Начертательная геометрия

— наука, изучающая пространственные фигуры при помощи их проектирования (проложения) перпендикулярами на некоторые две плоскости, которые рассматриваются затем совмещенными одна с другой. При обыкновенном способе изображения предметов линии, распространяющиеся вдаль от глаза наблюдателя, хотя и изображаются, соответственно с тем, какими они нам представляются, сокращенными, но это сокращение определяется рисовальщиком обыкновенно на глазомер, а фотографией оно хотя в известных случаях и достаточно точно может быть передано, но отношение, в каком потерпели сокращения разные линии изображаемого предмета, остается трудно определимым; вдобавок, во многих случаях и фотография (см.) ведет к перспективным ошибкам. Всякий мастер, будет ли то плотник, слесарь, токарь, камнетес и т. д., может только в том случае выполнить заказанный предмет согласно желанию заказчика, если ему будет дан или совершенно такой же предмет на образец, или модель его, или конструкторский чертеж, по которому легко и точно определялись бы размеры всех начерченных линий, хотя бы и таких, которые удаляются в глубь картины и потому изображаются сокращенными. Н. геометрия учит изготовлению таких чертежей, в которых предмет изображается почти таким, как мы его видим, и притом так, что по начерченным линиям можно в точности определить размеры и истинный вид изображаемого.

Фиг. 1.

Представим себе, что в точке O (фиг. 1) находится глаз человека, смотрящего на предмет AB. Вообразим между глазом и предметом плоскость MN, расположенную перпендикулярно к той линии, по которой глаз смотрит. Проведем из O прямые к тем точкам предмета, которые характеризуют его форму. Эти прямые, называемые проекционными лучами, пересекут плоскость MN в различных точках. Совокупность таких точек ab и составит картину предмета AB, служащую его изображением. Поэтому плоскость MN и называется плоскостью картины. Точка пересечения проекционного луча и плоскости картины называется центральной проекцией или перспективой той точки предмета, из которой исходит данный проекционный луч. Такой способ изображения предмета называется перспективой. Если вместо того, чтобы проводить проекционные лучи от точек предмета к глазу, мы будем опускать перпендикуляры из точек предмета на плоскость картины, то полученное изображение, представляемое совокупностью оснований этих перпендикуляров, будет сохранять некоторое сходство с перспективным. Действительно, чем больше точка O будет удалена от предмета, тем больше проекционные лучи будут приближаться к положению взаимно параллельному и перпендикулярному к плоскости картины. Такое изображение называется ортогональной проекцией. Итак, в ортогональной проекции каждая точка предмета изображается основанием перпендикуляра, опущенного из неё на плоскость картины. Получение, по данному чертежу, истинных размеров и другие построения несравненно проще выполняются при ортогональном проектировании, чем при перспективе (см. Перспектива).

Основная идея Н. геометрии заключается в следующем: если имеются две ортогональные проекции предмета на две плоскости, различным образом относительно предмета расположенные, то, с помощью сравнительно несложных построений над этими двумя изображениями, можно получить истинные размеры предмета, истинный вид его плоских линий и ортогональную проекцию на любую заданную третью плоскость. Конечно, для этого необходимо нужно знать, в каком масштабе были даны заданные две ортогональные проекции, т. е. в каком общем отношении весь чертеж был уменьшен или увеличен против действительности. Обыкновенно задают вид предмета его ортогональными проекциями на такие две плоскости, из которых одна горизонтальна и называется планом, а другая вертикальна и называется фасадом. Их также называют горизонтальной и вертикальной плоскостями проекции. Ортогональная проекция предмета на плоскость, перпендикулярную к плану и фасаду, называется боковым видом. Весьма важный прием Н. геометрии заключается в том, что плоскость фасада, бокового вида и всякие другие плоскости, на которые проектируется предмет, мысленно отгибают на плоскость плана поворотом около прямой, по которой план пересекается с отгибаемой плоскостью. Этот прием называется совмещением. Дальнейшие построения совершаются уже на таком совмещенном чертеже, как это указано ниже. Так как всякий предмет представляет собой совокупность точек, то прежде всего необходимо познакомиться с изображением плана и фасада точки на совмещенном чертеже.

Фиг. 2.

