

где cos γ = cos θ cos θ‘ + sinθ sinθ' cos (φ —φ’), γ — сферическое расстояние точки (θ, φ) от точки (θ', φ’).

Характерным примером многочисленных приложений С. ф. к вопросам математической физики и механики является применение их в теории потенциала. Пусть R с центром в начале координат; если а можно разложить в ряд С. ф. r, θ, φ), внешней относительно данной сферы, равен

а в каждой точке, внутренней по отношению к сфере, равен

Общий член каждого из этих двух рядов представляет собой шаровую функцию (См. Шаровые функции)соответственно степени n -1 и n.

С. ф. были введены А. Лежандроми П. Лапласом в конце 18 в.

Лит.: Бейтмен Г., Эрдей и А., Высшие трансцендентные функции, пер. с англ., т. 1—2, М., 1973; Никифоров А. Ф., Уваров В. Б., Основы теории специальных функций, М., 1974; Гобсон Е. В., Теория сферических и эллипсоидальных функций, пер. с англ., М., 1952; Lense J., Kugelfunktionen, 2 Aufl., Lpz., 1954.

СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ (шаровые) - специальные функции, применяемые для изучения физических явлений в пространственных областях, ограниченных сферическими поверхностями.

СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

(сферические гармоники) - спец. функции, возникающие, напр., при отыскании ограниченных решений ур-ния Лапласа Du = 0 в сферич. координатах (r, q, j) методом разделения переменных. Введены в кон. 18 в. А. Лежандром и П. Лапласом. Полагая и = и(r,q, j) = R(r)Y(q,j), после разделения переменных для Y(q, j) получаем ур-ние

частные решения к-рого - С. ф.- имеют вид звёздочка означает комплексное сопряжение. Ф-ция Q_lт (х)(x = cosq) может быть выражена через полиномы Якоби P_l^(a,b)(x), присоединённые ф-ции Лежандра Р ^m_l (х )и полиномы Лежандра P_l(X )(см. Ортогональные полиномы):

[в нек-рых работах по квантовой механике в коэф. С _lт вводят дополнит. множитель (-1)^mi^l]. Общий вид решения ур-ния (*)

( С _m - постоянные).

С. ф. образуют полную ортонормированную систему на сфере единичного радиуса (d - дельта-функция,d_nn' - Кронекера символ). Эта система играет ту же роль в разложении ф-ций на сфере, что и тригонометрич. ф-ции на окружности. Для ф-ций Y_lm(q, j) построены конечно-разностные ортогональные аналоги на дискретном множестве точек сферы.

Рекуррентное соотношение и ф-лы дифференцирования для С. ф. имеют вид

[при т=b(l+1) следует полагать Y_lm(q, j) = 0].

Теорема сложения для С. ф. выражает полином Лежандра P_l(cosw) [w - угол между векторами r₁ и r₂, направления к-рых характеризуются углами q₁, j₁ и q₂, j₂:

через произведения С. ф.:

С помощью этой теоремы можно записать разложение потенциала (в точке r₁) единичного заряда (расположенного в точке r₂ )в виде

При вращении системы координат, определяемом углами Эйлера a, b, g, С. ф. преобразуются след, образом:

(q', j'-углы q, j в новой системе координат). Коэф. D^l_mm'(a, b, g) наз. обобщёнными С. ф., или Вигнера функциями. Они связаны со С. ф. соотношениями

Лит.: Гобсон Е. В., Теория сферических и эллипсоидальных функций, пер. с англ., М., 1952; Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции, пер. с англ., 2 изд., т. 2, М., 1974; Никифоров А. Ф., Уваров В. Б., Специальные функции математической физики, 2 изд., М., 1984: Справочник по специальным функциям, пер. с англ., М., 1979. А. Ф. Никифоров.