Брошюра написана по материалам лекций, прочитанных автором в летней школе "Современная математика" в Дубне в июле 2005 г. Она посвящена доказательству обобщенной теоремы Ван дер Вардена. Эта теорема является обобщением следующей элементарной задачи: если множество целых чисел покрашено в конечное число цветов, то найдется арифметическая прогрессия сколь угодно большой конечной длины, члены которой раскрашены в один цвет. Брошюра адресована старшим школьникам и студентам младших курсов. Никаких предварительных знаний от читателя не требуется. Это и многое другое вы найдете в книге Обобщенная теорема Ван дер Вардена (В. О. Бугаенко)