Пусть a (фиг. 2) будет данная точка; P плоскость плана; Q плоскость фасада. Опустив из a перпендикуляр на план, получим план a' точки a; опустив из a перпендикуляр на фасад, получим фасад b точки a. Перпендикуляры aa' и ab называются проектирующими линиями. Плоскость bаa', определяемая проектирующими линиями, называется проектирующей плоскостью. Она перпендикулярна как к плану, так и к фасаду и, следовательно, перпендикулярна к пересечению плоскости плана и фасада, называемому общим прорезом. Пусть a о есть та точка, в которой проектирующая плоскость пересекается с общим прорезом: a о a' и aob будут перпендикулярны к общему прорезу. При данных плоскостях плана и фасада положение точки a вполне определяется ее планом a' и фасадом b, так как a находится на пересечении перпендикуляра, восставленного из a' к плоскости плана, с перпендикуляром, восставленным из b к плоскости фасада. Для получения совмещенного чертежа повернем плоскость Q фасада в направлении, указанном стрелкой, около общего прореза до совпадения с плоскостью плана. При этом точка b упадет в a". Таким образом точка a", представляющая собой совмещенный фасад точки a, будет лежать на продолжении перпендикуляра a'ao, опущенного из плана a' на общий прорез. Таким образом получится совмещенный чертеж, изображенный на фиг. 3, где MN есть общий прорез; a' — план и a" — совмещенный фасад точки a, которая сама уже не изображается.

Фиг. 3.

Н. геометрия имеет дело только с совмещенными чертежами; каждая точка дается планом и совмещенным фасадом; к чертежам же, исполненным обыкновенными приемами (каковы у нас фиг. 1, 2 и 5), прибегают только в начале изучения этой науки.

Проекция прямой.

Прямая определяется двумя точками. Следовательно, если имеется план и фасад (совмещенный) двух точек a и b, лежащих на прямой, то прямая a'b', соединяющая планы точек a и b, будет планом прямой ab и прямая a"b", соединяющая фасады точек a и b, будет фасадом прямой ab. На чертеже 4 изображена прямая ab своими планом и фасадом.

Фиг. 4.

Определение истинной длины прямолинейного отрезка

, заданного планом и фасадом. Воспользуемся чертежом, исполненным обыкновенным способом (фиг. 5).

Фиг. 5.

Пусть ab есть данный прямолинейный отрезок, a'b' его план a"b" его фасад. Повернем плоскость a'abb' около прямой a'b' и отогнем ее в положение a'b'BA на плоскость плана. При этом отрезок ab примет положение AB. Следовательно:

Aа'

= aa' = a"ao

Bb'

= bb' = b"bo

Перпендикулярность прямых a'a и b'b к a'b' не изменилась, следовательно, чтобы по данному плану и фасаду прямолинейного отрезка на совмещенном чертеже (фиг. 6) определить истинную его длину, нужно: восставить из a' и b' к плану a'b' перпендикуляры и на них отложить: a'A=aoa"; b'B=bob".

Фиг. 6.

Прямая AB и будет равна истинной длине прямой ab. На этом примере и видим, что на чертеже 5, исполненном обыкновенным способом, прямая ab изображена в укороченном виде соответственно тому, как мы ее видим, и так как степень этого укорочения неизвестна, то по чертежу 5 нельзя определить истинного расстояния ab. Между тем на чертеже 6, хотя сама прямая ab и не изображена, а даны только ее план a'b' и фасад a"b", то по ним можно совершенно точно определить представляемую ими прямую.

Определение бокового вида точки по данным ее плану u фасаду.

Пусть a' есть план и a" фасад заданной точки (фиг. 7), плоскость же бокового вида пересекает плоскость плана по прямой on и плоскость фасада по прямой om.

Фиг. 7.

При совмещении плоскостей плана и фасада om и on окажутся лежащими на одной прямой mn, перпендикулярной к MN, так как мы предполагаем, что плоскость бокового вида перпендикулярна к плоскостям плана и фасада. Совмещение трех плоскостей предполагаем происшедшим следующим образом: сначала плоскость бокового вида была совмещена вращением около om с плоскостью фасада; затем они обе вращением около MN были совмещены с плоскостью плана, которая и представляет собой плоскость чертежа. Не трудно видеть, что при этом расстояние a"s бокового вида a"' точки a от MN будет равно a о a" и расстояние а'" от om будет равно aoa'. Отсюда получаем такое построение: когда заданы a' и a", то проводим к MN перпендикуляр mn и на него опускаем перпендикуляр a'q из a'; радиусом oq описываем из центра o дугу, которая пересечет MN в точке s; из s восставляем перпендикуляр к MN. Пересечение этого перпендикуляра с прямой, проведенной через фасад a" параллельно MN, и будет боковым видом a'".

Определение бокового вида многоугольника.

Если даны (фиг. 8) план и фасад сторон многоугольника, а следовательно, и его вершин, то, строя боковые виды вершин, получим и боковой вид многоугольника. При множестве точек, с которыми имеем дело на чертеже, удобно их обозначать цифрами.

Фиг. 8.

Проектирование параллелепипеда.

Обыкновенно задаются таким положением плоскостей плана и фасада, при котором данный предмет проектируется на них простым чертежом и уже по этому плану и фасаду строят проекцию предмета на такую плоскость, на которой он изображается во всей своей сложности. Первоначальные план и фасад можно даже так выбрать, чтобы на них не искажались некоторые размеры предмета. Покажем это на следующем примере изображения параллелепипеда (фиг. 9).

Фиг. 9.

Представим себе, что параллелепипед лежит одним из своих ребер на плоскости плана, а заднее и переднее его основания параллельны плоскости фасада. Тогда эти основания проектируются на фасад, налагаясь одно на другое (заслоняя одно другое), но в истинном виде. На плане получается проекция, в которой сохраняется величина ребер, параллельных плану. Повернем мысленно параллелепипед около некоторой вертикали и отнесем его несколько в сторону. Тогда и план его повернется на тот же угол и отнесется в сторону. Чтобы получить план нового положения, проводим прямую 1'3', составляющую некоторый угол с направлением 1 3 прежнего плана, и на этой прямой строим приемами обыкновенной геометрии фигуру, равную прежнему плану. Вершины фасада нового положения будут лежать на перпендикулярах, опущенных из вершин нового плана на общий прорез. Кроме того, они будут лежать на параллелях, проведенных из вершин прежнего фасада к общему прорезу, потому что при сказанном перемещении параллелепипеда его вершины остались на прежней высоте от плоскости плана. Итак, пересечения упомянутых перпендикуляров и параллелей и будут вершинами нового фасада. Соединяя их между собой и изображая более слабыми чертами линии, заслоненные параллелепипедом, получим такое его изображение, в котором видны уже все его 12 ребер. Как для изображения параллелепипеда достаточно изобразить его ребра, так и для изображения кривой поверхности достаточно изобразить ее наиболее характеристичные линии, между которыми первенствующее значение имеет видимый контур — кривая, по которой проектирующие линии касаются поверхности.

Пересечение двух круглых цилиндров.

Для уяснения способа изображения кривых поверхностей рассмотрим применение Н. геометрии к следующему практическому вопросу. Требуется соединить между собой две трубы, склепанные из котельного листового железа, так, чтобы одна труба, будучи перпендикулярна другой, врезалась бы в нее более чем на половину своей толщины. Для этого в одной из труб (положим, в большей) должно быть проделано окошко, которое удобнее, конечно, проделать в листе, из которого делается большая труба, пока она еще не склепана. Требуется определить форму того окошка, которое должно быть прорезано в листе, служащем для приготовления большой трубы.

Фиг. 10. Фиг. 11.

Пусть (фиг. 10) плоскость плана будет перпендикулярна к большой трубе, а плоскость фасада параллельна осям обеих труб. Тогда план большой трубы будет окружность 036 и фасад ее изобразится прямоугольником ABCD. План малой трубы будет mnpq и фасад abcd. Пусть HF будет фасад диаметральной и параллельной плану плоскости малой трубы. На nm, как на диаметре, опишем дугу nsm. Зададимся какой-нибудь образующей h5 малой трубы и определим фасад той точки взаимного пересечения труб, которая лежит на этой образующей и план которой есть, следовательно, точка 1. Искомый фасад точки, во-первых, должен лежать на перпендикуляре, опущенном на общий прорез из точки 1. Во-вторых, он будет лежать от HF на высоте HS, равной hs. Итак, точка S есть искомый фасад. Задаваясь другими образующими и строя фасады точек взаимного пересечения труб, получают целый ряд точек, соединением которых получится фасад пересечения труб. Теперь развернем полуокружность 036. Задача эта (см. Квадратура) может быть исполнена только приближенно. Она решается с достаточным приближением, если принять длину полуокружности за сумму стороны вписанного квадрата и стороны правильного вписанного треугольника. Сторона вписанного квадрата будет хорда 36, сторона треугольника есть хорда 04, если цифры обозначают деления полуокружности на 6 частей. Сумму этих хорд откладывают на особом чертеже (фиг. 11) и делят ее на 6 частей. Пусть PQ будет соответствовать упомянутой диаметральной плоскости малой трубы: она должна быть проведена параллельно прямой 012... на расстоянии OP=AE. Восставляя из деления 1 перпендикуляр к прямой 012... и откладывая на нем от пересечения его с PQ величину h's'=hs=HS, получим точку s' той искомой кривой, по которой должно быть вырезано в листе MN окошко. Получая таким же путем другие точки искомой кривой, определим и самую эту кривую, изображенную на чертеже (фиг. 11).

Н. геометрия создана была в конце прошлого столетия Монжем (см.). Она имеет тесное отношение к теории теней (см. Тени) и к способу аксонометрических проекций (см. Проекции). Лучшими руководствами по Н. геометрии могут служить руководства: Макарова, Сомова, Monge, Leroy и проч.

Н. Делоне.

раздел геометрии, в котором пространственные фигуры изучаются при помощи построения их изображений на плоскости, в частности построения проекционных изображений, а также методы решения и исследования пространственных задач на плоскости.

Потребность в изображениях пространственных предметов на плоскости возникла в связи с решением различных практических вопросов (например, строительство зданий и других инженерных сооружений, развитие живописи и архитектуры, техники и т.п.). Особенно большое значение имеют чертежи, получаемые проектированием (проецированием) данной фигуры на плоскость (проекционные чертежи). Практика предъявляла к таким чертежам ряд требований; важнейшие из них: 1) наглядность изображения, т. е. свойство чертежа вызывать пространственное представление изображаемой фигуры; 2) «обратимость» чертежа, т. е. возможность точного определения изображенной фигуры по чертежу; 3) простота выполнения требуемых построений; 4) точность графических решений. В способах построения изображений применяются центральное и параллельное проектирование фигуры (натуры, объекта, оригинала) на плоскость проекций (см. Проекция). Наибольшей наглядностью обладают чертежи, полученные способом центрального проектирования, который соответствует геометрической схеме возникновения изображений на сетчатке человеческого глаза. Однако наиболее употребительными в Н. г. являются параллельные проекции, которые более просты в построении изображений и более удобны для определения по ним натуральной фигуры. Существуют различные виды параллельных проекций; самым распространённым является способ ортогональной проекции на две или три плоскости (комплексный чертёж). Сущность этого способа заключается в следующем. Выбирают две взаимно перпендикулярные плоскости проекций П₁ и П₂в пространстве. Плоскость П₁ располагают горизонтально; её называют горизонтально и плоскостью проекций, а плоскость П₂ —фронтальной плоскостью проекций. Произвольную точку Апространства проектируют ортогонально на эти плоскости (рис. 1); получают горизонтальную проекцию A₁(AA₁(плоскости П₁) и фронтальную проекцию A₂ (AA₂ ⊥ плоскости П₂). Три точки А, A₁ и A₂лежат в одной (проектирующей) плоскости, перпендикулярной к линии p₁₂ пересечения плоскостей проекций. Горизонтальную проекцию какой-либо фигуры получают, проектируя ортогонально все точки этой фигуры на плоскость П₁, фронтальную проекцию — на плоскость П₂. Часто бывает полезно добавить третью проекцию фигуры — на плоскость П₃, перпендикулярную к плоскостям П₁ и П₂. Плоскость П₃, а также и проекцию на неё называют профильной. Две проекции точки А (например, A₁ и A₂) вполне определяют третью проекцию (A₃).

Чтобы получить чертёж, состоящий из трёх указанных проекций (комплексный чертёж), плоскости П₁ и П₃ совмещают с плоскостью П₂ («главной» плоскостью) путём вращения их вокруг линий p₁₂и p₂₃ пересечения этих плоскостей с плоскостью П₂ (рис. 2). Обычно на практике не указывается положение осей проекций p₁₂ и p₁₃, то есть положение плоскостей проекций определяется с точностью до параллельного переноса.

Комплексный чертёж обратим, так как по нему можно определить расстояние между любыми двумя точками натуральной фигуры. Действительно, отрезок AB(рис. 3) в натуре является гипотенузой прямоугольного треугольника ABB*,в котором AB*=A₁B₁, а В*В есть разность высот точек В и А, выражаемая на чертеже отрезком B₂*B₂. Отсюда можно получить простое построение натурального отрезка

(рис. 4); для этого нужно построить

Для увеличения наглядности комплексного чертежа на проекциях фигуры устанавливают «условия видимости»: из двух точек А и В, проекции которых на какой-либо из плоскостей проекций совпадают, например A₁≡B₁, видимой считается та, которая расположена ближе к зрителю; «невидимые» линии фигуры условно изображаются штриховыми линиями. Пример такого изображения пространственной фигуры в трёх проекциях, называется «вид спереди» (фронтальная проекция), «вид сверху» (горизонтальная проекция) и «вид слева» (профильная проекция), дан на рис. 5.

Комплексный чертёж (из двух или трёх ортогональных проекций) является наиболее распространённым видом технического чертежа. По нему легко определяются все необходимые размеры изображаемого предмета. Недостаток таких чертежей — их малая наглядность.

Для построения более наглядных обратимых изображений в Н. г. применяется другой способ, называемый аксонометрией.

При аксонометрии изображаемую фигуру относят к системе Oxyz осей координат в пространстве (см. Аналитическая геометрия). Эту систему координат называют натуральной. На рис.6 построена координатная ломаная OM_xM₁M для произвольной точки М.Длины координатных отрезков OM_x, M_xM₁, M₁M являются координатами х, у, z точки М. Если спроектировать натуральную систему осей Охуz на плоскость П', то получается так называемая аксонометрическая система осей О'х'у'z' (рис. 6). Проекция O'M'_xM'₁M'координатной ломаной состоит из отрезков O'M'_x, M'_xM'₁, M'₁M', длины которых x', y', z' в аксонометрической системе координат называется аксонометрическими координатами точки М. Отношения

выражают величины искажения координатных отрезков при проектировании; их называют показателями (коэффициентами) искажения. Если все три показателя искажения равны, то аксонометрию называют изометрией, если хотя бы два из них равны — диметрией, если же все показатели искажения неравны — триметрией.

Чтобы при помощи аксонометрического способа построить изображение точки М на плоскости П' в данной параллельной проекции, необходимо иметь: а) натуральные координаты этой точки М(х, у, z); б) аксонометрическую систему осей О'х'у'z' на плоскости проекций П'; в) показатели искажения u, v, w.

Тогда по формулам (*) находят аксонометрические координаты точки М'(х', у', z')и строят по ним точку M', являющуюся искомой проекцией точки М. Аксонометрическое изображение пространственной фигуры строят по точкам, определяющим последнюю. Аксонометрический чертёж обратим: если на аксонометрическом чертеже дана точка M'(х', у', z'), то можно по формулам (*) найти натуральные координаты х, у, zточки М.

Если задать произвольную аксонометрическую систему осей O'x'y'z' на плоскости проекций П' (не сводящуюся, однако, к одной прямой) и отношение показателей искажения u: v: w, то, согласно основной теореме аксонометрии (Польке теореме (См. Польке теорема)), существует такое положение натуральной системы осей координат относительно плоскости проекций П' и такое направление проектирования, при которых на плоскости П' реализуются ранее выбранная аксонометрическая система осей и отношений показателей искажения.

Для упрощения аксонометрического способа построения изображений пользуются «приведённой» аксонометрией, в которой аксонометрические координаты стремятся по возможности заменить натуральными без искажения вида чертежа. Так, например, на рис. 7 дана ортогональная изометрия объекта, изображенного на комплексном чертеже (рис. 5), с использованием натуральных координат вместо аксонометрических. При этом происходит изменение масштаба аксонометрического чертежа, но вид его сохраняется, т. е. чертёж изменяется подобно. Аксонометрические изображения предметов, не имеющих большого протяжения, обладают достаточной наглядностью. Этого нельзя сказать об изображениях крупных объектов, таких, как здания, плотины и др. сооружения. В этих случаях предпочтительнее применять изображения, выполненные в центральной проекции (перспективе (См. Перспектива)).

Чтобы перспективный чертёж был обратимым, на плоскости проекций П' строят центральную проекцию A' (перспективу) изображаемой точки А и перспективу A₁'ортогональной проекции A₁ точки на горизонтальную плоскость П₁, называемую предметной (рис. 8). Плоскость проекций П' (картинную плоскость) выбирают преимущественно перпендикулярной к предметной. Точка A₁ называется основанием точки А. В частности, S₁ есть основание центра проекций («глаза») S. Зная положение центра S относительно картинной плоскости П', можно по данным перспективе A' точки А и перспективе A'₁ её основания найти положение натуральной точки А в пространстве. Для этого нужно провести SA₁' и найти A₁. Затем построить A₁A ⊥ плоскости П₁и найти точку А пересечения прямых SA' и A₁A. Большое значение при построении перспективных изображений имеют т. н. точки схода, являющиеся перспективными изображениями бесконечно удалённых точек пространства, и линия горизонта — перспективное изображение бесконечно удалённой прямой предметной плоскости П₁.

На рис. 9 показано перспективное изображение комнаты. На нём видна главная точка y’_∞, которая является точкой схода для всех прямых, перпендикулярных (в натуре) картинной плоскости, и линия горизонта h. Точки схода др. параллельных прямых, лежащих в предметной плоскости, располагаются на линии горизонта h (например, D'_∞).

Используя координатный метод, можно выполнить построение перспективного изображения по способу центральной аксонометрии, аналогично описанной выше параллельной аксонометрии.

Наряду с построениями перспективных изображений на плоскости (линейная перспектива) на практике употребляются и др. виды центрально-проекционных изображений.

При построении чертежей, изображающих какую-либо часть земной поверхности, удобно пользоваться так называемыми проекциями с числовыми отметками. В этом случае на чертеже должно быть задано достаточное число точек поверхности (рис. 10). Проектируя ортогонально точки поверхности на плоскость проекций, записывают около проекции каждой точки её высотную отметку, т. е. число, выражающее высоту точки над плоскостью проекций в избранных единицах длины. Благодаря этому такой чертёж является обратимым. Для увеличения его наглядности и удобства пользования, проекции точек, имеющих одинаковую высоту, соединяют линией, которую называют линией уровня. Если изображена земная поверхность, то плоскость проекций считается горизонтальной; линии уровня называют в этом случае горизонталями. По форме и расположению горизонталей можно (с известной степенью точности) судить о рельефе изображенного участка земной поверхности, построить её сечение заданной на чертеже плоскостью σ (рис. 10), а также решать другие задачи. Такой способ изображения поверхности и саму поверхность, заданную системой горизонталей, называют топографическими.

Историческая справка. Первые попытки проекционных изображений можно встретить у древних народов ещё до нашей эры. Так, римский архитектор Витрувий в своём сочинении «Десять книг об архитектуре» (1 в. до н. э.) даёт понятие о плане (горизонтальной проекции) и фасаде (фронтальной проекции) сооружения. Итальянский архитектор и учёный Л. Альберти (15 в. н. э.) уже применяет «точки схода» и даёт важный для практики способ построения перспективы при помощи сетки. В «Трактате о живописи» (опубликован 1651) Леонардо да Винчи имеются многочисленные указания о практических применениях перспективных изображений, в частности о «наблюдательной» перспективе. Немецкий художник А. Дюрер в труде «Руководство к измерению...» (1525) предложил способ построения перспективы по горизонтальной и фронтальной проекциям объекта. Особенно полное изложение приёмов построения перспективы были даны итальянским учёным Г. Убальди (1600). Научные основы Н. г. были разработаны Ж. Дезаргом и главным образом Г. Монжем, который считается создателем научной Н. г.

В Древней Руси при возведении сооружений применялись изображения, в которых можно заметить элементы геометрического проектирования. Так, изображение города Пскова (1581) было выполнено с соблюдением некоторых законов перспективы. Чертежи изобретателя-самоучки И. П. Кулибина, зодчего Д. В. Ухтомского (См. Ухтомский) и др. являются геометрически правильными проекционными изображениями. Курс Н. г. был впервые введён в 1810 в Петербургском институте корпуса инженеров путей сообщения. Первым русским профессором Н. г. был Я. А. Севастьянов, написавший ряд сочинений по различным вопросам Н. г. Научному развитию Н. г. содействовали геометрические работы Е. С. Федорова (См. Фёдоров), который предложил метод изображения точек пространства на плоскости при помощи векторов. Метод Е. С. Федорова был успешно применен в многомерной Н. г., которая используется в физико-химическом анализе (школа Н. С. Курнакова). Советские геометры (А. К. Власов, Н. А. Глаголев, Н. Ф. Четверухин и др.) выполнили ряд исследований в области основной теоремы аксонометрии.

Лит.: Рынин Н. А., Материалы к истории начертательной геометрии, [Библиография, биографии, эпизоды, факты, хронология], Л., 1938; Монж Г., Начертательная геометрия, пер. с [франц.], М., 1947; Фёдоров Е. С., Новая начертательная геометрия, «Изв. АН», 1917, № 10; Глаголев Н. А., Начертательная геометрия, 3 изд., М., 1953; Вольберг О. А., Лекции по начертательной геометрии, М. — Л., 1947; Курс начертательной геометрии, под ред. Н. Ф. Четверухина, М., 1956; Вопросы современной начертательной геометрии. Сб. ст., под ред. Н. Ф. Четверухина, М. — Л., 1947; Глазунов Е. А. и Четверухин Н. Ф., Аксонометрия, М., 1953: Методы начертательной геометрии и её приложения. Сб. ст., под ред. Н. Ф. Четверухина, М., 1955; Добряков А. И., Курс начертательной геометрии, 3 изд., М. — Л., 1952.

Н. Ф. Четверухин.

Рис. 1 к ст. Начертательная геометрия.

Рис. 2 к ст. Начертательная геометрия.

Рис. 3 к ст. Начертательная геометрия.

Рис. 4 к ст. Начертательная геометрия.

Рис. 5 к ст. Начертательная геометрия.

Рис. 6 к ст. Начертательная геометрия.

Рис. 7 к ст. Начертательная геометрия.

Рис. 8 к ст. Начертательная геометрия.

Рис. 9 к ст. Начертательная геометрия.

Рис. 10 к ст. Начертательная геометрия.

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ геометрия - раздел геометрии, в котором пространственные фигуры изучаются при помощи построения их изображений на плоскостях проекций. Некоторые идеи начертательной геометрии были разработаны в 16-17 вв., но в самостоятельную науку начертательная геометрия оформилась в кон. 18 в. в связи с возросшими потребностями инженерной практики.

descriptive geometry

descriptive geometry

раздел геометрии, научные основы которого были разработаны французским математиком и физиком Г. Монжем (1746-1818) для решения задач, связанных с определением размеров, форм и положения в пространстве линий, поверхностей, тел и их пересечений, при помощи построения их изображений на плоскости. Свойства геометрических фигур исследуются по их ортогональным проекциям, как правило, на три взаимно перпендикулярные плоскости, а геометрические построения в пространстве заменяются более доступными геометрическими построениями на соответствующих проекциях. Построение проекций требует знания основ планиметрии и стереометрии, а также владения искусством чертежника. Начертательная геометрия широко применяется в архитектуре и инженерном деле.

Ортогональная проекция изображает

пространственный объект на опорной плоскости, с помощью перпендикуляров, опущенных на эту плоскость из каждой точки объекта. На рис. 1 горизонтальная плоскость H и вертикальная (фронтальная) плоскость V делят пространство на четыре квадранта I, II, III и IV. Прямоугольный параллелепипед S, расположенный в квадранте I, порождает фронтальную проекцию SV на плоскость V и горизонтальную проекцию SH на плоскость H. Если теперь выбрать какую-нибудь дополнительную плоскость, перпендикулярную к V и Н, например, плоскость P (называемую профильной), то можно получить дополнительную (профильную) проекцию SP. Если затем отогнуть плоскость H вниз, а плоскость P вправо, как показано стрелками, пока они не совместятся с фронтальной плоскостью, то на комплексном чертеже (эпюре) мы получим виды SV, SH и SP, изображенные на рис. 2. Они известны под названиями видов спереди, сверху и сбоку. Обычно в начертательной геометрии используют именно такие проекции, но иногда при изучении трудно доступных или имеющих сложную конфигурацию частей фигуры проводят вспомогательные плоскости. Для тренированного глаза рис. 2 дает полное и точное описание объекта, изображенного на рис. 1.

Рис. 1. ПРОЕКЦИИ объекта S на горизонтальную (H), фронтальную (V) и профильную (P) опорные плоскости.

Рис. 2. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ объекта, изображенного на рис. 1.

ЛИТЕРАТУРА

Монж Г. Начертательная геометрия. М., 1947 Глаголев Н. А. Начертательная геометрия. М., 1953

начерта́тельная геоме́трия

раздел геометрии, в котором пространственные фигуры изучаются при помощи построения их изображений на плоскостях проекций. Некоторые идеи начертательной геометрии были разработаны в XVI—XVII вв., но в самостоятельную науку начертательная геометрия оформилась в конце XVIII в. в связи с возросшими потребностями инженерной практики.

* * *

НАЧЕРТА́ТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕ́ТРИЯ, раздел геометрии, в котором пространственные фигуры изучаются при помощи построения их изображений на плоскостях проекций. Некоторые идеи начертательной геометрии были разработаны в 16—17 вв., но в самостоятельную науку начертательная геометрия оформилась в кон. 18 в. в связи с возросшими потребностями инженерной практики.

- раздел геометрии, в к-ром пространственные фигуры, а также методы решения и исследования пространственных задач изучаются при помощи построения их изображений на плоскости. Построение изображений осуществляется при помощи центрального или параллельного проектирования фигуры (натуры, объекта, оригинала) на плоскость проекций. Наиболее распространенным видом технич. чертежа является комплексный чертеж, к-рый строится с помощью ортогональной проекции. Сущность этого способа заключается в следующем: выбирают две взаимно перпендикулярные плоскости проекций Плоскость наз. горизонтальной плоскостью проекций, а плоскость - фронтальной плоскостью проекций. Произвольную точку Апространства ортогонально проектируют на эти плоскости (см. рис. 1);

получают горизонтальную проекцию А ₁ и фронтальную проекцию А ₂. Часто бывает полезным добавить третью - профильную проекцию А ₃- на профильную плоскость П ₃, перпендикулярную к плоскостям П ₁ и П ₂. Для получения комплексного чертежа, состоящего из трех указанных проекций, плоскости П ₁ и П ₃ совмещают с плоскостью П ₂ ("главной" плоскостью) путем вращения их вокруг линий и пересечения этих плоскостей с плоскостью П ₂ (см. рис. 2). Обычно на практике не указывается положение осей проекций и , т. е. положение проекций определяется с точностью до параллельного переноса.

Для построения более наглядных изображений в Н. г. применяется аксонометрия. Для изображения объектов, обладающих большой протяженностью, применяют изображения, выполненные в центральной проекции - перспективе.

Лит.:[1] Монж Г., Начертательная геометрия, пер. с [франц.], М., 1947; [2] Глаголев Н. А., Начертательная геометрия, 3 изд., М-, 1953; [3] Курс начертательной геометрии, М., 1956.

А. Б. Иванов.

раздел геометрии, в к-ром пространств, фигуры изучаются по их изображениям на плоскости. Осн. методом построения изображения служит проекция предмета на плоскость. Осн. задачи Н. г.: способы построения проекц. изображений (чертежей) и методы решения пространств, задач при помощи проекц. изображений.

descriptive geometry

* * *

descriptive geometry

geometria descrittiva

нарисна́ геоме́трія

нарисна́ геоме́трія

раздел геометрии, в к-ром пространств. фигуры изучаются при помощи построения их изображений на плоскостях проекций. Нек-рые идеи Н. г. были разработаны в 16-17 вв., но в самостоят. науку Н. г. оформилась в кон. 18 в. в связи с возросшими потребностями инж. практики.